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Un grupo cuya medida de Haar no es bi-invariante

In Grupos y geometría on Lunes 6, abril, 2009 at 8:45 am

por Andrés Sambarino

En este artículo la idea es mostrar un grupo cuya medida de Haar invariante a izquierda no es invariante a derecha.  El ejemplo es directo: el grupo es

P=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ 0 & a^{-1}\end{array}\right): a\in \mathbb R-\{0\}, b\in \mathbb R\right\}\subset SL(2,\mathbb R).

Se puede calcular explícitamente la medida de Haar de P a izquierda y ver que no es invariante por multiplicación a derecha. Pero como no me gusta mucho hacer cuentas prefiero mostrarles un método mas “teórico” y de paso hablar de un teorema que está bueno.

Definición. La medida de Haar (a izquierda) \mu_G de un grupo G es una medida sobre los borelianos del grupo, finita en compactos, que es invariante por traslaciones a izquierda: si notamos L_g:G\to G como L_g(x)=gx entonces tenemos que

{L_g}_*\mu_G (B):= \mu_G(g^{-1}B)=\mu_G(B)

para todos g\in G y B boreliano de G. Resulta que una medida de Haar cuando existe es única (salvo multiplicar por un número real) y existe si y solo si G es localmente compacto.

También se puede definir una medida de Haar a derecha de forma obvia y los teoremas de existencia y unicidad son exactamente iguales. Notamos R_g la multiplicación a derecha, es decir R_g(x)=xg.

Consideremos entonces la medida de Haar invariante a izquierda \mu sobre un grupo G. La medida {R_g}_*\mu es también invariante a izquierda:

{L_h}_*{R_g}_*\mu(B)={L_h}_*\mu(Bg^{-1})=\mu(Bg^{-1})={R_g}_*\mu.

Tenemos entonces, por unicidad, que \mu y {R_g}_*\mu difieren en un escalar que llamamos \Delta(g^{-1}) y \Delta :G\to\mathbb R^+_* es un morfismo de grupos.

La función \Delta se llama función modular y un grupo es unimodular cuando \Delta\equiv1. En este caso la medida de Haar a izquierda es la misma que a derecha. Enunciamos un teorema que no vamos a demostrar con alguna fórmula que precisaremos.

Teorema. La función modular es continua. Ademas la siguiente formula es valida

\int_G \varphi(g^{-1})d\mu_G(g)=\int_G\frac{\varphi(g)}{\Delta_G(g)}d\mu_G.

Para mostrar que el grupo

P=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ 0 & a^{-1}\end{array}\right): a\in \mathbb R-\{0\}, b\in \mathbb R\right\}\subset SL(2,\mathbb R)

no es unimodular la estrategia a seguir es la siguiente.

  1. Vamos a mostrar un teorema que enuncia los siguiente: dados dos grupos unimodulares H\subset G, H cerrado en G, entonces existe una (única) medida G-invariante en el cociente G/H.
  2. Si P fuera unimodular aplicamos el teorema anterior a P\subset SL(2,\mathbb R) (en la siguiente sección mostraremos que SL(2,\mathbb R) es unimodular) y obtenemos una medida SL(2,\mathbb R)-invariante en el cociente X=SL(2,\mathbb R)/P.
  3. Estudiando la acción de SL(2,\mathbb R) en X mostraremos que SL(2,\mathbb R) no tiene medidas invariantes en X.

Grupos unimodulares.

El hecho que la función modular \Delta:G\to \mathbb R^+_* sea un morfismo de grupos (\mathbb R^+_* es el grupo multiplicativo de los reales positivos) resulta bastante restrictivo dado que: \mathbb R^+_* es un grupo abeliano sin subgrupos compactos (salvo el 1, claro).

Por ejemplo, si todo elemento de un grupo G se escribe como un conmutador (es decir todo g se escribe como aba^{-1}b^{-1} para algunos a,b\in G), o como un producto de conmutadores, entonces el morfismo \Delta es necesariamente constante igual a 1 y el grupo resulta unimodular.

Otro ejemplo: si G es compacto entonces \Delta(G) es un subgrupo compacto de \mathbb R^+_* o sea, \Delta\equiv 1 y G es unimodular.

Como último ejempo tenemos los grupos discretos. Estos son unimodulares, pero por razones directas: su medida de Haar es la medida del conteo que es obviamente invariante de ambos lados.

En la última sección vamos a esbozar un prueba del siguiente teorema. Aprovechamos ahora para sacar algunas consecuencias.

Teorema. Sean H\subset G grupos localmente compactos donde H es cerrado en G. Entonces existe una medida G-invariante en el cociente G/H si y solo si para todo h\in H se tiene que \Delta_G(h)=\Delta_H(h).

Nos dirigimos a probar lo siguiente:

Observación. Si G contiene un grupo discreto y con cociente compacto \Gamma entonces G es unimodular.

Como \Gamma es discreto la proyección sobre G/\Gamma resulta un cubrimiento, lo que nos permite pasar la medida de Haar de G hacia el cociente. Obtenemos así una medida G-invariante en G/\Gamma.  A partir del teorema tenemos

\Delta_G(\gamma)=\Delta_\Gamma(\gamma)=1 para todo \gamma\in\Gamma.

O sea que \Gamma\subset\ker\Delta. Este último es un subgrupo normal de G y como G/\Gamma es compacto tenemos que G/\ker\Delta es compacto e isomorfo a la imagen de \Delta, pero el único grupo compacto de \mathbb R^+_* es el 1, de donde \Delta es constante.

Corolario. SL(2,\mathbb R) es unimodular.

Esto resulta de identificar SL(2,\mathbb R) con el fibrado unitario del espacio hiperbólico. El grupo fundamental de una superficie hiperbólica compacta (o sea las superficies de género mayor a dos) se identifica a un subgrupo de SL(2,\mathbb R) y el cociente resulta el fibrado unitario de la superficie, que es compacto.

La acción de SL(2,\mathbb R) en la recta proyectiva.

Ya podemos probar que el grupo P no es unimodular. La acción lineal de SL(2,\mathbb R) en \mathbb R^2 preserva las rectas y obtenemos entonces una acción transitiva en la recta proyectiva \mathbb P(\mathbb R^2) (dadas dos rectas existe un elemento de SL(2,\mathbb R) que lleva una en la otra).

El grupo

P=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b\\ 0 & a^{-1}\end{array}\right): a\in \mathbb R-\{0\}, b\in \mathbb R\right\}

es el estabilizador de la recta \mathbb R(1,0), identificamos así el espacio cociente SL(2,\mathbb R)/P al espacio \mathbb P(\mathbb R^2). Debemos mostrar entonces que la acción de SL(2,\mathbb R) en \mathbb P(\mathbb R^2) no posee medidas invariantes.

Observación. La acción de SL(2,\mathbb R) en \mathbb P(\mathbb R^2) no tiene medidas invariantes.

Para esto observamos lo siguiente:  la matriz A=\left(\begin{array}{cc} \lambda & \, \\ \, & \lambda^{-1}\end{array}\right) con \lambda<\lambda^{-1} es un norte-sur en \mathbb P(\mathbb R^2) (que es un círculo). Las únicas medidas invariantes de A son combinaciones convexas de las deltas de Dirac en el norte y en el sur.

Basta considerar entonces otra matriz B que sea diagonalizable tal que ni (1,0) ni (0,1) sean vectores propios. El grupo generado por A y B no posee medidas invariantes y por tanto tampoco el grupo SL(2,\mathbb R).

Prueba del teorema de medidas invariantes

Notamos C_c(X) al espacio de las funciones continuas de soporte compacto de X en \mathbb R. En esta sección esbozamos una prueba del siguiente teorema:

Teorema. Sea H un subgrupo cerrado de G, G localmente compacto. Entonces existe una medida G-invariante en el cociente G/H si y solo si para todo h\in H se tiene que \Delta_G(h)=\Delta_H(h).

Demostración. Fijamos medidas de Haar invariantes a izquierda \mu_G y \mu_H sobre G y H respectivamente. Dada una función continua de soporte compacto \varphi:G\to\mathbb R consideramos la función

\overline \varphi (x)=\int_H\varphi(xh)d\mu_H

\overline \varphi es invariante por multiplicación a derecha de elementos de H, así que obtenemos un mapa \overline \varphi:G/H\to\mathbb R de soporte compacto.

La idea es entonces la siguiente: Dada una función \psi:G/H \to\mathbb R de soporte compacto encontrar \varphi\in C_c(G) tal que \overline\varphi=\psi. A partir de ahí tenemos que

\psi\mapsto \int_G\varphi d\mu_G.

es un funcional continuo C_c(G/H)\to\mathbb R. Aplicando el teorema de representación de Riesz, este funcional resulta ser la integral respecto a una medida que llamaremos \overline\mu. Para probar que el funcional esta bien definido tenemos que probar el siguiente lema.

Lema. La aplicación \varphi\mapsto \overline \varphi es sobreyectiva como mapa :C_c(G)\to C_c(G/H). Además si \overline \varphi=0 entonces

\int_G\varphi d\mu_G=0.

Demostración del lema. La sobreyectividad se muestra usando lema de Uryson y partición de la unidad. Vamos a concentrarnos en la segunda parte del enunciado.

Consideramos \psi\in C_c(G) entonces

\int_G\overline\varphi(g)\psi(g)d\mu_G=\int_H\int_G\varphi(gh)\psi(g)d\mu_H d\mu_G=

\int_H\int_G\Delta_G(h^{-1})\varphi(g)\psi(gh^{-1})d\mu_H d\mu_G

intercambiando \Delta_G(h)=\Delta_H(h) y aplicando el teorema de la sección anterior tenemos que la integral es igual a

=\int_G\varphi(g)\overline\psi(g)d\mu_G.

Si asumimos que \overline \varphi=0 tenemos que \int_G\varphi\overline\psi d\mu_G=0 para toda \psi, concluimos entonces, considerando \psi tal que \overline\psi sea constante 1 en el soporte de \varphi, que \int_G\varphi d\mu_G=0. Lo que queriamos mostrar.

\square

Tenemos que probar entonces que la medida \overline \mu en G/H es G-invariante. Esto se deduce de la siguiente fórmula valida para toda función de soporte compacto \varphi:

\int_G\varphi d\mu_G=\int_{G/H}\overline\varphi d\mu_G

y de la sobreyectividad del mapa \varphi\mapsto\overline\varphi.

Para terminar remarcamos que la unicidad de la medida se deduce de la unicidad de la medida de Haar de G. Esto termina la prueba del teorema.

\square

  1. Super-interesante el artículo. Aunque la prueba del teorema de medidas invariantes me superó.

    Uno pensaría que restringiendo la medida invariante en G se obtiene la medida invariante en H y en ese caso es obvio que \Delta_G(h) = \Delta_H(h).

    • El problema con lo que decís es que (seguramente) H mide cero para la medida G invariante, entonces cuando restringis la medida a H te queda la medida nula.

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