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Cuando un flujo es una suspensión

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 11, mayo, 2012 at 8:54 am

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto X y un flujo \phi_t:X\to X es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado V “transversal” a la órbita periódica en p, existe U (también transversal y con p\in V) tal que el mapa de primer retorno f:U\to V está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

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Razon doble y geometría hiperbólica

In Grupos y geometría on Miércoles 22, febrero, 2012 at 11:12 am

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco de los cross ratio, o razon doble creo que se llama en español, a ver si le damos un poco de vida al coloquio Oleis que lo tenemos abandonado.

La razon doble entre cuatro puntos de \mathbb R\cup\{\infty\} se define como

{\displaystyle [x,y,z,t]=\frac{x-y}{x-t}\frac{z-t}{z-y}.}

Para acordarse de la formula lo mejor es pensar que el 1er numero ‘x‘ juega un rol similar al del tercero ‘z‘. Lo mismo pasa con el 2do y el 4to. Esto queda más claro con la relación siguiente

[x,y,z,t]=[z,t,x,y].                 (relación (1))

Lo primero que observamos es que el cross ratio de 4 puntos es invariante por transformaciones de Moebius (de coeficientes reales):

{\displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ a,b,c,d\in\mathbb R.}

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3er Coloquio Uruguayo

In Uncategorized on Domingo 20, noviembre, 2011 at 1:09 pm

Se viene el 3er coloquio Uruguayo de Matemática del 20 al 22 de diciemebre. La página oficial es http://www.cmat.edu.uy/cmat/eventos/3erCUM, ahí pueden encontrar el formulario de inscripción e información del congreso. Acá abajo esta el programa tentativo.

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Otro grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Sábado 9, abril, 2011 at 1:08 pm

por Andrés Sambarino

Este post va en respuesta a la pregunta que hizo el lessa en este post. La idea es explicar, sin muchos detalles, porque el cubrimiento universal del grupo

\textrm{SL}(2,\mathbb R)=\{\textrm{matrices reales }2\times 2\textrm{ con }\det=1\}

no es un subgrupo del grupo matrices invertibles \textrm{GL}(n,\mathbb R).

El hecho fundamental es que todo morfismo \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) se factoriza a travez de \textrm{SL}(2,\mathbb R). Es decir:

Proposición. Sean \rho:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{GL}(n,\mathbb R) y \pi:\widetilde{\textrm{SL}(2,\mathbb R)}\to \textrm{SL}(2,\mathbb R) la proyección de cubrimiento, entonces existe un único \rho':\textrm{SL}(2,\mathbb R)\to\textrm{GL}(n,\mathbb R) tal que \rho=\rho'\circ \pi.

En particular el morfismo \rho no puede ser inyectivo.

El resto del artículo es para probar esta proposición. Hay dos ingredientes centrales: el primero dice que un morfismo entre álgebras de Lie se extiende a los respectivos grupos de Lie cuando el grupo de salida es simplemente conexo, y el segundo es que el grupo \textrm{SL}(2,\mathbb C) es simplemente conexo.

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Un grupo de Lie que no es un grupo de matrices

In Grupos y geometría on Domingo 30, enero, 2011 at 4:44 pm

por Andrés Sambarino

Como dice el título, la idea del texto es mostrar un grupo de Lie que no se puede ver como un subgrupo de matrices, es decir, no admite un morfismo inyectivo en GL(n,\mathbb R)=\{\textrm{ matrices }n\times n\textrm{ de }\det\neq 0\}.

El ejemplo nace de la siguiente propiedad del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal:{\displaystyle \textrm{H}=\{\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right):a,b,c\in\mathbb R\}}.

Consideramos la matriz

B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),

un cálculo directo muestra que

{\displaystyle e^{tB}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nB^n}{n!}=\textrm{id}+tB=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).}

Proposición. Sea \rho: \textrm{H}\to GL(n,\mathbb R) un morfismo tal que \ker \rho contiene un elemento de la forma e^{t_0B} para algún t_0\in\mathbb R entonces todo el grupo \{e^{tB}:t\in\mathbb R\} está contenido en \ker\rho.

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Superficies Esenciales.

In Grupos y geometría, Topología on Jueves 23, septiembre, 2010 at 2:20 pm

por Andrés Sambarino

Supongamos que estamos en la siguiente situación: Tenemos una variedad Riemanniana M de curvatura \leq0 cuyo grupo fundamental \Gamma es el \pi_1 de alguna superficie hiperbólica \Sigma_g. El contexto es tal que tenemos \dim M>2.

A uno le gustaría decir entonces que M contiene una copia de \Sigma_g cuyo \pi_1 se inyecta en el de M. Resulta que esto es cierto y es (relativamente) fácil de demostrar.

Sea \tilde M el cubrimiento universal de M. Recordamos que \Gamma actúa en \tilde M por isometrías y que M=\tilde M\slash \Gamma.

Teorema A. Identificamos \Gamma con un subgrupo discreto de isometrías de \mathbb H^2. Entonces existe F:\mathbb H^2\to\tilde M continua y \Gamma-equivariante, es decir que para todos \gamma\in\Gamma y x\in\mathbb H^2 se tiene F(\gamma x)=\gamma F(x).

 

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Un criterio para la densidad de Zariski

In Grupos y geometría on Martes 17, agosto, 2010 at 2:47 pm

por Andrés Sambarino

En este texto vamos a mostrar un criterio para determinar si un subgrupo de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso. Usando el criterio vamos a ver como se construyen subgrupos de SL(d,\mathbb R) que verifican esta propiedad.

El criterio consiste en estudiar la acción de SL(d,\mathbb R) en su álgebra de Lie

\mathfrak{sl}(d,\mathbb R) = \{\text{matrices }d\times d\text{ de traza }0\}

via conjugación: Para g\in SL(d,\mathbb R) definimos \text{Ad}(g):\mathfrak{sl}(d,\mathbb R)\to \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) como

\text{Ad}(g)X=gXg^{-1}.

Proposición[Criterio de densidad de Zariski] Un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso si y solo si la acción por conjugación de \Gamma en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) es irreducible, es decir, no tiene subespacios invariantes.

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Un grupo Zariski denso contiene una matriz diagonalizable

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Lunes 9, agosto, 2010 at 9:26 am

por Andrés Sambarino

En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de {SL(d,{\mathbb R})} (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente:

Teorema[Benoist]. Sea {\Gamma} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento {{\gamma}} diagonalizable cuyos valores propios son positivos y distintos dos a dos.

La idea de este texto es entonces mostrar que para un grupo {{\Gamma}} Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} es facil encontrar una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} diagonalizable cuyos valores propios sean todos distintos. O sea, el hecho de conseguirlos positivos es la parte más dificil del teorema de Benoist.

Utilizamos la siguiente definicion de densidad de Zariski:

Definición. Un conjunto {{\Gamma}} de {SL(d,{\mathbb R})} es Zariski denso si todo polinomio {p:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} que es nulo en {{\Gamma}} es necesariamente nulo en {SL(d,{\mathbb R}).}

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Grupos actuando en la recta

In Grupos y geometría, Sistemas Dinámicos on Martes 22, junio, 2010 at 10:15 am

por Andrés Sambarino

Una acción de un grupo {\Gamma} en un espacio topológico {X} es un morfismo de {\Gamma} en el grupo de homeomorfismos de {X,} {\phi:\Gamma\rightarrow\textrm{Homeo}(X),} aunque lo mejor es pensar a {\Gamma} como un grupo de transformaciones de {X.}

Decimos que una acción es libre si {g(x)=x} para algún {x\in X} implica que {g} es la identidad {e} de {\Gamma,} es decir, los elementos de {\Gamma-\{e\}} no tienen puntos fijos en {X.}

El objetivo de este texto es contar una prueba del siguiente teorema de Hölder.

Teorema. (Hölder) Un grupo que actúa libremente en {{\mathbb R}} es abeliano.

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De la geometría a los grupos: Espacios simétricos

In Grupos y geometría on Domingo 23, mayo, 2010 at 4:48 pm

por Andrés Sambarino

Como muy bien dijo el Lessa en artículo Esperanza condicional, nos dirigimos a probar un resultado de superrigidez debido a Margulis entre este y futuros artículos.

El contexto, o la pregunta general que tratamos de responder es la siguiente:

¿qué geometrías puede admitir una variedad dada?

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