Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro . En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

por Rafael Potrie

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de en con siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo en que son sobreyectivos para todo (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de en con no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función es de variación acotada por si para todos se tiene que . Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de no contiene ningún abierto.

Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

Grupos fundamentales de variedades y grupos finitamente presentados.

por Rafael Potrie

Me gustaría en este post discutir un poco la relación entre grupos y variedades para mostrar un poco como a veces cosas que parecen ejemplos de una estructura abstracta, en realidad la contienen. Un buen ejemplo, son los grupos de simetrías de espacios finitos, que de hecho contienen absolutamente todos los posibles grupos finitos (y de esa manera, nos permite comprender los grupos desde un punto de vista más geométrico).

En este post, voy a ver la relación entre los grupos finitamente presentados y los grupos fundamentales de variedades. Vamos a mostrar que un grupo es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad. De hecho, mostraremos esto para variedades (pero es válido para variedades de cualquier dimensión mayor o igual a ).

Antes de empezar, mismo antes de definir grupo finitamente presentado, voy a dar un argumento (rápido) de porque en dimensiones dos y tres esto no es posible. Lo único a decir sobre los grupos finitamente presentados, es que naturalmente, los grupos finitos lo son.

En dimensión dos, tenemos bien definida una lista de variedades, con lo cual es fácil ver que grupos como no son grupo fundamental de ninguna superficie.

En dimensión tres, argumentos parecidos pueden ser hechos, uno rápido es tener en cuenta que toda -variedad con grupo fundamental finito tiene que ser cubierta por la -esfera (esto lo sabemos gracias a que recientemente la conjetura de Poincare en dimensión fue demostrada) y se sabe que no todo grupo finito puede actuar libre y discontinuamente en la -esfera (esto hay que chequearlo, pero a mi al menos me resulta suficientemente convincente).

El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica o un iterado de esta, digamos .

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de coincide con el de , sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de cuyo período es mayor que uno y divide a .

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de .

Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea un difeomorfismo de una superficie .

Decimos que un conjunto compacto invariante es hiperbólico si para todo punto , tenemos una descomposición de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

• para todo y .
• Existe un valor tal que y para todo .

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados y varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

Grupo fundamental de las esferas.

por Rafael Potrie

En el post anterior, se discutió una prueba de que el grupo fundamental de las esferas de dimensión () es trivial. Escencialmente, la prueba consistía en hacer una homotopía de un mapa a un mapa que no fuese sobreyectivo (eso permite concluir ya que la esfera menos un punto es contractible, como se puede ver utilizando la proyección estereográfica).

En este post, pretendo dar una prueba “distinta” de este hecho. Las comillas tienen que ver con que es realmente difícil definir que es que dos pruebas sean la misma o no (por una discusión sobre esto, recomiendo este post). Luego de dar la prueba, voy a comentar porque me parece (al menos un poco) distinta.

Grupos de homotopía (no tan) superiores de las esferas.

por Rafael Potrie

Uno de los problemas más difíciles de la topología algebraica es determinar los con grande.

Parece ser un problema de carácter elemental, y a simple vista no es claro el porque genera tanto interés. Una razón, para mi importante, es que está muy relacionado con los grupos de homotopía de los CW complejos (hay que notar que si se considera el esqueleto de un CW-complejo cocientado por el -esqueleto no queda otra cosa que una suma de esferas -dimensionales, por lo tanto, calcular la homotopía de las esferas es un paso necesario para conocer los grupos de homotopía de los CW-complejos (por definiciones de estos conceptos, ver este post, de todas maneras, el post actual es elemental, y no es necesario haber comprendido este párrafo).

Nos interesaremos en este post por conocer los más fáciles de calcular, los que de hecho parecen evidentes, con .

Volumen, Entropía, Exponentes de Lyapunov.

por Rafael Potrie

Lo que voy a postear tiene que ver con algo que estoy pensando hace ya un tiempo (sin mucho éxito). La motivación, son un conjunto de Teoremas que de alguna manera relacionan las palabras que aparecen en el título.

Uno de ellos, la “desigualdad de Ruelle”, afirma que la entropía de un difeomorfismo respecto a una medida invariante es menor o igual que la integral de los “exponentes positivos” para la medida.

Una especie de recíproco, conocido como la “igualdad de Pesin”, afirma que si el difeomorfismo es de clase y si la medida es absolutamente continua respecto a Lebesgue, entonces se verifica una igualdad.

Por último, hay una relación (a mi entender), entre estos resultados y los de Yomdim y Newhouse, que relacionan (o acotan) la entropía de un difeomorfismo (muy diferenciable, digamos ) con el crecimiento de los volumenes dimensionales en una variedad (es decir, fijar una variedad, iterarla y ver como se agranda su “volumen” dimensional)

Yo estoy interesado en ver que tanto se pueden simplificar las pruebas de estos teoremas (que no conozco) cambiando por resultados más cualitativos.  El objetivo de este post es formalizar este interés y contar por qué me parece plausible hacerlo (y en una de esas, si tengo suerte, que quede claro el por qué me parece de interés).

El teorema de la curva de Jordan.

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es dar una prueba (elemental?) del Teorema de la curva de Jordan que afirma que una curva cerrada simple (i.e. sin autointersecciones) en el plano, separa a este en dos componentes conexas, una acotada y una que no lo es.

Este teorema es de alguna manera el “paradigma” de esos teoremas “fáciles de enunciar pero difíciles de probar”. A mi gusto, esto a veces estigmatiza los resultados y para mi la razón fundamental por la que no se da la prueba (que no es más difícil que la de otros teoremas en cursos elementales) es que no tiene cabida en los programas de las materias donde se usa (sería un “desvío innecesario”).

Voy a enunciar el Teorema antes de hacer otros comentarios y empezar con la prueba. Recordemos que una curva continua es cerrada y simple si y es inyectiva en . Una forma equivalente  de poner esto, es decir que es la imagen continua e inyectiva de un círculo en el plano. A la imagen de estas curvas, las llamaremos curvas de Jordan.

Teorema Si es una curva de Jordan, entonces tiene exactamente dos componentes conexas, una acotada (que llamamos ) y una no acotada que llamamos ). Además, es el borde de ambas componentes conexas.