Los seguidores de Manolo

Conjunto límite de grupos de matrices

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Domingo 8, marzo, 2009 at 10:01 am

por Andrés Sambarino

La idea de este artículo es explicar un poco qué es el conjunto límite de un subgrupo discreto del grupo

SL(d,\mathbb R)= matrices d\times d de determinante 1 y coeficientes reales.

Empezamos con álgebra lineal. Si una matriz A de SL(d,\mathbb R) tiene un único valor propio \lambda de módulo más grande y el espacio asociado a este valor propio es de dimensión 1 entonces diremos que la matriz A es proximal. Esta definición viene de que si escribimos

\mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W

donde Av=\lambda v y W es A-invariante entonces dado cualquier vector u\notin W, la recta A^n(\mathbb R u) se acerca a la recta \mathbb R v a medida que n\to\infty.

Equivalentemente, si consideramos la acción de A en el espacio proyectivo, \mathbb P(\mathbb R^d)= rectas de \mathbb R^d, entonces A tiene un atractor (la recta \mathbb R v) y su cuenca de atracción es el complemento del compacto \mathbb P(W).

Otra definición.

Definición. Decimos tambien que un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es irreducible si la acción de \Gamma en \mathbb R^d no tiene subespacios propios invariantes, es decir que para todo v\neq 0\in\mathbb R^d el conjunto \Gamma v=\{\gamma v:\gamma\in\Gamma\} genera todo \mathbb R^d.

Teorema[Conze-Guivarc’h]. Sea \Gamma un subgrupo discreto e irreducible de SL(d,\mathbb R) que contiene una matriz proximal. Entonces existe un único compacto invariante \Lambda \subset \mathbb P(\mathbb R^d) que es minimal para la acción de \Gamma. Este se obtiene como la clausura de los atractores de los elementos proximales de \Gamma.

Este compacto se llama el conjunto límite de \Gamma en \mathbb P(\mathbb R^d).

Demostración. Sea K\subset \mathbb P(\mathbb R^d) un compacto \Gamma-invariante, es decir, \gamma K=K para todo \gamma\in\Gamma, y sea tambien v el atractor de una matriz proximal \gamma_0\in\Gamma, que sabemos hay por hipótesis.

Vamos a mostrar que necesariamente v\in K. Esto concluiria la prueba porque la clausura de

\{u\in\mathbb P(\mathbb R^d): u\textrm{ es atractor de alguna matriz proximal de }\Gamma\}

es un compacto invariante contenido en cualquier compacto invariante.

Para mostrar entonces que v\in K escribimos como antes \mathbb R^d=\mathbb R v\oplus W donde W es \gamma_0-invariante y tomamos un elemento k\in K. Tenemos dos posibilidades:

  1. Si k\notin\mathbb P(W) entonces \gamma_0^n k\to v cuando n\to\infty, como K es invariante tenemos que \gamma_0^n k\in K para todo n\in\mathbb N, y como K es compacto tenemos entonces que v\in K, lo que queriamos mostrar.
  2. Supongamos ahora que k\in \mathbb P(W), si \Gamma k\subset \mathbb P(W) violamos la hipótesis de irreducibilidad: W es un subespacio invariante para la acción de \Gamma en \mathbb R^d. Tenemos entonces que \rho k\notin\mathbb P(W) para algún \rho\in\Gamma. Obviamente \rho k\in K y entonces aplicamos lo razonado en el item anterior.

Esto termina la prueba.

\square

Conjunto límite en el espacio de banderas.

Por consideraciones geométricas que (capaz) explicaremos despues, el espacio donde nos interesa probar un teorema como el anterior es el espacio de las banderas de \mathbb R^d. Una bandera es una sucesión de subespacios vectoriales de \mathbb R^d

0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_{d-1}\subset V_d=\mathbb R^d

donde cada V_i tiene dimensión i. El espacio \mathscr B de las banderas tiene una topología natural que no vamos a explicar. Comenzamos con una observación dinámica.

Observación. Sea g\in SL(d,\mathbb R) una matriz diagonalizable con todos los valores propios distintos y sea v_1,\cdots,v_d una base donde g es diagonal, ordenada de forma que si \lambda_i es el valor propio de v_i entonces \lambda_1>\lambda_2>\cdots> \lambda_d, entonces la bandera

\mathscr V(g)=\{0\subset V_1=\left<v_1\right>\subset V_2=\left<v_1,v_2\right>\subset\cdots\subset V_d=\left<v_1,\ldots,v_d\right>=\mathbb R^d

es un atractor para g en \mathscr B y su cuenca de atracción es exactamente \{\mathscr W\in\mathscr B: W_i\oplus V_{d-i}=\mathbb R^d\}.

Para probar el teorema vamos a precisar la siguiente hipótesis algebraica: Zariski densidad.

Definición. Identificamos SL(d,\mathbb R) como un subconjuto de \mathbb R^{d\times d}. Decimos entonces que un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso si los polinomios \mathbb R^{d\times d}\to\mathbb R que se anulan en \Gamma necesariamente se anulan en todo SL(d,\mathbb R).

Lo más importante de esta definición para nuestros propósitos es el siguiente teorema de Benoist: es claro que SL(d,\mathbb R) actúa en \bigwedge^i \mathbb R^d

g\cdot v_1\wedge\cdots\wedge v_i=gv_1\wedge\cdots\wedge g v_i,

el teorema entonces enuncia lo siguiente.

Teorema[Benoist]. Si \Gamma es un subgrupo Zariski denso de SL(d,\mathbb R) entonces \Gamma contiene una matriz diagonalizable con valores propios positivos distintos dos a dos. Además para todo i, la acción de \Gamma en \bigwedge^i\mathbb R^d es irreducible.

Una observación a hacer sobre el teorema anterior es la siguiente:

Observación. Sea \gamma_0\in SL(d,\mathbb R) una matriz diagonalizable con valores propios positivos distintos dos a dos entonces \gamma_0 actuando en \bigwedge^i\mathbb R^d es diagonalizable y de valores propios distintos dos a dos, en particular \gamma_0 es proximal en \bigwedge^i(\mathbb R^d).

Para mostrar la observación ponemos \{v_1,\ldots,v_d\} una base de vectores propios de \gamma_0 de forma que si \lambda_ i es el valor propio de v_i entonces

\lambda_1>\lambda_2>\cdots>\lambda_d.

Es sabido que \{v_{k_1}\wedge\cdots\wedge v_{k_i}: k_1<\cdots<k_i\} es una base de \bigwedge^i(\mathbb R^d), que claramente consiste de vectores propios para \gamma_0:

\gamma_0(v_{k_1}\wedge\cdots\wedge v_{k_i})=(\lambda_{k_1}\cdots\lambda_{k_i}) v_{k_1}\wedge\cdots\wedge v_{k_i}.

Estamos en condiciones de probar el teorema análogo al de la sección anterior para el espacio de banderas:

Teorema[Benoist]. Sea \Gamma un subgrupo discreto y Zariski denso de SL(d,\mathbb R), entonces existe un único compacto \Lambda\subset\mathscr B minimal para la acción de \Gamma. Este compacto contiene los atractores de todos los elementos de \Gamma diagonalizables de valores propios distintos dos a dos.

Este compacto se llama el conjunto límite de \Gamma en \mathscr B.

Demostración. La estrategia de la prueba es análoga al primer teorema demostrado. Consideramos un compacto invariante K y el atractor \mathscr V= \{V_0\subset \cdots\subset V_n\} de una matriz \gamma_0 de \Gamma diagonalizable de valores propios \lambda_1>\cdots\lambda_d distintos dos a dos. Mostraremos entonces que necesariamente \mathscr V\in K.

Consideramos G_i(\mathbb R^d) el espacio de los subespacios de dimensión i de \mathbb R^d. Este conjunto es conocido como la i-ésima Grassmaniana y tiene una topología natural para la cual es compacto. Si W es un subespacio de dimensión i y \{w_1,\cdots,w_i\} es una base de W entonces podemos considerar el producto exterior

\pi_i(W):=w_1\wedge\cdots\wedge w_i \in \bigwedge^i(\mathbb R^d).

Si cambiamos la base de W el vector anterior cambiará a lo sumo por un número real, así que en realidad \pi_i(W) está bien definido como un mapa de G_i(\mathbb R^d)\to \mathbb P (\bigwedge^i \mathbb R^d). Pensamos el mapa \pi_i como de \mathscr B\to\mathbb P(\bigwedge^i \mathbb R^d)  (simplemente la imagen de una bandera es la imagen de su espacio de dimensión i), entonces \pi_i verifica dos propiedades importantes: dada \mathscr W\in\mathscr B entonces

  • dada g\in SL(d,\mathbb R)  vale que g\pi_i(\mathscr W)=\pi_i(g\mathscr W) (esto es decir que \pi_i es equivariante) y
  • se tiene que \bigcap_{i=1}^{d}\pi_i^{-1}(\pi_i(\mathscr W))=\mathscr W.

La primer propiedad se deduce haciendo cuentas y la segunda es es inmediata (solamente hay una bandera tal que para todo i, el  i-ésimo espacio coincida con el de la bandera \mathscr W).

Volvemos entonces a nuestro compacto invariante K y el atractor \mathscr V de \gamma_0. De la observaci\’on realizada antes del enunciado del teorema se deduce que \pi_i(\mathscr V) es el atractor para \gamma_0 actuando en \mathbb P(\bigwedge^i\mathbb R^d).

Tenemos entonces que, como \pi_i es equivariante y G_i(\mathbb R^d) es compacto, \pi_i(K) es un compacto \Gamma invariante, y aplicando el teorema inicial para el espacio proyectivo obtenemos que \pi_i(\mathscr V)\in\pi_i(K). Concluimos entonces que

\mathscr V=\bigcap \pi_i^{-1}(\pi_i(\mathscr V))\in \bigcap \pi_i^{-1}(\pi_i(K))=K.

Que es lo que queriamos mostrar.

\square

  1. ¡Bo, tremendo artículo!

    En el teorema de Conze-Guivarc’h (que hijo de de puta tener un apellido con apóstrofe):

    ¿Porque es invariante la clausura de los atractores de las matrices proximales de \Gamma?

    Esto significaría que la imagen de un atractor v por cualquier elemento (no proximal por ejemplo) \gamma \in \Gamma es aproximada por atractores de matrices proximales… no lo veo.

    Parece recontra interesante porque significa que podes construir más matrices proximales en \Gamma. Utilizando una matriz cualquiera y una proximal.

    Bo una vez más: ¡que bueno que hayas escrito esto!

  2. El conjunto de atractores es invariante porque si v es el atractor de una matriz proximal \gamma\in\Gamma, y \rho es una matriz cualquiera de \Gamma entonces \rho v es el atractor de \rho\gamma\rho^{-1}, esta última matriz esta en \Gamma porque \rho y \gamma están en \Gamma. Además \rho\gamma\rho^{-1} es proximal, porque es simplemente conjugar!

    El lessa noma!!!!

  3. Está perfecto lo que decís.

    Otra cosa que me pareció interesante es el uso del producto cuña para armar un espacio vectorial a partir de los subespacios de dimensión i.

    Si entiendo bien, un conjunto de i vectores de \mathbb{R}^d tiene producto cuña no nulo sólamente si define un subespacio de dimensión exáctamente i. Además cuando un conjunto de estos define el mismo subespacio que otro, metiendo la matriz de cambio de base te sale que los productos cuña se relacionan mediante un factor escalar.

    O sea que el producto cuña \bigwedge^i \mathbb{R}^d tiene adentro representados todos los subespacios de dimensión i y luego combinaciones lineales formales de ellos.

    Lo que no me cierra de todo esto es que la dimensión del producto cuña es \left(\begin{array}{c}d\\i\end{array}\right)!?

  4. El truco ese esta buenisimo. Igual el mapa ese en realidad esta bien definido solo en el proyectivo, por eso mismo que decis, si cambiás de base el vector cambia por un número real, o sea que en realidad solamente la recta que ese vector determina es lo que se podria decir que es la imagen del espacio vectorial de dimensión i. Esto no contradice nada porque la Grassmaniana G_i(\mathbb R^d) tiene dimensión i(d-i) y el proyectivo \mathbb P(\bigwedge^i\mathbb R^d) tiene dimensión C^d_i-1.

  5. Tenés razón. Nunca pensé que no todos los elementos de \bigwedge^i \mathbb{R}^d provienen de tomar el producto cuña de una base de un subespacio de dimensión i.

    Por ejemplo si expresas un elemento de \bigwedge^2 \mathbb{R}^4 como:

    a e_1\wedge e_2 + b e_1 \wedge e_3 + c e_1 \wedge e_4 + d e_2 \wedge e_3 + e e_2 \wedge e_4 + f e_3 \wedge e_4

    Según wikipedia (Plucker Embedding) la combinación viene de un plano si y solo si se cumple:

    {}af-be+dc=0

    lo cual me vuela la mente. Parece que en general en cualquier dimensión la condición necesaria y suficiente está dada por un montón de polinomios homogeneos de grado 2.

  6. pah, ni idea de eso último que decis, habrá que ponerse a hacer las cuentas a ver si da.

  7. Bo, habia un poco de redundancia en el primer teorema de Benoist que enuncié, asi que lo cambié y puse cómo se deducia la hipótesis que saqué de las anteriores.

  8. Sambita…. hay alguna condicion equivalente a ser Zariski denso? Por ejemplo, si es un lattice, es Zariski denso?

  9. Ser Zariski denso es una condición re débil. Los látices son Zariski densos pero en realidad podés encontrar grupos generados solamete por dos elementos que son Zariski densos. Capaz que hago otro artículo que hable de la densidad de Zariski, y que pruebe el teorema de Benoist que quedó ahi medio colgado.

  10. Excelente… escriba entonces!

  11. […] Lo bueno es que este formalismo (el producto exterior) sirve para otras cosas (por ejemplo para estudiar las variedades grasmanianas y los espacios de banderas como se discute en este artículo del sambita). […]

  12. […] on Lunes 9, Agosto, 2010 at 9:26 am En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente: Teorema[Benoist]. Sea un grupo Zariski […]

  13. hola disculpa, esta genial esta idea; tendrás alguna referencia bibliográfica al respecto, lo agradecería muchísimo.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: