Problema de la Semana

por Carolina Puppo

Estos son los problemas que se proponen semanalmente en el Cmat, forman parte del Seminario de Resolución de Problemas. Publicaré como entrada el de la semana y luego los archivaré en esta página.

Problema 1.

Sea una funcion continua y sobreyectiva. Mostrar que existe

tal que .

Este problema lo saque de:  http://grupofundamental.wordpress.com/.

Problema 2.

El problema de las Reinas

Dado , ¿cuál es la mayor cantidad de Reinas*  que se pueden ubicar en un tablero como el de ajedrez  de de modo que quede al menos una casilla sin atacar?  ¿De cuántas maneras se pueden ubicar estas  Reinas para que esto suceda?

*Una Reina ataca todas las casillas que están en la misma fila,  columna o diagonales que ella.

(Problema propuesto en la Competecia Paenza del 2007)

Problema 3.

Sea un conjunto infinito. Si la distancia entre cualquier par de elementos de X es un número entero,  probar que todos los puntos de X están alineados.

(Problema extraído de la competencia Paenza del año 94)

Problema 4.

Se tienen n rectas en el plano (no paralelas dos a dos) y tales que nunca tres de ellas pasan por un mismo punto.

¿Cuántas regiones del plano delimitan estas rectas?

Problema 5.

En un juego , donde m y n son naturales con , los jugadores
A y B substraen alternativamente un natural menor estricto que de un puntaje
que empieza en El ganador del juego es el que hace cero el puntaje.
Dados m y n uno de los jugadores puede forzar su victoria. Explicar quién puede
hacerlo y cuál es la manera.

Problema  6.

Sean    un número escrito con    digitos (todos 1) y    un

número escrito con  dígitos (todos 2), ambos en el sistema decimal.

Probar que    es un cuadrado perfecto.

Problema 7.

Si se elige una respuesta al azar a esta pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que sea la correcta?

1. 0.25
2. 0.5
3. 0.25
4. 0.6

Problema 8.

Sea p un polinomio de coeficientes enteros. Mostrar que si p(0) y p(1) son impares entonces p no puede tener raíces enteras.

Problema 9.

En cierto país se necesitan conectar 21 ciudades por medio de autobuses pertenecientes
a varias compañias. Cada una de las compañias opera en sólo 5 ciudades uniendo
con sus líneas cualesquiera dos de las cinco ciudades. Dos compañias pueden com-
partir algunas de las ciudades que conectan. Todo par de ciudades está unido
por, al menos, una línea directa (sin pasar por otra ciudad intermedia).
Cuál es el mínimo número de compañias necesario para logra la situación deseada?

Problema 10.

Consideremos las 6 fichas del conocido juego de video Tetris, cada una está formada por cuatro cuadraditos unidad, como se indica en la figura. La pregunta es sí con estas piezas podemos formar un cuadrado de realizando sólo movimientos rígidos.

Agradezco a @ipuppo por la continua colaboración en este proyecto

Problema 11.

Se tienen monedas sobre una mesa, de las cuales  tienen su cara hacia arriba. Se conocen y pero no cuales monedas tienen su cara hacia arriba. Con los ojos vendados se pide separar las monedas en dos conjuntos (no necesariamente iguales) que tengan la misma cantidad de monedas con la cara hacia arriba, pudiendo dar vuelta algunas de las monedas.

Problema 12

Probar que todo número natural tiene un múltiplo cuyos  dígitos son únicamente ceros y unos.

Problema 13

Decidir si es posible etiquetar los lados de un cubo con números enteros positivos tales que,

• La suma de los enteros asignados a los 3 lados que conectan cada vértice es igual para los 8 vértices.
• La suma de los enteros asignados a los cuatro lados que forman una cara es igual para las tres caras.