Una versión del Teorema de Sard para mapas de R en R^d.

por Rafael Potrie

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de en con siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo en que son sobreyectivos para todo (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de en con no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función es de variación acotada por si para todos se tiene que . Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de no contiene ningún abierto.

Convergencia de funciones y medidas.

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad con la -álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo (i.e. la distribución uniforme en ).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si es Borel-medible para todo y existe entonces es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos cuya clausura está contenida en .   Una vez hecho esto se ve que si y sólamente si existe tal que a partir de cierto se cumple que para todo .  Esto implica que se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

Si es medible, y consideramos en la medida de probabilidad , entonces da origen a una nueva medida de probabilidad llamada la medida “push-forward” o la distribución de .   Esta medida se define a traves de la ecuación:

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

Equivalencia de medidas no atómicas en variedades.

por Rafael Potrie

La idea es dar una indicación relativamente detallada de la prueba del siguiente teorema debido a Oxtoby y Ulam. Nos basamos en el libro de Alpern y Prasad.

Teorema (Oxtoby-Ulam) Sea una medida de probabilidad de Borel en una variedad tal que no tiene átomos, asigna medida positiva a todos los abiertos y tal que el borde de mide cero. Entonces, existe un homeomorfismo   tal que es la medida de Lebesgue. Además, si tiene borde, se puede asumir que es la identidad en el borde.

Como se puede ver fácilmente, este Teorema está muy relacionado a un Teorema de Moser posteado recientemente que trata el “caso diferenciable”. Sin embargo, este Teorema es un tanto más complejo ya que el Teorema de Moser dice que si tenes una medida absolutamente continua con respecto a Lebesgue (y densidad de clase con ) entonces existe un difeomorfismo que transforma la medida en la de Lebesgue. En el caso que tratamos ahora, la medida puede incluso llegar a ser completamente singular con la de Lebesgue, incluso, asignarle medida positiva a conjuntos de dimensión estrictamente menor lo cual hace al resultado un tanto más sorprendente.

Por otro lado, ambos resultados son óptimos, en el sentido de que al mandar la medida de Lebesgue por un homeomorfismo (resp. difeomorfismo) obtenemos una medida positiva en abiertos, sin átomos que da medida nula al borde (resp. una medida con densidad diferenciable).

Otra observación, que fue hecha por el Sambita en otro post anterior es que en el caso de dimensión uno, el resultado es relativamente más fácil (ya que se puede utilizar el orden para definir el homeomorfismo).

Desde ahora, le llamaremos medida OU a una medida en una variedad a una medida de Borel no atómica que le asigna medida nula al borde de y tal que todo abierto mide positivo.

Medidas invariantes y Teorema de Descomposición Ergódica.

por Rafael Potrie

Consideremos un homeomorfismo donde es un espacio métrico compacto. Decimos que una medida de probabilidad en es -invariante, si se cumple que para todo conjunto medible .

Estas medidas son generalmente muy útiles para estudiar la dinámica del homeomorfismo como se ver rápidamente al ver los enunciados del Teorema de Recurrencia de Poincare o el Teorema Ergódico de Birkhoff (una prueba de este último bastante simple se encuentra en este link de este mismo blog).

Hay cierto tipo de medidas invariantes que son preferidas, por ser de alguna manera, indescomponibles, estas son llamadas medidas ergódicas y verifican que si es un conjunto invariante, entonces, su medida es cero o uno.

Mediante resultados clasicos de analisis funcional, se puede probar que en general, existen medidas invariantes (para un homeomorfismo de un espacio métrico compacto) e incluso medidas ergódicas. Lo primero, es una consecuencia relativamente directa del Teorema de Banach-Alaoglu, que garantiza que el espacio de medidas de probabilidad es compacto con la topología débil (y por tanto, si se construye una medida “cada vez más invariante”, su límite será invariante) y lo segundo surge del Teorema de Krein-Milman ya que dado que las medidas invariantes forman un convexo compacto, tienen que tener elementos extremales (que serán las medidas ergódicas). Sin embargo, este último teorema, que nos permite aproximar toda medida invariante por combinaciones convexas de medidas ergódicas, no termina de mostrar realmente como es esta descomposición.

El objetivo de esta nota, es presentar un formalismo, el de las particiones medibles y medidas condicionales que permiten dar un sentido a dicha descomposición.

Espacios de Lebesgue

por Rafael Potrie

La idea de esta entrada es definir Espacio de Lebesgue (también llamado Espacio Estandar, o Rokhlin-Lebesgue) de manera un tanto topológica y mostrar que si la medida no tiene átomos, eso implica que es isomorfo a un intervalo con la medida de Lebesgue usual. Nos basamos en el artículo de Thierry de la Rue “Espaces de Lebesgue” Lecture Notes in Math. 1557.

Sea entonces un espacio de probabilidad, donde es una álgebra completa para . Decimos que es un espacio de Lebesgue si existe una topología Haussdorff y con base numerable en tal que la completación de los borelianos de es y se verifica que

se tiene que con compacto para .

Notar que la definición es bastante general, de hecho, probaremos que todo espacio Polaco (i.e. métrico, completo y separable) con una medida de Borel es de hecho un espacio de Lebesgue (en particular, tenemos variedades, espacios de Banach no muy grandes, espacios compactos y Haussdorff, etc).

Si tenemos dos espacios de probabilidad y , decimos que son isomorfos si existen y de medida uno y una biyección bimedible tal que (i.e. para todo ).

El Teorema bastante sorprendente que queremos probar es el siguiente:

Teorema Sea un espacio de probabilidad de Lebesgue sin átomos (i.e. los puntos miden cero). Entonces, es isomorfo a donde es la medida de Lebesgue y es la completación de los borelianos por .

Teorema de Komlos

por Pablo Lessa

Teorema Falso del lessa

Sea una sucesión acotada en .  Entonces existe una subsucesión convergente c.t.p.

El problema de Dirichlet

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco sobre el problema de Dirichlet como herramienta: resolver este problema implica el teorema de uniformización de Riemann y, junto con este, el teorema de Schwartz, que enuncia que una superficie de Riemann homeomorfa a la esfera es biholomorfa a la esfera.

Una función de clase donde es un abierto de es armónica si verifica la siguiente ecuación: Si escribimos

Crear funciones continuas y no derivables en ningun punto es facil

por Pablo Lessa

El propósito de este artículo es mostrar una construcción y demostración sencilla de que existe una funcion que es continua en todo pero que no es derivable en ningún punto.