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Curso de Cálculo

In Uncategorized on Jueves 29, marzo, 2018 at 5:35 pm

Escribo esta entrada para dejarles a los que participan del blog el enlace al curso de cálculo que acabo de subir a youtube.

Por el momento el curso consiste de 42 “lecciones” que empiezan hablando de los diferentes tipos de número y geometría básica para terminar cubriendo una variedad de temas de cálculo en una variable (incluyendo derivada, integral, el teorema fundamental, teorema de taylor, y series de potencias).

La mayoría de las lecciones son de entre media hora y una hora.

Traté de dar ejemplos y aplicaciones interesantes cuando fuera posible.

Eventualmente podría crear más material del mismo tipo para cubrir nociones de cálculo en varias variables dependiendo de la recepción que tengan y el tiempo que tenga disponible.

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Partir el espacio en círculos disjuntos

In Grupos y geometría on Miércoles 6, diciembre, 2017 at 8:20 am

por Pablo Lessa

Hace un tiempo (digamos dos años) estaba leyendo el obituario a Bill Thurston que publicó Notices de la AMS.  En el mismo hay una frase de David Epstein donde cuenta que en 1970 Thurston le dijo  “Puedo partir \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos” y luego Epstein comenta que 43 años después todavía se preguntaba cómo era posible.

A partir de ahí estuve pensando en el problemita en ratos de charlas aburridas.   Y ante ayer, en una charla aburrida, se me ocurrió una forma de hacerlo (le escribí a Epstein y me dijo que desde que publicó el obituario otro matemático también le había dado una forma de hacerlo).

Proposición: Se puede partir \mathbb{R}^3 en unión disjunta de círculos planares.

Por círculo planar nos referimos a la intersección  de una esfera con un plano.

El puntos de partida de la construcción es la siguiente:

  • En el plano complejo consideramos los círculos con diámetros [0,1],[-1,-2],[2,3],[-3,-4],\ldots.

Propiedad clave:  Cada círculo centrado en 0 intersecta la familia de círculos dados en exáctamente 2 puntos.

Ahora agregamos una dimensión y observamos que cada esfera centrada en 0 en \mathbb{R}^3 intersecta a esta familia de círculos en exáctamente 2 puntos.

La construcción se completa con la siguiente observación:

Lema: Una esfera menos dos de sus puntos en \mathbb{R}^3 se puede partir en unión de círculos planares disjuntos.

Aplicando el lema a cada esfera centrada en el origen se completa la partición de \mathbb{R}^3 en círculos planares disjuntos.

La demostración del lema consiste en cortar la esfera con una familia de planos que interpolan entre los planos tangentes en los dos puntos que faltan.  En el caso donde los puntos faltantes son antípodas se pueden tomar planos paralelos.  Si los puntos faltantes no son antípodas los planos tangentes en esos puntos se intersectan en una recta y se puede considerar la familia de planos que contienen esa recta.

Recurrencia de grafos con crecimiento cuadrático

In Probabilidad y Estadística on Jueves 16, noviembre, 2017 at 8:05 am

por Pablo Lessa

Consideremos un grafo conexo con aristas no orientadas y un número finito de aristas saliendo de cada vértice. Fijemos un vértice o en el grafo y consideremos una caminata simple, es decir una sucesión de vértices al azar x_0,x_1,\ldots con x_0 = o y donde en cada paso x_{n+1} se elige al azar entre los vecinos de x_n (cada vecino tiene la misma probabilidad y todas las elecciones son independientes entre sí).

Una caminata de este tipo es recurrente, si casi seguramente (i.e. con probabilidad 1) pasará por cada vértice del grafo infinitas veces.

Definamos un conjunto de corte como un conjunto finito de aristas tales que cualquier camino partiendo de o y que recorre un número infinito de vértices diferentes debe contener alguna arista del conjunto.

El siguiente criterio da una condición suficiente para la recurrencia de un grafo.

Teorema [Criterio de Nash-Williams]:
Si un grafo admite una familia de conjuntos de corte disjuntos A_1,A_2,\ldots tal que
\sum\limits_{k = 1}^{+\infty}|A_k|^{-1} = +\infty
entonces la caminata simple en el grafo es recurrente.

Un ejemplo consiste en considerar como grafo \mathbb{Z}^2 donde cada vértice tiene 4 vecinos como es usual (dos en horizontal y dos en vertical). Es fácil construir una sucesión de conjuntos de corte donde |A_k| es de orden k y por lo tanto el criterio Nash-Williams implica que la caminata simple es recurrente.