Transformaciones Lineales Hiperbólicas

Es una boludez total pero me gusta.  En todo el texto es un espacio vectorial real de dimensión finita y es una tranformación lineal invertible.

Definición (Contracción).

Decimos que es una contracción si existe un producto interno en tal que:

El ejemplo clásico es la siguiente matriz:

que define una contracción de pero no para el producto interno usual.

Se puede demostrar el siguiente lemita:

Videos

Algunos videos de matemática en youtube que están buenos:

Transformaciones de Moebius (Increíblemente lo vieron más de 1 millón y medio de veces)

Dar vuelta la esfera

Tetris

Definimos el siguiente producto de matrices:

El producto consiste en hacer el producto usual pero cambiando las multiplicaciones por sumas y las sumas por máximos.

Por ejemplo:

Teorema de Komlos

Teorema Falso del lessa

Sea una sucesión acotada en .  Entonces existe una subsucesión convergente c.t.p.

El problema de Dirichlet

En este artículo me gustaria contar un poco sobre el problema de Dirichlet como herramienta: resolver este problema implica el teorema de uniformización de Riemann y, junto con este, el teorema de Schwartz, que enuncia que una superficie de Riemann homeomorfa a la esfera es biholomorfa a la esfera.

Una función de clase donde es un abierto de es armónica si verifica la siguiente ecuación: Si escribimos

Lema de los Lideres y Teorema Ergódico en el caso ergódico

Consideremos la siguiente sucesión finita de números reales:

Decimos  que un término es “lider” si alguna de las sumas de elementos consecutivos a partir de él es menor o igual a cero.

Los términos son trivialmente lideres, pero también porque , porque , y por último porque .

O sea que la lista de lideres es:

La observación es que la suma de estos números es menor o igual a cero.

Pitágoras y Normas de dimensión mayor

Introducción.

En este artículo se demuestran dos resultados:

1. Una versión del teorema de pitágoras para áreas -dimensionales (generalizando el teorema de pitágoras para longitudes de vectores)
2. Que el máximo estiramiento que produce una transformación lineal sobre el área de un paralelogramo de dimensión está dada por el producto de los valores singulares más grandes (generalizando el hecho de que la norma de una transformación, coincide con el máximo valor singular).

En ambos casos la demostración muestra que la generalización, es simplemente un caso particular de lo que está generalizando (i.e. el pitágoras de áreas se deduce del pitágoras común, el resultado para la norma -dimensional se deduce del resultado para la norma usual).

Para hacer las demostraciones de estos dos hechos a mano, habría que hacer un montón de cuentas y probar una desigualdad que involcraría determinantes.

La demostración que doy evita esto a expensas de tener que construir un formalismo algebraico medio pesado.

Lo bueno es que este formalismo (el producto exterior) sirve para otras cosas (por ejemplo para estudiar las variedades grasmanianas y los espacios de banderas como se discute en este artículo del sambita).

Mi motivación original para tratar de entender todo esto es que estoy estudiando una demostración del teorema de Oseledets que utiliza este formalismo como herramienta.

Teorema de Convergencia de Martingalas

Este es el último de lo que resultó ser una serie de 3 artículos sobre esperanza condicional y martingalas.

El objetivo presente es demostrar el famoso Teorema de Convergencia de Martingalas.

Este teorema permite dar una demostración de la ley de grandes números y tiene otras aplicaciones.

La intuición detrás del resultado es que una martingala es una sucesión de variables aleatorias que si bien tienen la misma esperanza, tienden a crecer en tamaño (una forma de darle un sentido preciso a esto es notar que si es una martingala entonces y son submartingalas).  Por lo tanto si tenemos algún control sobre:

o incluso sobre

es razonable esperar que la sucesión no varie mucho o incluso que tenga límite.

La prueba consiste en demostrar que para todo intervalo con , el número de veces que la sucesión atraviesa el intervalo de abajo hacia arriba está controlado por el tamaño esperado de la última variable .  Este es el llamado lema de cruces, que demostraremos a continuación, luego de una disgresión sobre submartingalas.

Martingalas

Este artículo es la continuación de este otro sobre esperanza condicional.

Nuestro objetivo es entender el concepto de martingala.

Alguna analogia entre conjuntos de medida uno y residuales.

Voy a contar un par de resultados que me parecen interesantes de los conjuntos residuales. Pueden parecer un poco banales, pero tienen una aplicacion muy fuerte a la dinamica generica (rama de los sistemas dinamicos que se encarga de estudiar las propiedades de un conjunto residual de difeomorfismos).

Los resultados son los siguientes:

Teorema 1: Sea un espacio de Baire y sea un boreliano. Entonces, existe residual de forma tal que para todo existe un entorno de de forma tal que o bien , o bien .

Este teorema se puede pensar como un Teorema de densidad de Lebesgue topologico.

Teorema 2: Sean y espacios de Baire y sea . Entonces, es residual en si y solo si existe un residual tal que para todo se cumple que es residual en

Este ultimo teorema se puede pensar como un Teorema de Fubini topologico.