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Cuando un flujo es una suspensión

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 11, mayo, 2012 at 8:54 am

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto X y un flujo \phi_t:X\to X es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado V “transversal” a la órbita periódica en p, existe U (también transversal y con p\in V) tal que el mapa de primer retorno f:U\to V está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

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Problema nº 15

In Problema de la Semana on Jueves 29, marzo, 2012 at 12:58 am

¿Cuántos lados puede tener un polígono regular en \mathbb{R}^2 si todos sus vértices tienen coordenadas enteras?


Razon doble y geometría hiperbólica

In Grupos y geometría on Miércoles 22, febrero, 2012 at 11:12 am

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco de los cross ratio, o razon doble creo que se llama en español, a ver si le damos un poco de vida al coloquio Oleis que lo tenemos abandonado.

La razon doble entre cuatro puntos de \mathbb R\cup\{\infty\} se define como

{\displaystyle [x,y,z,t]=\frac{x-y}{x-t}\frac{z-t}{z-y}.}

Para acordarse de la formula lo mejor es pensar que el 1er numero ‘x‘ juega un rol similar al del tercero ‘z‘. Lo mismo pasa con el 2do y el 4to. Esto queda más claro con la relación siguiente

[x,y,z,t]=[z,t,x,y].                 (relación (1))

Lo primero que observamos es que el cross ratio de 4 puntos es invariante por transformaciones de Moebius (de coeficientes reales):

{\displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ a,b,c,d\in\mathbb R.}

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