Clasificacion de las 1-variedades

por Pablo Lessa

En esta pequeña nota quiero dar una prueba de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 1.

La otra demostración que conozco (e.g. en el libro de Milnor) utiliza que la variedad puede partirse en piezas que son segmentos parametrizados por longitud de arco, y luego analiza combinatoriamente como se pegan estas piezas llegando a los dos casos:  O se cierran y la variedad es un círculo, o no y la variedad es un intervalo.  Una demostración similar puede llevarse a cabo para variedades topológicas de dimensión 1 y además la demostración captura la escencia de porqué es verdad el resultado.  Cabe preguntarse entonces: ¿Porqué molestarse en dar otra demostración?

Creo que el mérito de la siguiente demostración es que, a pesar de no ser elemental, sólamente utiliza herramientas que son utiles para muchas otras cosas.  Sin más preambulos acá va la demostración.

Teorema: Toda variedad diferenciable conexa de dimensión 1 es difeomorfa a un intervalo o a .

¿Que es un Hamiltoniano?

por Pablo Lessa

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

Convergencia de funciones y medidas.

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad con la -álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo (i.e. la distribución uniforme en ).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si es Borel-medible para todo y existe entonces es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos cuya clausura está contenida en .   Una vez hecho esto se ve que si y sólamente si existe tal que a partir de cierto se cumple que para todo .  Esto implica que se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

Si es medible, y consideramos en la medida de probabilidad , entonces da origen a una nueva medida de probabilidad llamada la medida “push-forward” o la distribución de .   Esta medida se define a traves de la ecuación:

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

Una conjetura de escape hiperbólico

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.

Transformaciones Lineales Hiperbólicas

por Pablo Lessa

Es una boludez total pero me gusta.  En todo el texto es un espacio vectorial real de dimensión finita y es una tranformación lineal invertible.

Definición (Contracción).

Decimos que es una contracción si existe un producto interno en tal que:

El ejemplo clásico es la siguiente matriz:

que define una contracción de pero no para el producto interno usual.

Se puede demostrar el siguiente lemita:

Videos

por Pablo Lessa

Algunos videos de matemática en youtube que están buenos:

Transformaciones de Moebius (Increíblemente lo vieron más de 1 millón y medio de veces)

Dar vuelta la esfera

Tetris

por Pablo Lessa

Definimos el siguiente producto de matrices:

El producto consiste en hacer el producto usual pero cambiando las multiplicaciones por sumas y las sumas por máximos.

Por ejemplo:

Teorema de Komlos

por Pablo Lessa

Teorema Falso del lessa

Sea una sucesión acotada en .  Entonces existe una subsucesión convergente c.t.p.

Lema de los Lideres y Teorema Ergódico en el caso ergódico

por Pablo Lessa

Consideremos la siguiente sucesión finita de números reales:

Decimos  que un término es “lider” si alguna de las sumas de elementos consecutivos a partir de él es menor o igual a cero.

Los términos son trivialmente lideres, pero también porque , porque , y por último porque .

O sea que la lista de lideres es:

La observación es que la suma de estos números es menor o igual a cero.

Pitágoras y Normas de dimensión mayor

por Pablo Lessa

Introducción.

En este artículo se demuestran dos resultados:

1. Una versión del teorema de pitágoras para áreas -dimensionales (generalizando el teorema de pitágoras para longitudes de vectores)
2. Que el máximo estiramiento que produce una transformación lineal sobre el área de un paralelogramo de dimensión está dada por el producto de los valores singulares más grandes (generalizando el hecho de que la norma de una transformación, coincide con el máximo valor singular).

En ambos casos la demostración muestra que la generalización, es simplemente un caso particular de lo que está generalizando (i.e. el pitágoras de áreas se deduce del pitágoras común, el resultado para la norma -dimensional se deduce del resultado para la norma usual).

Para hacer las demostraciones de estos dos hechos a mano, habría que hacer un montón de cuentas y probar una desigualdad que involcraría determinantes.

La demostración que doy evita esto a expensas de tener que construir un formalismo algebraico medio pesado.

Lo bueno es que este formalismo (el producto exterior) sirve para otras cosas (por ejemplo para estudiar las variedades grasmanianas y los espacios de banderas como se discute en este artículo del sambita).

Mi motivación original para tratar de entender todo esto es que estoy estudiando una demostración del teorema de Oseledets que utiliza este formalismo como herramienta.