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Jorge Lewowicz

In Uncategorized on Sábado 28, junio, 2014 at 6:46 am

El 21 de junio de 2014 fallece en Montevideo Jorge Lewowicz, Matemático uruguayo y Dr. Honoris Causa de la Universidad de la República. Aquí, en el coloquio oleis, hacemos un pequeño y simple homenaje a un gran maestro y amigo. Mejores referencias para su trabajo, tanto humano como matemático, pueden encontrarse en este link. A continuación Rafael Potrie escribe unas breves palabras sobre su obra.

Jorge trabajó en sistemas dinámicos desde un punto de vista topológico. Una de sus obsesiones matemáticas fue la de entender los homeomorfismos expansivos, que en sus palabras “son aquellos donde cada punto tiene un comportamiento dinámico distintivo”.

Definición. Sea X un espacio métrico compacto. Decimos que un homemorfismo f:X\to X es expansivo, si existe \alpha>0 tal que para todos x\neq y\in X, existe n\in\mathbb Z tal que d(f^n(x),f^n(y))>\alpha.

En otras palabras, dos puntos diferentes de X, se alejan, ya sea al futuro o al pasado, a mas de \alpha.

Una de las particularidades del área, es que los objetos de estudio son muy elementales, pero develan una gran profundidad y belleza. Particularmente, parafraseándolo nuevamente: “el hecho de que cada punto tenga un comportamiento dinámico distintivo nos permite prever una rica interacción entre la dinámica y la topología”.

Sin entrar en tecnicismos, me gustaría recalcar aquí algunas de sus ideas y potentes resultados, así como algunas de las preguntas que, desde que lo conocí, lo inquietaron.

Un punto culminante en su carrera matemática fue su clasificación de los homeomorfismos expansivos de superficies:

Topologias en conjuntos finitos

In Topología on Lunes 28, abril, 2014 at 3:24 pm

por Andrés Sambarino

Voy a parafrasear este artículo de wikipedia que me dejó como loco.

El asunto es poner una topología en un conjunto de 4 elementos, y ver que el grupo fundamental es \mathbb{Z}. La cosa es así: Considerás X=\{a,b,c,d\}, con la topología \tau=\{\emptyset, X, \{a,b,c\},\{a,b,d\}, \{a,b\},\{a\},\{b\}\}.

cuatroSe puede construir fácil una función contínua sobreyectiva del círculo en (X,\tau) como en el dibujo: Consideramos el círculo como vectores de norma 1 en \mathbb{R}^2, y definimos

f(x,y)=\left\{\begin{array}{cccc}a\textrm{ si }x<0,\\ b\textrm{ si }x>0\end{array}\right.,

f(1,0)=c y f(-1,0)=d.

Para calcular el grupo fundamental, la idea es ver que el espacio X es union de dos abiertos contractibles, \{a,b,c\} y \{a,b,d\} cuya intersección son dos conjuntos contractibles. Acá no se puede usar el teorema de van Kampen, porque la intersección no es conexa, pero parece que hay una generalizacion que permite usar van Kampen con varios puntos base.

Resulta ademas, que en este artículo, McCord prueba que cualquier CW complejo finito (finitas celulas) es debilmente homotopicamente equivalente (i.e. hay una función que es un isomorfismo en todos los gruos de homotopia) a una topología en un conjunto finito…

 

 

 

 

 

Conjuntos ambiente homogeneos

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 17, febrero, 2014 at 8:54 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es presentar un resultado que por mucho tiempo me resultó bastante misterioso pero que es sencillo y bastante lindo. Es una caracterización de las subvariedades encajadas a través de propiedades locales de sus encajes.

Para mantener la discusión simple (sin perder generalidad) trabajaremos en \mathbb{R}^d. Es fácil ver, dado que todos los argumentos y definiciones son locales, que esto se extiende de forma directa a variedades diferenciables en general.

Sea \Lambda \subset \mathbb{R}^d un conjunto localmente compacto. Decimos que \Lambda es C^1-ambiente homogeneo si se cumple que para todo par de puntos x, y \in \Lambda existen entornos U_x y U_y en \mathbb{R}^d de ellos y un difeomorfismo \varphi: U_x \to U_y de clase C^1  que manda x en y y cumple que \varphi(U_x \cap \Lambda)= U_y \cap \Lambda.

Probaremos un resultado debido a Repovs. Skopenkov y Scepin que afirma que un conjunto C^1-ambiente homogeneo es una subvariedad C^1 encajada en \mathbb{R}^d. Notar que es un ejercicio sencillo mostrar que las sub-variedades encajadas de clase C^1 son efectivamente C^1-ambiente homogeneas. No veremos muchas aplicaciones, referimos al  lector por ejemplo a este paper de Amie Wilkinson que utiliza este resultado y da una prueba del caso C^r. Si mencionamos que este resultado tiene como consecuencia directa que los subgrupos cerrados de un grupo de Lie son grupos de Lie.

Es un ejercicio interesante mostrar que el conjunto de Cantor puede ser encajado en \mathbb{R}^2 de forma tal de ser Lipschitz ambiente homogéneo. Otro interesante ejercicio es mostrar el resultado para el caso de subconjuntos C^0-ambiente homogeneos de \mathbb{R}.

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