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grupo de Heisenberg, grupos de Lie, grupos lineales

Un grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Domingo 30, enero, 2011 at 4:44 pm

Como dice el título, la idea del texto es mostrar un grupo de Lie que no se puede ver como un subgrupo de matrices, es decir, no admite un morfismo inyectivo en $GL(n,\mathbb R)=\{\textrm{ matrices }n\times n\textrm{ de }\det\neq 0\}.$

El ejemplo nace de la siguiente propiedad del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal: ${\displaystyle \textrm{H}=\{\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right):a,b,c\in\mathbb R\}}.$

Consideramos la matriz

$B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),$

un cálculo directo muestra que

$e^{tB}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nB^n}{n!}=\textrm{id}+tB=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).$

Proposición. Sea $\rho: \textrm{H}\to GL(n,\mathbb R)$ un morfismo tal que $\ker \rho$ contiene un elemento de la forma $e^{t_0B}$ para algún $t_0\in\mathbb R$ entonces todo el grupo $\{e^{tB}:t\in\mathbb R\}$ está contenido en $\ker\rho.$

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