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Homeomorfismos que preservan area en el anillo.

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Domingo 22, febrero, 2009 at 9:18 am

por Rafael Potrie

La idea es comentar un poco sobre el estudio de homeomorfismos del anillo empezado por Poincare y Birkhoff.

Para empezar, contar un poco de lo poco que se de las motivaciones de este estudio. En particular, del punto de vista que viene de la mecanica clasica. Intentare dar algunas ideas medio heuristicas intentando evitar definiciones pesadas.

Los sistemas hamiltonianos son sistemas de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones preservan algun tipo de energia, por su calidad de sistemas mecanicos, donde no solo importa la posicion sino tambien la velocidad, estamos frente a sistemas de dimension par. Estos sistemas van a ser consevativos, preservan esa energia que comentamos, por lo tanto, los espacios de energia constante van a ser invariantes y tener dimension una dimension menor.

Si tomamos una orbita regular del flujo hamiltoniano (es decir, donde el campo no se anula), podemos trazar una subvariedad transversal al flujo donde podremos definir un mapa de primer retorno (supongamos por ejemplo que el punto es recurrente, o una orbita periodica). Lo interesante, es que ese mapa de primer retorno tambien preservara una forma de volumen en esa subvariedad de codimension 2 en la variedad inicial (de hecho, tb preserva una forma simplectica ahi, algo mucho mas restrictivo aun).

Supongamos entonces que estamos frente a un sistema de ecuaciones diferenciales hamiltonianas en de dimension 4 (en esto se intereso Poincare, intentando estudiar cualitativamente el problema de 3 cuerpos en el plano y haciendo algunas simplificaciones), entonces, vamos a asumir que tenemos una orbita periodica, y que si nos fijamos en el retorno que definimos en el parrafo anterior, su derivada tiene valores propios complejos conjugados que no son raiz de la unidad.

En dicho caso, no podemos utilizar el conocido teorema de Hartman y Grobman que nos permite conjugar la dinamica cerca del punto fijo a su parte lineal. Pero siendo que \lambda no es raiz de la unidad hay un simil de dicho teorema que nos da anillos invariantes (teoria KAM) lo cual motiva sin duda el estudio de homeomorfismos como en el titulo de esta nota.

Vale la pena mencionar otros ejemplos, que si bien pueden ser vistos como casos particulares de lo de arriba, pueden ser tambien estudiados aparte sin ser relacionados en absoluto con los sistemas hamiltonianos. Un ejemplo son los billares convexos, y otro el flujo geodesico en la esfera, naturalmente en ambos ejemplos surgen difeomorfismos que preservan area en el anillo, de hecho, en el primer caso surge naturalmente un difeomorfismo que verifica las hipotesis del teorema que vamos a estudiar. En el caso del flujo geodesico, el contexto es un poco diferente pues el mapa queda definido en el anillo abierto unicamente.

Lo que voy a hacer es probar una version simple de un teorema conocido como el Teorema de Poincare-Birkhoff.

Teorema de Poincare-Birkhoff Sea f: S^1\times \left[0,1\right] \to  S^1\times \left[0,1\right] un homeomorfismo que preserva area, la orientacion y los bordes. Supongamos que f restricto al borde de abajo tiene numero de rotacion negativo y positivo restricto al borde de arriba. Entonces f tiene un punto fijo.

En definitiva la hipotesis es una hipotesis del tipo “twist” es decir, que un lado del anillo gire para un lado, y el otro para el otro.

La prueba es sencilla si asumimos una hipotesis mas fuerte que la de “twist” que es que el difeomorfismo “desvie la vertical” que viene a ser como una condicion de twist uniforme.

Decimos que un difeomorfimo del anillo f desvia la vertical, si su levantado F:\mathbb{R}\times [0,1]\to \mathbb{R}\times [0,1]  verifica que la imagen de los conjuntos de la forma \{x\}\times \left[ 0 , 1 \right] verifican que su imagen se proyecta inyectivamente en la primer coordenada y se proyecta sobre x (eso es para que gire positivamente de un lado y negativamente del otro).

Si p_1: \mathbb{R}\times \left[ 0,1 \right] \to \mathbb{R} tal que p_1(x,y)=x entonces, la condicion de desviar la vertical se puede expresar diciendo que la funcion y \mapsto p_1 \circ F(x,y) es una funcion estrictamente creciente y que existe un punto y = \psi(x) \in (0,1) tal que p_1 \circ F(x,y)=x.

Todo punto de la forma z=(x,\psi(x)) se manda por F a un punto de la forma (x,\psi'(x)) (esto es exactamente la condicion que le pedimos a \psi(x)).

Entonces tenemos que \Psi=\{(x,\psi(x)) \in \mathbb{R}\times (0,1)\} es un grafico periodico cuya imagen es el conjunto \Psi'= \{(x,\psi'(x)) \in \mathbb{R}\times (0,1)\}. Como f preserva area, \Psi \cap \Psi' consiste de al menos dos puntos (al bajarlo al anillo) y por lo tanto, asi obtenemos dos puntos fijos de f.

Es interesante que el teorema da mucho mas, es un ejercicio ver que si el numero de rotacion de arriba es \alpha y el de abajo es \beta, entonces para todo racional p/q entre \alpha y \beta hay un punto periodico en el anillo de menor periodo q.

  1. gordo, estaría bueno que explicaras más cómo aparecen homeos del anillos en diferentes contextos.

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