Cuando un flujo es una suspensión

por Andrés  Sambarino

Dado un espacio métrico compacto y un flujo es natural preguntarse si el flujo tiene subconjuntos donde el mapa de primer retorno es contínuo. Esta idea de Poincaré ayuda a entender la dinámica de un flujo estudiando dinámica discreta. En general, cerca de una órbita periódica hay secciones transversales en el siguiente sentido, dado “transversal” a la órbita periódica en existe (también transversal y con ) tal que el mapa de primer retorno está bien definido.

El objetivo de este texto es entonces dar una caracterización de Schwartzman, del artículo Asymptotic cycles del ’56, para decidir si un flujo admite una sección transversal global, es decir, si el flujo es una suspensión. La idea de Schwartzman es ver en qué sentido dan vueltas las órbitas y, si todas lo hacen en el mismo, el flujo es necesariamente una suspensión.

Algunas variedades que no admiten difeomorfismos de Anosov.

por Rafael Potrie

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro . En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

¿Que es un Hamiltoniano?

por Pablo Lessa

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica o un iterado de esta, digamos .

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de coincide con el de , sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de cuyo período es mayor que uno y divide a .

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de .

Grupos actuando en la recta

por Andrés Sambarino

Una acción de un grupo en un espacio topológico es un morfismo de en el grupo de homeomorfismos de aunque lo mejor es pensar a como un grupo de transformaciones de

Decimos que una acción es libre si para algún implica que es la identidad de es decir, los elementos de no tienen puntos fijos en

El objetivo de este texto es contar una prueba del siguiente teorema de Hölder.

Teorema. (Hölder) Un grupo que actúa libremente en es abeliano.

Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea un difeomorfismo de una superficie .

Decimos que un conjunto compacto invariante es hiperbólico si para todo punto , tenemos una descomposición de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

• para todo y .
• Existe un valor tal que y para todo .

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados y varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

Volumen, Entropía, Exponentes de Lyapunov.

por Rafael Potrie

Lo que voy a postear tiene que ver con algo que estoy pensando hace ya un tiempo (sin mucho éxito). La motivación, son un conjunto de Teoremas que de alguna manera relacionan las palabras que aparecen en el título.

Uno de ellos, la “desigualdad de Ruelle”, afirma que la entropía de un difeomorfismo respecto a una medida invariante es menor o igual que la integral de los “exponentes positivos” para la medida.

Una especie de recíproco, conocido como la “igualdad de Pesin”, afirma que si el difeomorfismo es de clase y si la medida es absolutamente continua respecto a Lebesgue, entonces se verifica una igualdad.

Por último, hay una relación (a mi entender), entre estos resultados y los de Yomdim y Newhouse, que relacionan (o acotan) la entropía de un difeomorfismo (muy diferenciable, digamos ) con el crecimiento de los volumenes dimensionales en una variedad (es decir, fijar una variedad, iterarla y ver como se agranda su “volumen” dimensional)

Yo estoy interesado en ver que tanto se pueden simplificar las pruebas de estos teoremas (que no conozco) cambiando por resultados más cualitativos.  El objetivo de este post es formalizar este interés y contar por qué me parece plausible hacerlo (y en una de esas, si tengo suerte, que quede claro el por qué me parece de interés).

Reparametrizaciones de flujos de Anosov

por Andrés Sambarino

Si tenemos un flujo y una función estrictamente positiva y continua podemos reparametrizar el flujo usando de la siguiente manera: Sea dada por

Una conjetura de escape hiperbólico

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.