Convergencia de funciones y medidas.

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad con la -álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo (i.e. la distribución uniforme en ).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si es Borel-medible para todo y existe entonces es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos cuya clausura está contenida en .   Una vez hecho esto se ve que si y sólamente si existe tal que a partir de cierto se cumple que para todo .  Esto implica que se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

Si es medible, y consideramos en la medida de probabilidad , entonces da origen a una nueva medida de probabilidad llamada la medida “push-forward” o la distribución de .   Esta medida se define a traves de la ecuación:

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

Una conjetura de escape hiperbólico

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.

Medidas invariantes y Teorema de Descomposición Ergódica.

por Rafael Potrie

Consideremos un homeomorfismo donde es un espacio métrico compacto. Decimos que una medida de probabilidad en es -invariante, si se cumple que para todo conjunto medible .

Estas medidas son generalmente muy útiles para estudiar la dinámica del homeomorfismo como se ver rápidamente al ver los enunciados del Teorema de Recurrencia de Poincare o el Teorema Ergódico de Birkhoff (una prueba de este último bastante simple se encuentra en este link de este mismo blog).

Hay cierto tipo de medidas invariantes que son preferidas, por ser de alguna manera, indescomponibles, estas son llamadas medidas ergódicas y verifican que si es un conjunto invariante, entonces, su medida es cero o uno.

Mediante resultados clasicos de analisis funcional, se puede probar que en general, existen medidas invariantes (para un homeomorfismo de un espacio métrico compacto) e incluso medidas ergódicas. Lo primero, es una consecuencia relativamente directa del Teorema de Banach-Alaoglu, que garantiza que el espacio de medidas de probabilidad es compacto con la topología débil (y por tanto, si se construye una medida “cada vez más invariante”, su límite será invariante) y lo segundo surge del Teorema de Krein-Milman ya que dado que las medidas invariantes forman un convexo compacto, tienen que tener elementos extremales (que serán las medidas ergódicas). Sin embargo, este último teorema, que nos permite aproximar toda medida invariante por combinaciones convexas de medidas ergódicas, no termina de mostrar realmente como es esta descomposición.

El objetivo de esta nota, es presentar un formalismo, el de las particiones medibles y medidas condicionales que permiten dar un sentido a dicha descomposición.

Teorema de Convergencia de Martingalas

por Pablo Lessa

Este es el último de lo que resultó ser una serie de 3 artículos sobre esperanza condicional y martingalas.

El objetivo presente es demostrar el famoso Teorema de Convergencia de Martingalas.

Este teorema permite dar una demostración de la ley de grandes números y tiene otras aplicaciones.

La intuición detrás del resultado es que una martingala es una sucesión de variables aleatorias que si bien tienen la misma esperanza, tienden a crecer en tamaño (una forma de darle un sentido preciso a esto es notar que si es una martingala entonces y son submartingalas).  Por lo tanto si tenemos algún control sobre:

o incluso sobre

es razonable esperar que la sucesión no varie mucho o incluso que tenga límite.

La prueba consiste en demostrar que para todo intervalo con , el número de veces que la sucesión atraviesa el intervalo de abajo hacia arriba está controlado por el tamaño esperado de la última variable .  Este es el llamado lema de cruces, que demostraremos a continuación, luego de una disgresión sobre submartingalas.

Martingalas

por Pablo Lessa

Este artículo es la continuación de este otro sobre esperanza condicional.

Nuestro objetivo es entender el concepto de martingala.

Esperanza Condicional

por Pablo Lessa

Este artículo es el primero de una serie que voy a escribir a pedido del sambita.  La idea es llegar a entender el clásico teorema de convergencia de martingalas.  Luego el sambita se encargaría de utilizarlo para ayudar a demostrar algunos resultados en teoría de grupos.

En esta primera entrega el tema que nos ocupa es la definición formal e intuición, detrás del concepto de esperanza condicional.

El Teorema Ergódico Medio

por Pablo Lessa

En este artículo me dedico a hacer la prueba de la versión debil del teorema ergódico de Birkhoff. También intento traducir bien los conceptos desde el enfoque probabilístico al enfoque de transformaciones que preservan medida.

El teorema ergódio puede verse como una generalización de la ley de grandes números (la versión de Von Neumann corresponde a la ley débil, y la de Birkhoff a la ley fuerte).

Por ejemplo, supongamos que tenemos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, todas en (pongamosle ). La ley de grandes números garantiza que:

con probabilidad , donde .

Ahora si tomamos , es razonable suponer que los promedios de estas nuevas variables tiendan a . Sin embargo dado que no es independiente de esa conclusión no se obtiene directo del teorema.

Generalizando lo anterior, si definimos para cierta función , se obtiene una sucesión de variables con idéntica distribución pero no independientes. El teorema de Birkhoff garantizará la convergencia del promedio de estas variables.

Como última observación previa notamos que el siguiente enunciado es FALSO:

Distribuciones de Probabilidad Estables (un bosquejo)

por Pablo Lessa

El teorema central del límite clásico dice:

Teorema Central del Limite.

Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y tales que:

entonces definiendo

se tiene que  para todo con se tiene:

La hipótesis de que las variables sean de cuadrado integrable es escencial y tenemos el siguiente ejemplo:

No podés hacer guita en el casino (bajo ciertas hipotesis…)

por Pablo Lessa

Es obvio que se puede hacer guita en el casino. La mejor forma de hacerla es siendo dueño del mismo. La segunda mejor es jugar a un juego de azar en las que uno tiene las de ganar (por ejemplo si tenés buena memoria y concentración el blackjack puede ser un juego así) claro que en ese caso lo más probable es que te rajen.

También podés hacer guita si vas y jugás a un juego de azar en el que tenés las de perder, ponele jugas a la ruleta (supongamos que la ruleta está bien construida de manera de evitar la gran Jagger).

Lo que voy a intentar argumentar entonces es que, si jugás juegos de azar en las que tenés la de perder, utilizando alguna estrategia del estilo “si llego a tanta plata paro”.  Entonces en promedio vas a salir con menos plata de la que empezaste.

Sobre Probabilidad

por Pablo Lessa

Un Problema de Dados

Para empezar quiero plantear un problema para los que les cuelgue pensarlo.  ¿Es posible cargar 2 dados para que, al tirarlos, las 11 posibles sumas (del 2 al 12) sean equiprobables?

¿Que significa “probabilidad”?

Quiero aprovechar ahora para hablar un poco de la probabilidad en su interpretación cotidiana y de la teoría matemática.

La teoría matemática de probabilidad es obviamente, al igual que la geometría plana, una abstracción de ciertos hechos que observamos.  En lugar de ser sobre trazados en la tierra, las observaciones básicamente vienen de los juegos de azar y son las siguientes:

1. Es imposible predecir el resultado de tirar un dado (excepto que va quedar con un número del 1 al 6 en la cara superior claro está).
2. Sin embargo la frecuencia con la que sale un número dado en una secuencia larga de tiradas parece estabilizarse en un valor que depende únicamente del dado en cuestión.

Estas observaciones son la base de la llamada interpretación frecuentista de la probabilidad.  La probabilidad de un evento es la frecuencia con la que este evento ocurriría si repetimos el experimento muchas veces (por ejemplo en un dado bien fabricado podemos pensar que la probabilidad de que salga cualquier número es cercana a 1 en 6).