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Crear funciones continuas y no derivables en ningun punto es facil

In Análisis Real y Complejo on Miércoles 4, marzo, 2009 at 6:44 pm

por Pablo Lessa

El propósito de este artículo es mostrar una construcción y demostración sencilla de que existe una funcion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} que es continua en todo x \in \mathbb{R} pero que no es derivable en ningún punto.

Empezamos con la función valor absoluto, que es continua pero no derivable en {0} (el clásico ejemplo de los cursos de cálculo).

Luego la hacemos periódica de la siguiente forma:

g(x) = |\tilde{x}| \text{ donde }

\tilde{x} \in [-1,1] \text{ y } x - \tilde{x} \text{ es un entero par}

La gráfica de g son un montón de sierritas que van de {0} (en todos los enteros pares) a 1 (en todos los enteros impares).  Es creciente (con derivada 1) en los intervalos [2k, 2k+1], k \in \mathbb{Z} y decreciente (con derivada -1) en los otros intervalos.

Nos interesa ahora aumentar la frequencia de g.  En particular notemos que las funciones definidas mediante: g(2^n x) para valores de n enteros, tienen cada vez el doble de ceros, y cada una comparte los ceros de la anterior.

El truco ahora como todos se imaginan es elegir una sucesión de reales a_n y definir la función canditado mediante:

f(x) = \sum_{n} a_n g(2^nx)

Para estar seguros de la existencia y continuidad de f alcanza con pedir \sum_n |a_n| < +\infty.  Esto nos deja todavía una gran libertad para elegir la sucesión.

La manera obvia de proceder es considerar un x \in \mathbb{R} y demostrar que no existe el límite de los cocientes incrementales en este punto mediante un argumento totalmente genérico (independiente de cualquier propiedad especial de x).   Este camino no es el que tomaremos.

Lo que haremos será aprovechar que en los diádicos (puntos de la forma k/2^n) la serie que define a la función se convierte en una suma finita (ya que g se anula en los enteros pares).

Supongamos que f es derivable en cierto punto x \in \mathbb{R} y consideremos para cada entero n los dos diádicos más cercanos:

k/2^n \le x < (k+1)/2^n

se tiene entonces para el cociente incremental entre estos diádicos que:

2^n(f(\frac{k}{2^n}) - f(\frac{k+1}{n})) \to f'(x) \text{ cuando } n \to +\infty

esa resta resulta ser una suma finita que es:

2^n \sum_{m \le n} a_m (g(2^m\frac{k+1}{2^n}) - g(2^m\frac{k}{2^n}))

Todo el asunto entonces es entender la función g para poder evaluar las restas.  Resulta que en el intervalo entre dos diádicos g es monótona con pendiente 1 o -1 de modo que:

|g(2^m\frac{k+1}{2^n}) - g(2^m\frac{k}{2^n})| = \frac{2^m}{2^n} \text{ para todo } m \le n

Además dado la cercanía de estos puntos a 2^mx se tiene que el signo está dado por g'(2^mx) = \pm 1 (cambiando por la derivada por derecha si 2^m x llega a entero).

Lo que obtuvimos entonces es:

\sum_{m \le n} g'(2^m x)2^m a_m \to f'(x) \text{ cuando } n \to +\infty

Para que sea imposible que este límite exista alcanza con la condición:

2^n a_n \text{ no tiende a } 0 \text{ cuando } n \to +\infty.

En particular tomando a_n = 1/2^n se obtiene que:

f(x) = \sum_n \frac{1}{2^n}g(2^n x)

es una función continua pero no derivable en ningún punto.

Genericidad de la no derivabilidad

Si bien la construcción anterior es satisfactoria no deja de ser sumamente artificial y no nos quita del todo la noción de que una función así debe ser sumamente rebuscada y “patológica”.

Hay varias maneras en las que uno puede estudiar que tan patólogico o que tan genérico es este fenómeno.

En primer lugar sabemos que toda función continua es aproximable por funciones derivables.  Sin embargo toda función continua también es aproximable por funciónes que no son derivables en ningun punto.  Esto es consecuencia de que sumar un pequeño multiplo de la función que definimos arriba a una función derivable destruye la derivabilidad en todo punto.

La noción topológica más común de genericidad es la de que una propiedad que se cumpla en una intersección numerable de abiertos densos (avalados por el teorema de Baire).  Para esta definición se tiene que genéricamente una función continua no es derivable en ningún punto.

Otra definición posible es probabilística.  Así como la noción topológica dependía de la elección (arbitraria aunque bastante natural) de la topología uniforme entre funciones continuas, la definición probabilistica depende de dar una medida de probabilidad sobre las funciones continuas.

Hay una medida que ha surgido naturalemente que es la llamada Medida de Weiner.  El resultado de elegir una función continua al azar con esta medida es lo que se llama un Movimiento Browniano que es la generalización de paseo al azar a \mathbb{R} (es fácil definir un paseo al azar en \mathbb{Z} o en otras estructuras discretas).

Resulta que con probabilidad 1 la función dada por un movimiento Browniano no es derivable en ningún punto.

Esto me parece notable, porque a diferencia de los ejemplos construidos en este artículo, el movimiento Browniano surgió puramente de consideraciones físicas.  De alguna manera da un ejemplo natural de esta patología generica.

Ta, eso quería contar nomás.

  1. Un problemita que me interesa y no se resolver… si cambiamos g(x) por \text{sin}(\pi x) ¿Alguien puede encontrar condiciones fáciles sobre a_n para que la función f sea continua pero no derivable?

    De ese modo obtendríamos una serie de fourier patológica. Lo cual no sería de extrañar y hasta se podría decir que: “las Series de Fourier son el origen de todo mal”.

  2. Pablito….. hay una manera “natural” de definir un conjunto de probabilidad total en un espacio de dimensión infinita. La “prevalencia” (o como se traduzca).

    En un espacio vectorial V se define asi: Un conjunto de borel S \subset V es “timido” si existe una medida de Borel \mu en V tal que \mu(S-v) = 0 para todo v \in V. Decis entonces que un conjunto cualquiera es “timido” si esta contenido en uno de Borel que sea timido y definis que un conjunto es “prevalente” si su complemento es timido. Verifica todo lo que interesa, es denso y se porta bien con intersecciones numerables (y obviamente, coincide con medida total en \mathbb{R}^n.

    Será que las funciones no derivables en ningun punto son prevalentes? Ni idea… También esta nocion de prevalencia se puede pasar a otros espacios…

  3. Un ejemplo de función no derivable en ningún punto es la función de Weierstrass, la cual está definida en todo R y no es derivable en algún punto.

    Lo que no me queda duda en resolver es; encontrar una función que no cumpla la condición de Lipchitz en ningún punto de su dominio, pero sea continua.

  4. Parece interesante.

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