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Partir el espacio en círculos disjuntos

In Grupos y geometría on Miércoles 6, diciembre, 2017 at 8:20 am

por Pablo Lessa

Hace un tiempo (digamos dos años) estaba leyendo el obituario a Bill Thurston que publicó Notices de la AMS.  En el mismo hay una frase de David Epstein donde cuenta que en 1970 Thurston le dijo  “Puedo partir \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos” y luego Epstein comenta que 43 años después todavía se preguntaba cómo era posible.

A partir de ahí estuve pensando en el problemita en ratos de charlas aburridas.   Y ante ayer, en una charla aburrida, se me ocurrió una forma de hacerlo (le escribí a Epstein y me dijo que desde que publicó el obituario otro matemático también le había dado una forma de hacerlo).

Proposición: Se puede partir \mathbb{R}^3 en unión disjunta de círculos planares.

Por círculo planar nos referimos a la intersección  de una esfera con un plano.

El puntos de partida de la construcción es la siguiente:

  • En el plano complejo consideramos los círculos con diámetros [0,1],[-1,-2],[2,3],[-3,-4],\ldots.

Propiedad clave:  Cada círculo centrado en 0 intersecta la familia de círculos dados en exáctamente 2 puntos.

Ahora agregamos una dimensión y observamos que cada esfera centrada en 0 en \mathbb{R}^3 intersecta a esta familia de círculos en exáctamente 2 puntos.

La construcción se completa con la siguiente observación:

Lema: Una esfera menos dos de sus puntos en \mathbb{R}^3 se puede partir en unión de círculos planares disjuntos.

Aplicando el lemma a cada esfera centrada en el origen se completa la partición de \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos.

La demostración del lemma consiste en cortar la esfera con una familia de planos que interpolan entre los planos tangentes en los dos puntos que faltan.  En el caso donde los puntos faltantes son antípodas se pueden tomar planos paralelos.  Si los puntos faltantes no son antípodas los planos tangentes en esos puntos se intersectan en una recta y se puede considerar la familia de planos que contienen esa recta.

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Recurrencia de grafos con crecimiento cuadrático

In Probabilidad y Estadística on Jueves 16, noviembre, 2017 at 8:05 am

por Pablo Lessa

Consideremos un grafo conexo con aristas no orientadas y un número finito de aristas saliendo de cada vértice. Fijemos un vértice o en el grafo y consideremos una caminata simple, es decir una sucesión de vértices al azar x_0,x_1,\ldots con x_0 = o y donde en cada paso x_{n+1} se elige al azar entre los vecinos de x_n (cada vecino tiene la misma probabilidad y todas las elecciones son independientes entre sí).

Una caminata de este tipo es recurrente, si casi seguramente (i.e. con probabilidad 1) pasará por cada vértice del grafo infinitas veces.

Definamos un conjunto de corte como un conjunto finito de aristas tales que cualquier camino partiendo de o y que recorre un número infinito de vértices diferentes debe contener alguna arista del conjunto.

El siguiente criterio da una condición suficiente para la recurrencia de un grafo.

Teorema [Criterio de Nash-Williams]:
Si un grafo admite una familia de conjuntos de corte disjuntos A_1,A_2,\ldots tal que
\sum\limits_{k = 1}^{+\infty}|A_k|^{-1} = +\infty
entonces la caminata simple en el grafo es recurrente.

Un ejemplo consiste en considerar como grafo \mathbb{Z}^2 donde cada vértice tiene 4 vecinos como es usual (dos en horizontal y dos en vertical). Es fácil construir una sucesión de conjuntos de corte donde |A_k| es de orden k y por lo tanto el criterio Nash-Williams implica que la caminata simple es recurrente.

Construcciones aritméticas parte 2

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Miércoles 5, agosto, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

El plan ahora es contar otro tipo de construcción aritmética que da lugar a subgrupos \Gamma de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta, para \alpha,\beta\geq0 (es decir, modulo torsion, variedades de volumen finito modeladas en (\mathbb{H}^2)^\alpha\times(\mathbb{H}^3)^\beta) y sobre el final vamos a enunciar la formula para calcular el co-volumen de \Gamma en términos de las cuestiones aritméticas que aparecen en su construcción.

La construcción empieza por elegir un cuerpo k que sea una extension finita de \mathbb{Q}. Si el numero de morfismos de k en \mathbb{C} se escribe como r+2\beta, donde r son aquellos que caen \mathbb{R} (y el 2 es para no contar uno y su conjugado), entonces vamos a explicar la idea de como construir un subgrupo de co-volumen finito de \textrm{PSL}(2,\mathbb{R})^\alpha\times\textrm{PSL}(2,\mathbb{C})^\beta para 0\leq \alpha\leq r. Así, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) da lugar a 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt2) da lugar a superficies hiperbólicas de area finita y el cuerpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]2) da lugar a variedades de volumen finito modeladas en \mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^3 que no son un producto.

Esta historia nace en el paper de Borel, lo que vamos a contar acá se encuentra en el libro de Maclachlan-Ried.

El asunto viene con las álgebras de cuaterniones: si k es un cuerpo y a,b\in k^*=k-\{0\} definimos el álgebra de cuaterniones H=H/k=H_{(a,b)/k} sobre k, como el espacio vectorial sobre k generado por \{1,i,j,ij\} con las relaciones de producto

i^2=a\cdot 1=a,\ j^2=b\textrm{ y } ij=-ji.