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Construcciones aritméticas parte 1

In Álgebra, Grupos y geometría, Teoría de números on Sábado 14, febrero, 2015 at 1:15 pm

por Andrés Sambarino

Me gustaría contar algunas construcciones aritméticas que dan lugar a variedades compactas modeladas en ciertas geometrías (globalmente) simétricas. Toda la info de este post está incluida en estas notas de Yves Benoist.

La construcción que vamos a hacer es un caso particular de un Teorema de Borel y Harish-Chandra y tiene, por ejemplo, la siguiente consecuencia.

Proposición. Sea n un entero positivo, entonces existe una variedad hiperbólica compacta de dimension n.

La primer idea que a uno se le ocurriría para demostrar esto es copiar lo que se hace en dimension dos: considerar poliedros hiperbólicos y pegar adecuadamente las caras; los ángulos formados entre las caras de dimensión mas chica tienen que verificar ciertas condiciones; y si todo va bien se obtiene una variedad hiperbólica compacta.

Resulta que con este método solo se conocen ejemplos concretos hasta dimensión 5 y se sabe que no puede andar en dimensión mas grande que 29 (porqué sera esto…?).

Consideramos en \mathbb{R}^{p+q} la forma cuadrática de signatura (p,q) dada por

\overline\omega(v)=v_1^ 2+\cdots+v_p^2-\sqrt2(v_{p+1}^ 2+\cdots+v_{p+q}^2)

y sea

\textrm{SO}(\overline\omega,\mathbb{R})=\{g\in\textrm{SL}(p+q,\mathbb{R}):\overline\omega\circ g=\overline\omega\}

Octoniones escindidos

In Álgebra, Álgebra Lineal on Jueves 4, diciembre, 2014 at 12:56 pm

por Andrés Sambarino

En un intento por entender los grupos de Lie excepcionales me crucé con un resultado sobre álgebras compuestas. Si k es un cuerpo y A un álgebra con unidad sobre k, decimos que A es compuesta si existe una forma cuadrática no degenerada q:A\to k que respeta el producto, es decir q(xy)=q(x)q(y).

El enunciado que quiero contar es el siguiente:

Teorema [Hurwitz-Jacobson]. Sea A un álgebra compuesta, entonces \dim_k A=1,2,4 ou 8.

Además, si \dim A=2 entonces A es conmutativa y asociativa, si \dim A=4 es asociativa pero no conmutativa, si \dim A=8 entonces no es ni conmutativa ni asociativa.

Es interesante comparar esto con algunos resultados mas conocidos, por ej el Teorema de Stiefel: si \mathbb{R}^n tiene una estructura de álgebra sin divisores de cero, entonces n=1,2,4 ou 8.

Álgebras centrales simples

In Álgebra on Miércoles 12, noviembre, 2014 at 4:48 pm

por Bruno Stonek

Consideremos las álgebras (asociativas, con unidad) sobre un cuerpo. Intentemos pensar en qué ejemplos tenemos a mano:

– Álgebras de matrices. Si las tomamos con coeficientes en un cuerpo, o más en general en un anillo con división, estas álgebras resultan simples, i.e. no tienen ideales biláteros propios. Esto no es difícil de ver. La prueba es: ponele que tenés un ideal no trivial. Agarrate un elemento no nulo. Con ese elemento, multiplicándolo a izquierda y a derecha por matrices de la base canónica y normalizando podés conseguir cualquier elemento diagonal de la base canónica. Sumalos todos y tenés entonces la identidad en tu ideal.

– Álgebras de polinomios y sus respectivos cocientes por ideales. Esto es central en geometría algebraica, donde por decir algo el cociente de k[x_1,\dots,x_n] por un ideal primo está dando las funciones que tenemos sobre un cierto espacio geométrico (la variedad afín correspondiente). Esto es una familia muy grande de ejemplos, y el diccionario álgebra-geometría algebraica es una fuente de intuición acerca de propiedades algebraicas abstractas.

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