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Dibujos Hiperbólicos

In Uncategorized on Miércoles 22, abril, 2015 at 4:14 pm

por Pablo Lessa

Agrego esta pequeña entrada para anunciar que estoy haciendo un programita cuyo objetivo es ayudar a generar figuras de cosas en el disco de Poincaré para incluir en archivos LaTex.  El programa es aún muy rudimentario pero ya funciona.   Me interesa recibir sugerencias o comentarios si algún valiente esta dispuesto a intentar usarlo. A modo de ejemplo, con la versión actual generé las siguientes figuras (en formatos png, pdf, y eps): test3 test4 test5 Para usar el programa se necesitan las siguientes 3 cosas (además de LaTex):

Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8.

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