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Teorema de Convergencia de Martingalas

In Probabilidad y Estadística on Domingo 26, abril, 2009 at 6:28 pm

por Pablo Lessa

Este es el último de lo que resultó ser una serie de 3 artículos sobre esperanza condicional y martingalas.

El objetivo presente es demostrar el famoso Teorema de Convergencia de Martingalas.

Este teorema permite dar una demostración de la ley de grandes números y tiene otras aplicaciones.

La intuición detrás del resultado es que una martingala es una sucesión de variables aleatorias que si bien tienen la misma esperanza, tienden a crecer en tamaño (una forma de darle un sentido preciso a esto es notar que si X_n es una martingala entonces |X_n| y X_n^+ son submartingalas).  Por lo tanto si tenemos algún control sobre:

\text{sup}_nE(|X_n|)

o incluso sobre

\text{sup}_nE(X_n^+)

es razonable esperar que la sucesión X_n no varie mucho o incluso que tenga límite.

La prueba consiste en demostrar que para todo intervalo [a,b] con a < b, el número de veces que la sucesión X_0, \ldots, X_n atraviesa el intervalo de abajo hacia arriba está controlado por el tamaño esperado de la última variable X_n.  Este es el llamado lema de cruces, que demostraremos a continuación, luego de una disgresión sobre submartingalas.

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Martingalas

In Probabilidad y Estadística on Domingo 26, abril, 2009 at 12:39 pm

por Pablo Lessa

Este artículo es la continuación de este otro sobre esperanza condicional.

Nuestro objetivo es entender el concepto de martingala.

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Alguna analogia entre conjuntos de medida uno y residuales.

In Varios on Martes 21, abril, 2009 at 10:13 pm

por Rafael Potrie

Voy a contar un par de resultados que me parecen interesantes de los conjuntos residuales. Pueden parecer un poco banales, pero tienen una aplicacion muy fuerte a la dinamica generica (rama de los sistemas dinamicos que se encarga de estudiar las propiedades de un conjunto residual de difeomorfismos).

Los resultados son los siguientes:

Teorema 1: Sea X un espacio de Baire y sea A\subset X un boreliano. Entonces, existe R \subset X residual de forma tal que para todo x \in X existe un entorno U de x de forma tal que o bien R\cap U \subset A, o bien R\cap U \subset A^c.

Este teorema se puede pensar como un Teorema de densidad de Lebesgue topologico.

Teorema 2: Sean X y Y espacios de Baire y sea R \subset X\times Y. Entonces, R es residual en X\times Y si y solo si existe un residual R_X\subset X tal que para todo x \in R_X se cumple que R \cap \{x\} \times Y es residual en \{x\}\times Y

Este ultimo teorema se puede pensar como un Teorema de Fubini topologico. Lee el resto de esta entrada »

Esperanza Condicional

In Probabilidad y Estadística on Domingo 19, abril, 2009 at 6:53 pm

por Pablo Lessa

Este artículo es el primero de una serie que voy a escribir a pedido del sambita.  La idea es llegar a entender el clásico teorema de convergencia de martingalas.  Luego el sambita se encargaría de utilizarlo para ayudar a demostrar algunos resultados en teoría de grupos.

En esta primera entrega el tema que nos ocupa es la definición formal e intuición, detrás del concepto de esperanza condicional.

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Un grupo cuya medida de Haar no es bi-invariante

In Grupos y geometría on Lunes 6, abril, 2009 at 8:45 am

por Andrés Sambarino

En este artículo la idea es mostrar un grupo cuya medida de Haar invariante a izquierda no es invariante a derecha.  El ejemplo es directo: el grupo es

P=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ 0 & a^{-1}\end{array}\right): a\in \mathbb R-\{0\}, b\in \mathbb R\right\}\subset SL(2,\mathbb R).

Se puede calcular explícitamente la medida de Haar de P a izquierda y ver que no es invariante por multiplicación a derecha. Pero como no me gusta mucho hacer cuentas prefiero mostrarles un método mas “teórico” y de paso hablar de un teorema que está bueno.

Definición. La medida de Haar (a izquierda) \mu_G de un grupo G es una medida sobre los borelianos del grupo, finita en compactos, que es invariante por traslaciones a izquierda: si notamos L_g:G\to G como L_g(x)=gx entonces tenemos que

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ya que estan para explicar temas dificiles

In Uncategorized on Jueves 2, abril, 2009 at 6:41 am

por Armando Treibich

? quien sabe resolver el te(ore)ma de la SUME ?, como se puede utilizar o al menos esbozar una posible resolucion y entender para que deberia servirnos.