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Conjuntos ambiente homogeneos

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 17, febrero, 2014 at 8:54 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es presentar un resultado que por mucho tiempo me resultó bastante misterioso pero que es sencillo y bastante lindo. Es una caracterización de las subvariedades encajadas a través de propiedades locales de sus encajes.

Para mantener la discusión simple (sin perder generalidad) trabajaremos en \mathbb{R}^d. Es fácil ver, dado que todos los argumentos y definiciones son locales, que esto se extiende de forma directa a variedades diferenciables en general.

Sea \Lambda \subset \mathbb{R}^d un conjunto localmente compacto. Decimos que \Lambda es C^1-ambiente homogeneo si se cumple que para todo par de puntos x, y \in \Lambda existen entornos U_x y U_y en \mathbb{R}^d de ellos y un difeomorfismo \varphi: U_x \to U_y de clase C^1  que manda x en y y cumple que \varphi(U_x \cap \Lambda)= U_y \cap \Lambda.

Probaremos un resultado debido a Repovs. Skopenkov y Scepin que afirma que un conjunto C^1-ambiente homogeneo es una subvariedad C^1 encajada en \mathbb{R}^d. Notar que es un ejercicio sencillo mostrar que las sub-variedades encajadas de clase C^1 son efectivamente C^1-ambiente homogeneas. No veremos muchas aplicaciones, referimos al  lector por ejemplo a este paper de Amie Wilkinson que utiliza este resultado y da una prueba del caso C^r. Si mencionamos que este resultado tiene como consecuencia directa que los subgrupos cerrados de un grupo de Lie son grupos de Lie.

Es un ejercicio interesante mostrar que el conjunto de Cantor puede ser encajado en \mathbb{R}^2 de forma tal de ser Lipschitz ambiente homogéneo. Otro interesante ejercicio es mostrar el resultado para el caso de subconjuntos C^0-ambiente homogeneos de \mathbb{R}.

Prescribiendo las derivadas de una función.

In Análisis Real y Complejo on Domingo 8, diciembre, 2013 at 11:44 am

por Rafael Potrie

En este post voy a comentar sobre la siguiente pregunta: Dado a_n una sucesión de reales, será que existe f, una función C^\infty de \mathbb{R} que verifica que la derivada n-ésima de f en 0 es igual a a_n?

Claramente, la respuesta es bien conocida en el caso que se busque que la función f sea analítica y la palabra clave para esto es radio de convergencia. Mi objetivo era saber si existía una obstrucción (posiblemente más débil) en el caso C^\infty. Luego de preguntar a varias personas, finalmente el Rambo me consiguió la referencia adecuada que muestra que no hay ninguna obstrucción: Siempre es posible construir una tal función f. Este post se encargará de dar una prueba de este resultado.

Matemática en un minuto: PageRank

In Uncategorized on Domingo 22, septiembre, 2013 at 5:44 pm

Junto con Elbio Castro (dibujante) creamos hace tiempo este video que explica la idea detrás de PageRank.  Dado que Manolo Oleis ahora tiene cuenta Google me parece un buen momento para redifundirlo.

Aprovecho también para plantear la pregunta a los amigos de Coloquio Oleis: ¿Qué otros temas podría ser interesante tratar en videos similares a este?

¡Salute!

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