Sea p un polinomio de coeficientes enteros. Mostrar que si p(0) y p(1) son impares entonces p no puede tener raíces enteras.

En esta pequeña nota quiero dar una prueba de la clasificación de las variedades diferenciables de dimensión 1.

La otra demostración que conozco (e.g. en el libro de Milnor) utiliza que la variedad puede partirse en piezas que son segmentos parametrizados por longitud de arco, y luego analiza combinatoriamente como se pegan estas piezas llegando a los dos casos:  O se cierran y la variedad es un círculo, o no y la variedad es un intervalo.  Una demostración similar puede llevarse a cabo para variedades topológicas de dimensión 1 y además la demostración captura la escencia de porqué es verdad el resultado.  Cabe preguntarse entonces: ¿Porqué molestarse en dar otra demostración?

Creo que el mérito de la siguiente demostración es que, a pesar de no ser elemental, sólamente utiliza herramientas que son utiles para muchas otras cosas.  Sin más preambulos acá va la demostración.

Teorema: Toda variedad diferenciable conexa de dimensión 1 es difeomorfa a un intervalo o a .

Demostración. Supongamos primero que es una variedad diferenciable de dimensión 1 sin borde.  Utilizando particiones de la unidad se le puede dar a una métrica riemanniana completa.   Fijamos un punto y consideramos el mapa exponencial .

Como es conexa y completa se tiene por el teorema de Hopf-Rinow que es sobreyectiva.  Además es una isometría local en la dirección radial (que es la única dirección que hay).  Por lo tanto es un cubrimiento riemanniano y es isométrica al cociente de con un grupo de isometrías que actúa libre y discontinuamente.

Como es isométrico a con la métrica usual el problema se reduce a clasificar los posibles grupos de isometrías.  Se deduce que es isométrica a o a para cierto .

Supongamos ahora que tiene algún punto de borde.  En este caso podemos dotar a de una métrica riemanniana pero no va ser completa.  Consideramos un punto de borde y la geodésica con velocidad 1 que sale de .   Suponemos que es el intervalo máximal en donde es posible definir .

Afirmamos que es inyectiva.  Si no lo fuera existen tales que .  Si se deduce que es periódica y por lo tanto puede definirse para todo tiempo, esto contradice que es un punto de borde.  Por otro lado si se deduce que el punto medio del intervalo cumple lo cual contradice que es una geodésica.  Como estas son las únicas dos posibilidades queda demostrada la afirmación.

La imagen de es un cerrado (alcanza analizar una carta local cerca de un potencial punto de acumulación) y abierto (porque es localmente una isometría) y por lo tanto es sobreyectiva y de hecho es un difeomorphismo.

Este post va en respuesta a la pregunta que hizo el lessa en este post. La idea es explicar, sin muchos detalles, porque el cubrimiento universal del grupo

no es un subgrupo del grupo matrices invertibles

El hecho fundamental es que todo morfismo se factoriza a travez de Es decir:

Proposición. Sean y la proyección de cubrimiento, entonces existe un único tal que

En particular el morfismo no puede ser inyectivo.

El resto del artículo es para probar esta proposición. Hay dos ingredientes centrales: el primero dice que un morfismo entre álgebras de Lie se extiende a los respectivos grupos de Lie cuando el grupo de salida es simplemente conexo, y el segundo es que el grupo es simplemente conexo.

Teorema. Sean y dos grupos de Lie, y un morfismo entre las álgebras de Lie de y Si es simplemente conexo entonces existe un morfismo tal que la diferencial en la identidad es

La prueba de la proposición sería algo asi:

Consideramos un morfismo y tomamos la diferencial en la identidad. Es fácil ver que el álgebra de Lie de un grupo y la de su cubrimiento universal son la misma, y entonces tenemos un morfismo

donde

y

Ahora consideramos el complexificado de es decir consideramos definida como

Acá aparece el segundo hecho importante: es simplemente conexo. Aplicando entonces el teorema tenemos que es la diferencial en la identidad de un morfismo de grupos

Es facil ver entonces que en este caso cae dentro de y entonces tenemos un morfismo

cuya derivada en la identidad es exactamente Así concluimos que

Como dice el título, la idea del texto es mostrar un grupo de Lie que no se puede ver como un subgrupo de matrices, es decir, no admite un morfismo inyectivo en

El ejemplo nace de la siguiente propiedad del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal:

Consideramos la matriz

un cálculo directo muestra que

Proposición. Sea un morfismo tal que contiene un elemento de la forma  para algún entonces todo el grupo está contenido en

O sea, una acción lineal del grupo tal que la matriz

actúa como la identidad implica que todo el grupo a un parámetro generado por esa matriz también actúa trivialmente.

La idea entonces es considerar el siguiente cociente del grupo de Heisenberg:

El grupo por el cual cocientamos es normal porque conmuta con todo Podemos escribir explícitamente la fórmula del producto para el grupo

Corolario. No existe un morfismo inyectivo

Prueba del corolario. Escribimos el morfismo cociente como Supongamos que tenemos entonces un morfismo entonces la composición  es un morfismo de cuyo núcleo contiene a la matriz

Aplicando la proposición tenemos que contiene a todo el grupo y como obtenemos que necesariamente no es inyectiva.

Prueba de la proposición

Un morfismo induce un morfismo entre las respectivas álgebras de Lie

El álgebra de Lie consiste en matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal. Una base de como espacio vectorial es:

y la relación con el corchete de Lie es y

La idea de la prueba es mostrar que necesariamente se tiene esto implica la proposición ya que el grupo estará contenido en

El primer paso es entonces mostrar que es nilpotente, es decir, una potencia de es Esto es equivalente (a partir de la forma de Jordan) a probar que  tiene cero como único valor propio. Acá aparecen las relaciones de comnutación del corchete de Lie:

Consideramos un valor propio de y su espacio propio asociado. Como y conmutan tenemos que es -invariante, y lo mismo ocurre con (porque ). Ahora, como tenemos que la traza de tiene que ser cero (la traza de un conmutador siempre es cero) y entonces

de donde y es nilpotente.

Tenemos el siguiente lema general de matrices:

Lema. Sea una matriz nilpotente no nula, entonces para todo se tiene no es la identidad.

Como es nilpotente y por hipótesis existe tal que

concluimos que que es lo que queriamos probar.

En un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de Anosov en el Toro . En particular, vimos que para que dicha variedad admita un Anosov, había ciertas restricciones en la clase de homotopía de dicho difeomorfismo (tenía que ser homotópico a un difeomorfismo de Anosov lineal), esto era consecuencia del Teorema de Indice de Lefschetz.

En este post, voy a mostrar como esa idea puede ser levemente empujada en función de obtener más restricciones en la topología de una variedad que admite un difeomorfismo de Anosov (y en particular, en como tiene que actuar en la homología de la variedad).

Una consecuencia particular del estudio, nos va a dar que:

Teorema 1 La esfera no admite difeomorfismos de Anosov.

Notar que al día de hoy, los unicos difeomorfismos de Anosov conocidos son los que aparecen en infranilvariedades (estos estan clasificados hasta dimensión 8, ver aqui), y se sabe también que en dimensión menor o igual a 3, todos tienen que ser difeomorfismos de Toros y estos son los únicos ejemplos en dichas dimensiones. Se conjetura que todos los difeomorfismos de Anosov deberían ser en infranilvariedades (lo cual implicaría que son conjugados a ejemplos algebraicos) y en particular, deberían ser transivos (pero incluso esto último, es un problema abierto).  El Teorema 1  fue probado en este artículo (creo yo que por primera vez, pero no se).

Primero, voy a recordar el Teorema de Indice de Lefschetz, pero esta vez con un poco más de detalle:

Para un homeomorfismo de una variedad de dimensión , definimos su numero de Lefshetz como

Donde es el mapa inducido por en el -ésimo grupo de homología.

Si los puntos fijos de son aislados, podemos definir su indice (ver el post anterior) y obtenemos el siguiente resultado (para difeomorfismos, ver el Libro de Guillemin Pollack por una prueba).

Teorema (Lefschetz) Se cumple que .

Ahora, consideramos y los nos inducen naturalmente una transformación lineal . Recordar que cada uno de los es invertible, de determinante uno y con coeficientes enteros (por ser un homeomorfismo), tenemos por lo tanto que lo es también, pero (evidentemente) es un poco más que eso.

Veamos por ejemplo como trabaja para un homeomorfismo de la esfera . Allí, sabemos que las homologías verifican que para y es para $i=0,d$. Por tanto, por ser de coeficientes enteros, sabemos que y que (no nos importa demasiado en este estudio, pero también sabemos que necesariamente coinciden). Esto implica que todo homeomofismo verifica que .

Decimos que una transformación lineal con coeficientes enteros y determinante $\pm 1$ es  parcialmente hiperbólica si posee valores propios de modulo mayor que .

Con argumentos “idénticos” a los del Lema 2 del post que venimos haciendo referencia, obtenemos el siguiente resultado (que por las consideraciones sobre la esfera, implica el Teorema 1 como corolario).

Teorema 2. Sea un difeomorfismo de Anosov en una variedad de dimensión . Entonces, la acción de es parcialmente hiperbólica.

Las consecuencias de este Teorema en la acción de en la homología de la variedad implican al menos que varias clases de homotopía de difeomorfismos (por ejemplo la de la identidad) no pueden contener difeomorfismos de Anosov. También, ciertas variedades pueden ser vistas como no admitiendo dichos homeomorfismos (por ejemplo, todas aquellas donde los grupos son de dimensión , por poner un ejemplo más, ).

Demostración: La prueba es muy similar asi que la haré brevemente. Primero, considerando un cubrimiento doble de , obtenemos que podemos asumir que los fibrados estable e inestable del Anosov son orientables y considerando asumir que el diferencial de preserva dichas orientaciones (este argumento utiliza fuertemente el hecho que los fibrados estan globalmente definidos, entonces solamente hay dos posibles orientaciones y por tanto las tiene que preservar).

Esto implica, como argumentamos en el post anterior , que todos los puntos fijos de tienen igual indice de Lefschetz igual a . En particular, obtenemos que si es la cantidad de puntos fijos de entonces .

Como sabemos que dicho numero crece exponencialmente, obtenemos que tiene que crecer exponencialmente, esto implica que existe al menos un tal que . Esto implica que tiene que tener un valor propio de modulo mayor que concluyendo la prueba.

En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de en con siempre podia ser perturbado a un mapa que no fuese sobreyectivo. La pregunta cobra sentido desde el momento que existen mapas continuos del intervalo en que son sobreyectivos para todo (ver aquí).

Una de las maneras de lograr esta perturbación, dijimos que era aproximar el mapa por uno diferenciable, ya que en dicho caso, el Teorema de Sard nos garantizaba que para una función suficientemente diferenciable, un mapa de en con no podia ser sobreyectiva. También mencionamos que era un poco fuerte usar ese resultado para probar algo relativamente natural.

En este post, pretendo explicar un Lema que me enseño Martín Sambarino que permite dar una prueba relativamente elemental de este hecho.

Recordamos que una función es de variación acotada por si para todos se tiene que . Obviamente, una función diferenciable es de variación acotada (de hecho, su variación es la integral del módulo de su derivada).

Lemma 1 Sea una función continua tal que cada coordenada es de variación acotada, entonces, la imagen de no contiene ningún abierto.

Llamamos variación de en (que notamos como ) al supremo de entre las familias de de puntos tal que . Es muy fácil ver que si , entonces y si son disjuntos, entonces . Naturalmente, será de variación acotada por si y solamente si .

Una última observación que vale la pena hacer sobre la variación es la siguiente: Supongamos que verifica que contiene un intervalo . Entonces, tenemos que para cualquier abierto que contenga a (notar que podemos asumir, tomando un subconjunto de , que tiene finitas componentes conexas ya que es compacto). Esto se puede ver considerando una partición de suficientemente peque\~na (utilizando la continuidad uniforme de ) de forma tal que la preimagen de dos puntos siempre quede contenida en una componente de . Ahora, tomando esa sucesión de puntos, obtenemos variación igual a exactamente. Como la variación es el supremo de esos numeros, esto prueba la afirmación.

Demostración: Supongamos que la imagen de contiene un abierto, sin perdida de generalidad, podemos suponer que contiene un conjunto de la forma .

Fijado , tenemos que el conjunto es un compacto de . Naturalmente, si , tenemos que .

Dado que la imagen de por contiene todo el cuadrado , en particular contiene la linea .

Esto implica que si consideramos un entorno cualquiera de , la variación de en ese entorno tiene que ser como mínimo (notar que contiene y por lo tanto, ).

Fijando , y considerando cubrimientos disjuntos de respectivamente con distintos dos a dos y tal que , obtenemos que la variación de es necesariamente mayor que . Siendo arbitrario, contradecimos el hecho de que era de variación acotada por hipotesis.

Naturalmente, la misma prueba nos da también que ningun mapa cuyas coordenadas son de variación acotada puede contener un abierto en su imagen. Sin embargo, la generalización a mapas de con necesita adaptaciones (para empezar definir variación acotada!). Para hacerlo en dimensiones más grandes, se me ocurre que la idea puede imitarse para mapas diferenciables, utilizando cubrimientos pequeños donde se puede controlar la “medida” de las imagenes (y sin darnos cuenta, acercarnos a la prueba del Teorema de Sard).

Voy a escribir sobre cosas de las cuales no sé mucho (mi motivación, en parte, es entender la formulación Hamiltoniana del flujo geodésico).  Espero que resulte de interés para el resto del coloquooleis.

Otra introducción a la dinámica Hamiltoniana puede encontrarse en este artículo de scholarpedia.  También por lo que he visto puedo recomendar las notas de John Baez (y su, ya clásico, this weeks finds in theoretical physics) y lo que parece ser la biblia para matemáticos tratando de entender estos asuntos: el libro de Abraham y Marsden.

Dinámica de una partícula en

Estamos interesados en el movimiento de una única partícula de masa en bajo las Leyes de Newton.  La trayectoria de la particula es una función .  Esta función puede ser cualquiera de las soluciones a una ecuación diferencial de segundo orden.

Para que quede determinada dicha ecuación debemos especificar un modelo para las fuerzas que actúan.  En nuestro caso supongamos que las fuerzas son una función de la posición y de la velocidad (y no, por ejemplo, del tiempo).    De esta manera supongamos fijada una función que modela las fuerzas.

La segunda ley de Newton indica que la trayectoria de la partícula debe cumplir:

Algunos ejemplos clásicos para son:

• La partícula libre: .  Las trayectorias son el famoso “movimiento rectilíneo uniforme”.
• Oscilador armónico:
• Caída libre:
• Caída libre con rozamiento:
• Fuerza dada por un potencial:  donde es una función real diferenciable.

Excepto por la caída libre con rozamiento, todos los ejemplos que dimos caen dentro de la familia “Fuerzas dadas por un potencial”.  En el caso de la partícula libre el potencial es nulo.  En el caso del oscilador armónico tenemos .  Y en el caso de la caida libre .  La idea es que la fuerza (i.e. la aceleración de la partícula) apunta desde potencial alto hacia potencial bajo.

En el caso de fuerzas dadas por un potencial lo interesante es que todas las trayectorias cumplen que se conserva (i.e. no depende de ) la cantidad que es la llamada Energía Mecánica del sistema.  El término es la llamada energía cinética, mientras que el valor del potencial se llama la energía potencial.  El hecho de que se conserva sobre las trayectorias se puede verificar derivando:

Formulación Hamiltoniana de la dinámica de una partícula en

La formulación Hamiltoniana de la mecánica de una partícula en en un potencial consiste en empezar con la energía (donde es la posición y la velocidad):

Y luego, a través de un cambio de coordenadas (que en este caso es trivial con ), definir una función Hamiltoniana:

Los nombres estandard para los argumentos de son (posición) y (momento) en ese orden (contrario al alfabético).

Las “trayectorias generalizadas” que buscamos son curvas que cumplen las llamadas Ecuaciones de Hamilton:

Miremos los ejemplos (excepto el de caida libre con rozamiento que no proviene de un potencial):

• Partícula Libre:  .
• Caída Libre:
• Oscilador Armónico:
• Fuerza dada por un potencial:

Las ecuaciones de Hamilton quedan así:

Se puede observar que es exactamente equivalente a la formulación Newtoniana que habíamos dado para las ecuaciones de movimiento en la sección anterior.

Un punto interesante a observar es el siguiente.  Si definimos el campo como:

Podemos calcular la divergencia de y obtenemos:

Esto implica que el flujo generado por el campo (i.e. el de las trayectorias generalizadas ) preserva área en .

Cambio de Coordenadas.

Supongamos dado un potencial .  Y supongamos que (por capricho) queremos estudiar la dinámica de una partícula bajo este potencial pero en un nuevo sistema de coordenadas dado por un diffeomorfismo .

La energía (que debe conservarse sobre las trayectorias) en nuestro sistema de coordenadas es:

Definamos, en nuestras coordenadas, el potencial y la métrica Riemanniana .  El milagro de la mecánica analítica (similar al milagro de la geometría intrínseca de superficies con su teorema Egregium y el cálculo de geodésicas en coordenadas locales) es que con estos dos datos “traidos para atrás” a un sistema de coordenadas arbitrario, podemos formular las ecuaciones de movimiento.  Sin embargo, como veremos, no es totalmente trivial hacerlo.

Si definieramos, en forma equivocada, y el Hamiltoniano como:

Atención que esto está mal:

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton quedarían:

Mal:

Estas ecuaciones no pueden ser correctas porque no es constante sobre las trayectorias (lo que se cumple es que es constante).

Observemos que la ecuacion de movimiento en el sistema de coordenadas usual en es:

Si suponemos que tenemos una curva tal que satisface esta ecuacion entonces:

o equivalentemente

Describimos a continuación el procedimiento para obtener un Hamiltoniano tal que las ecuaciones de Hamilton sean equivalentes a la ecuación anterior.

Notemos que cada elemento visto como elemento del tangente a la recta, se identifica mediante la métrica que tenemos con un elemento del cotangente donde está dada por:

Otra forma de escribir esto (identificando con su coeficiente) es:

.

Definimos el Hamiltoniano de manera que .   Es decir:

Las ecuaciones de Hamilton quedan:

Puede verificarse fácilmente que son correctas.

El péndulo simple

Consideremos una partícula restringida a moverse sobre el círculo y sujeta a los efectos de un campo gravitatorio constante.  El modelo de fuerzas para este sistema (y por lo tanto las ecuaciones de movimiento) quedan determinadas por las siguientes consideraciones:

• La velocidad debe ser siempre tangencial a y por lo tanto la aceleración normal debe ser centrípeta (i.e. hacia el origen) y de norma igual al cuadrado de la velocidad.
• La aceleración tangencial debe ser la proyección sobre la dirección tangente del campo gravitario (que supongamos por ejemplo es siempre igual a de modo que apunta para la derecha, y no para abajo, en la imagen usual de ; esto es para simplificar un poco las fórmulas pero obviamente no es escencial).

Si plantearamos las ecuaciones de movimiento utilizando el modelo de fuerzas, tendríamos un sistema de 2 ecuaciones differenciales de segundo orden (una para cada coordenada) o un sistema de 4 ecuaciones de primer orden.  Aquí empieza a notarse la virtud de la formulación “libre de coordenadas” (i.e. con libre elección de coordenadas) de la mecánica.

Fijemos coordenadas en el círculo a través del mapa exponencial donde .

La métrica Riemanniana en coordenadas es la métrica usual de .  La energía mecánica en coordenadas es:

El cambio de coordenadas al cotangente (utilizado para definir el Hamiltoniano) es trivial y por lo tanto el Hamiltoniano es:

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton son:

En el plano las ecuaciones de Hamilton definen un flujo que preserva área.  Las trayectorias de este flujo se mantienen sobre las curvas de nivel (i.e. de energía constante).  Los valores críticos del Hamiltoniano son sólamente (que es el valor mínimo y se da por ejemplo en ) y (que es el valor máximo del potencial, y se da por ejemplo en ).  Todas las demás curvas de nivel son variedades.  Un analisis muy elegante de este sistema (¡con dibujos!) puede encontrarse en este artículo de Alain Chenciner.

El flujo geodésico en la esfera

Consideremos la esfera .  Fijemos coordenadas esféricas (cierto que los polos son valores críticos de esta parametrización pero obviemos esto) a través del mapa donde .

La métrica en coordenadas es:

La energía mecánica en coordenadas es (sólo energía cinética):

Utilizando la métrica cada vector queda identíficado con el elemento dado por:

El Hamiltoniano se define de tal modo que y por lo tanto:

Las ecuaciones de Hamilton son:

Hacemos notar que se deduce de estas ecuaciones que, no sólo es constante en las trayectorias sino también .  Concretamente para toda geodésica vista en estas coordenadas se tiene:

Notemos que da el paralelo en el cual se encuentra el punto, donde es el polo norte, el ecuador, y el polo sur.  Por lo tanto es el radio del paralelo sobre el cual se encuentra el punto.   Esto implica que es la velocidad en la dirección tangente al paralelo.  En vista de esto la cantidad conservada se identifica como el momento ángular de la trayectoria alrededor del eje que pasa por los polos.

El flujo geodésico hiperbólico

Consideremos el semiplano superior con la métrica hiperbólica:

La energía mecánica la definimos de la manera obvia:

Donde y .

La identificación del tangente con el cotangente a través de la métrica está dada por la fórmula:

El Hamiltoniano, por lo tanto es:

Las ecuaciones de Hamilton para el flujo geodésico hiperbólico son:

Se ve claramente que es constante sobre las geodésicas.

Si obtenemos geodésicas de la forma:

Si se cumple:

De lo cual se deduce que decrece monótonamente, y (dado que si está acotado por abajo eventualmente tiene una cota superior negativa y por lo tanto también).

En este caso claramente podemos obtener fórmulas explícitas para las geodésicas utilizando las isometrías de la métrica (que son muchas).  Sin embargo, me parece interesante destacar que a partir de la formulación Hamiltoniana se pueden obtener varios datos interesantes.  Por ejemplo, si el Hamiltoniano no depende de alguna coordenada se obtiene una cantidad conservada sobre las trayectorias (en este caso ).  Esto es un caso particular de un Teorema de Noether que dice que cada flujo que preserva (en nuestro caso ) da lugar a una cantidad conservada para el flujo Hamiltoniano.

Supongamos que estamos en la siguiente situación: Tenemos una variedad Riemanniana de curvatura cuyo grupo fundamental es el de alguna superficie hiperbólica El contexto es tal que tenemos

A uno le gustaría decir entonces que contiene una copia de cuyo se inyecta en el de Resulta que esto es cierto y es (relativamente) fácil de demostrar.

Sea el cubrimiento universal de Recordamos que actúa en por isometrías y que

Teorema A. Identificamos con un subgrupo discreto de isometrías de Entonces existe continua y -equivariante, es decir que para todos y se tiene

Este teorema es consecuencia de un teorema de Hadamard, que describe la topología de y de una propiedad sobre fibrados de fibra contractible cuya prueba, y más detalles sobre fibrados, se puede ver acá.

Teorema[Hadamard]. Sea una variedad simplemente conexa y de curvatura entonces es homeomorfa a donde es la dimensión de

Proposición. Sea un fibrado de base una variedad, y de fibra contractible. Entonces existe una sección de es decir, un mapa continuo tal que pertenece a la fibra de

Vamos entonces a probar el teorema A.

Demostración. Consideramos la variedad y la acción de en sobre cada coordenada. La proyeccion es obviamente -equivariante e induce entonces un fibrado donde

La fibra del fibrado es (y no como uno diría apresuradamente).

Como es homeomorfo a que es contractible, obtenemos, usando la proposición, una función es decir tenemos una función  que es -equivariante, que es lo que queríamos demostrar.

por Andrés Sambarino

En este texto vamos a mostrar un criterio para determinar si un subgrupo de es Zariski denso. Usando el criterio vamos a ver como se construyen subgrupos de que verifican esta propiedad.

El criterio consiste en estudiar la acción de en su álgebra de Lie

via conjugación: Para definimos como

Proposición[Criterio de densidad de Zariski] Un subgrupo de es Zariski denso si y solo si la acción por conjugación de en es irreducible, es decir, no tiene subespacios invariantes.

Consideramos por ejemplo una matriz diagonal . La transformación es también diagonalizable: las matrices (todo ceros y un en el lugar ) para son vectores propios de valor propio y las matrices lo son con el valor propio

Un subespacio invariante para es una suma de subespacios propios. Es fácil entonces considerar otra matriz de forma que y no tengan ningún subespacio invariante en común.

Por ejemplo, en si es diagonalizable en la base canónica entonces elegimos diagonalizable en la base Usando el criterio tenemos entonces que el grupo generado por es Zariski denso en

Prueba del criterio.

Para demostrar la proposición necesitamos algunos conceptos y lemas.

La topología de Zariski en es la topología mas débil que hace continuos a los polinomios. Los cerrados son intersecciones arbitrarias y uniones finitas de conjuntos de la forma donde es un polinomio.

Como en esta topología hay pocos cerrados es fácil pasar de un subgrupo discreto a un subgrupo mas grande.

Lema. La clausura de Zariski de un subgrupo de es un grupo de Lie. Si tiene dimensión entonces es finito.

Demostración. Para probar este lema se usan herramientas de la geometría algebraica que podemos saltear. La idea general es usar el teorema de los ceros de Hilbert (para la primera parte) y el hecho que una variedad algebraica solo tiene una cantidad finita de componentes conexas (para la segunda).

Ahora podemos demostrar una de las implicaciones de la proposición.

Demostración. Vamos a demostrar que un subgrupo infinito de que actúa irreduciblemente en es Zariski denso.

Consideramos la clausura de Zariski y su álgebra de Lie. Es claro que es un subespacio de invariante.

Como es infinito del lema tenemos que

Si no es todo entonces tampoco es todo y tenemos que deja invariante un subespacio propio de

Para ver el recíproco, es decir que un grupo Zariski denso actúa irreduciblemente en precisamos la siguiente propiedad de que no vamos a demostrar.

Lema. es simple, es decir, no tiene subgrupos normales de dimensión positiva. De forma equivalente, el álgebra de Lie no tiene ideales.

Vemos que si tiene un subespacio invariante este es necesariamente un ideal:

Consideramos el grupo

Como la propiedad “preservar un subespacio” puede escribirse como un conjunto de ceros de polinomios tenemos que el grupo es cerrado en la topología de Zariski. Dado que y es Zariski denso en tenemos

O sea es un ideal de

Concluimos usando el lema que el único subespacio de que es invariante es todo el espacio.