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“Geodesicas” en espacios metricos y la “igualdad triangular”.

In Uncategorized on Jueves 12, marzo, 2009 at 4:03 pm

por Rafael Potrie

Voy a contar un poco una boludez que pensamos con el sambita. Nos parecio divertido.

Una cosa muy comun en matematica, y usalmente no muy interesante, es agarrar una teoria, y ver si vale en contextos mas generales. Muchas veces, eso representa ganar nada en ideas y perder mucho en claridad, espero que este no sea el caso exactamente (aunque muy probablemente si lo es).

La idea es que en una recta, los puntos que estan en una geodesica entre dos puntos, son los puntos que verifican la “igualdad” triangular con los dos puntos de los “extremos” de la geodesica.

Es decir. Sea X un espacio metrico. Sean x, y \in X. Definimos G_{xy}= \{ z\in X \ : \ d(x,z)+d(z,y)=d(x,y) \}. En otras palabras, los puntos en G_{xy} son los que verifican la “igualdad triangular” con respecto a x e y.

No es dificil dotar a G_{xy} de un orden parcial, motivado tambien por la “igualdad triangular”. Decimos que z \leq w si y solamente si d(x,z)+ d(z,w) = d(x,w).

Me embola escribir una prueba, pero es obvio que vale lo siguiente

Proposicion La relacion definida es un orden parcial. Ademas, se puede definir como z \leq w si y solamente si d(z,w)+ d(w,y) = d(z,y).

Entonces ahora definimos “geodesica” entre x e y como una cadena maximal del orden arriba definido.

A pesar de parecer (y ser) una boludez, es divertido ver como en variedades riemannianas la definicion coincide!. Sugiero tomar dos puntos antipodales en S^2 con la metrica usual. En ese caso G_{xy} es todo $S^2$ y las cadenas maximales exactamente las geodesicas.

Estaria bueno quizas exprimir un poco mas esta definicion para ver si pasa de ser una boludez a decir algo interesante.

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