Clasificacion de las 1-variedades

In Grupos y geometría, Topología on Domingo 10, abril, 2011 at 2:33 am

En esta pequeña nota quiero dar una prueba de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 1.

La otra demostración que conozco (e.g. en el libro de Milnor) utiliza que la variedad puede partirse en piezas que son segmentos parametrizados por longitud de arco, y luego analiza combinatoriamente como se pegan estas piezas llegando a los dos casos: O se cierran y la variedad es un círculo, o no y la variedad es un intervalo. Una demostración similar puede llevarse a cabo para variedades topológicas de dimensión 1 y además la demostración captura la escencia de porqué es verdad el resultado. Cabe preguntarse entonces: ¿Porqué molestarse en dar otra demostración?

Creo que el mérito de la siguiente demostración es que, a pesar de no ser elemental, sólamente utiliza herramientas que son utiles para muchas otras cosas. Sin más preambulos acá va la demostración.

Teorema: Toda variedad diferenciable conexa de dimensión 1 es difeomorfa a un intervalo o a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ .

Demostración. Supongamos primero que $M$ es una variedad diferenciable de dimensión 1 sin borde. Utilizando particiones de la unidad se le puede dar a $M$ una métrica riemanniana completa. Fijamos un punto $x \in M$ y consideramos el mapa exponencial $\exp_x: T_xM \to M$ .

Como $M$ es conexa y completa se tiene por el teorema de Hopf-Rinow que $\exp_x$ es sobreyectiva. Además $\exp_x$ es una isometría local en la dirección radial (que es la única dirección que hay). Por lo tanto $\exp_x$ es un cubrimiento riemanniano y $M$ es isométrica al cociente de $T_xM$ con un grupo de isometrías que actúa libre y discontinuamente.

Como $T_xM$ es isométrico a $\mathbb{R}$ con la métrica usual el problema se reduce a clasificar los posibles grupos de isometrías. Se deduce que $M$ es isométrica a $\mathbb{R}$ o a $\mathbb{R}/ t\mathbb{Z}$ para cierto $t > 0$ .

Supongamos ahora que $M$ tiene algún punto de borde. En este caso podemos dotar a $M$ de una métrica riemanniana pero no va ser completa. Consideramos un punto de borde $x$ y $\alpha:I \to M$ la geodésica con velocidad 1 que sale de $x$ . Suponemos que $I$ es el intervalo máximal en donde es posible definir $\alpha$ .

Afirmamos que $\alpha$ es inyectiva. Si no lo fuera existen $0 \le s < t$ tales que $\alpha(s) = \alpha(t)$ . Si $\alpha'(s) = \alpha'(t)$ se deduce que $\alpha$ es $t-s$ periódica y por lo tanto puede definirse para todo tiempo, esto contradice que $x$ es un punto de borde. Por otro lado si $\alpha'(s) = -\alpha'(t)$ se deduce que el punto medio del intervalo $[s,t]$ cumple $\alpha'(m) = -\alpha'(m) = 0$ lo cual contradice que $\alpha$ es una geodésica. Como estas son las únicas dos posibilidades queda demostrada la afirmación.

La imagen de $\alpha$ es un cerrado (alcanza analizar una carta local cerca de un potencial punto de acumulación) y abierto (porque $\exp_x$ es localmente una isometría) y por lo tanto $\alpha:I \to M$ es sobreyectiva y de hecho es un difeomorphismo. $\Box$

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