Los seguidores de Manolo

Archive for 25 marzo 2009|Monthly archive page

El Teorema Ergódico Medio

In Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Miércoles 25, marzo, 2009 at 12:55 pm

por Pablo Lessa

En este artículo me dedico a hacer la prueba de la versión debil del teorema ergódico de Birkhoff. También intento traducir bien los conceptos desde el enfoque probabilístico al enfoque de transformaciones que preservan medida.

El teorema ergódio puede verse como una generalización de la ley de grandes números (la versión de Von Neumann corresponde a la ley débil, y la de Birkhoff a la ley fuerte).

Por ejemplo, supongamos que tenemos X_1, \ldots, X_n, \ldots variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, todas en L^1(\Omega) (pongamosle E(X_n) = \mu). La ley de grandes números garantiza que:

\frac{1}{n}S_n \to \mu

con probabilidad 1, donde S_n = X_1 + \cdots + X_n.

Ahora si tomamos Y_n = X_n + X_{n+1}, es razonable suponer que los promedios de estas nuevas variables tiendan a 2\mu. Sin embargo dado que Y_n no es independiente de Y_{n+1} esa conclusión no se obtiene directo del teorema.

Generalizando lo anterior, si definimos Y_n = f(X_n, \ldots, X_{n+k}) para cierta función f, se obtiene una sucesión de variables con idéntica distribución pero no independientes. El teorema de Birkhoff garantizará la convergencia del promedio de estas variables.

Como última observación previa notamos que el siguiente enunciado es FALSO:

Lee el resto de esta entrada »

“Geodesicas” en espacios metricos y la “igualdad triangular”.

In Uncategorized on Jueves 12, marzo, 2009 at 4:03 pm

por Rafael Potrie

Voy a contar un poco una boludez que pensamos con el sambita. Nos parecio divertido.

Una cosa muy comun en matematica, y usalmente no muy interesante, es agarrar una teoria, y ver si vale en contextos mas generales. Muchas veces, eso representa ganar nada en ideas y perder mucho en claridad, espero que este no sea el caso exactamente (aunque muy probablemente si lo es).

La idea es que en una recta, los puntos que estan en una geodesica entre dos puntos, son los puntos que verifican la “igualdad” triangular con los dos puntos de los “extremos” de la geodesica.

Lee el resto de esta entrada »

Distribuciones de Probabilidad Estables (un bosquejo)

In Probabilidad y Estadística on Jueves 12, marzo, 2009 at 2:56 pm

por Pablo Lessa

El teorema central del límite clásico dice:

Teorema Central del Limite.

Si X_1, \ldots, X_n, \ldots son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y tales que:

E(|X_n|) < +\infty

E(|X_n|^2) < +\infty

entonces definiendo

S_n = X_1 + \cdots + X_n

E(X_n) = \mu

E((X_n-\mu)^2) = \sigma^2

se tiene que  para todo a,b \in \mathbb{R} con a < b se tiene:

P(\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}(S_n - n\mu) \in [a,b]) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^be^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x

La hipótesis de que las variables sean de cuadrado integrable es escencial y tenemos el siguiente ejemplo:

Lee el resto de esta entrada »

Conjunto límite de grupos de matrices

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Domingo 8, marzo, 2009 at 10:01 am

por Andrés Sambarino

La idea de este artículo es explicar un poco qué es el conjunto límite de un subgrupo discreto del grupo

SL(d,\mathbb R)= matrices d\times d de determinante 1 y coeficientes reales.

Empezamos con álgebra lineal. Si una matriz A de SL(d,\mathbb R) tiene un único valor propio \lambda de módulo más grande y el espacio asociado a este valor propio es de dimensión 1 entonces diremos que la matriz A es proximal. Esta definición viene de que si escribimos

\mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W

donde Av=\lambda v y W es A-invariante entonces dado cualquier vector u\notin W, la recta A^n(\mathbb R u) se acerca a la recta \mathbb R v a medida que n\to\infty.

Equivalentemente, si consideramos la acción de A en el espacio proyectivo, \mathbb P(\mathbb R^d)= rectas de \mathbb R^d, entonces A tiene un atractor (la recta \mathbb R v) y su cuenca de atracción es el complemento del compacto \mathbb P(W).

Otra definición.

Lee el resto de esta entrada »

Crear funciones continuas y no derivables en ningun punto es facil

In Análisis Real y Complejo on Miércoles 4, marzo, 2009 at 6:44 pm

por Pablo Lessa

El propósito de este artículo es mostrar una construcción y demostración sencilla de que existe una funcion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} que es continua en todo x \in \mathbb{R} pero que no es derivable en ningún punto.

Lee el resto de esta entrada »