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Alguna analogia entre conjuntos de medida uno y residuales.

In Varios on Martes 21, abril, 2009 at 10:13 pm

por Rafael Potrie

Voy a contar un par de resultados que me parecen interesantes de los conjuntos residuales. Pueden parecer un poco banales, pero tienen una aplicacion muy fuerte a la dinamica generica (rama de los sistemas dinamicos que se encarga de estudiar las propiedades de un conjunto residual de difeomorfismos).

Los resultados son los siguientes:

Teorema 1: Sea X un espacio de Baire y sea A\subset X un boreliano. Entonces, existe R \subset X residual de forma tal que para todo x \in X existe un entorno U de x de forma tal que o bien R\cap U \subset A, o bien R\cap U \subset A^c.

Este teorema se puede pensar como un Teorema de densidad de Lebesgue topologico.

Teorema 2: Sean X y Y espacios de Baire y sea R \subset X\times Y. Entonces, R es residual en X\times Y si y solo si existe un residual R_X\subset X tal que para todo x \in R_X se cumple que R \cap \{x\} \times Y es residual en \{x\}\times Y

Este ultimo teorema se puede pensar como un Teorema de Fubini topologico.

Es interesante verificar que en el primer Teorema, la hipotesis de ser boreliano es necesaria! De hecho, si consideras el usual conjunto no medible (elegir un elemento de cada clase de equivalencia de \mathbb R cocientado por \mathbb Q) se verifica que no puede ser magro (una union numerable da todo el intervalo) ni residual (hay infinitos diferentes que no se intersectan). Esto implica que no va a poder ser que en algun abierto el conjunto o su complemento sea residual.

Demostracion del Teorema 1 (densidad de Lebesgue topologico):

Primero voy a explicar porque digo que este teorema es una especie de teorema de densidad de Lebesgue. Para eso, primero voy a explicar a que me refiero por Teorema de densidad de Lebesgue.

El teorema de densidad de Lebesgue dice que dado un boreliano A existe entonces B\subset A de igual medida que A de forma tal que si nos paramos en cualquier punto x\in B entonces se cumple que

\lim_{\epsilon \to 0}\frac{m(B(x,\epsilon)\cap A) }{m(B(x,\epsilon))} =1

donde m denota la medida de Lebesgue (obviamente A tiene que estar en una variedad o algo asi). Escencialmente esto nos dice que casi todo punto en A se encuentra “bien rodeado” por puntos de A, la medida de los puntos en A en un entorno de esos puntos es casi la del entorno.

Obviamente existe una analogia entre los conjuntos de medida uno y los conjuntos residuales (lo mas notorio es que se preservan por intersecciones numerables), y el Teorema 1 nos dice algo un poco mas fuerte incluso que el teorema de densidad de Lebesgue en este contexto (pues a diferencia de este, no es asintotico, realmente existe un entorno donde es efectivamente residual).

La prueba del Teorema 1 no es dificil. Hay que recordar que los borelianos son la \sigma-algebra mas chica que contiene a los abiertos.

La prueba es asi: Para los abiertos el teorema es obvio. Sea A un abierto, entonces basta tomar como conjunto residual A \cup \overline{A}^c (que de hecho es abierto y denso) y alli se va a cumplir.

Ahora, basta observar que si se cumple el teorema para una familia numerable de conjuntos, entonces se cumple para su union (esto se verifica pues el teorema es evidente para los complementos ya que el enunciado es simetrico para A que para A^c).  Esto tampoco es dificil, porque si vale para A_i con un residual R_i entonces, para el conjunto \bigcup_i A_i utilizamos el residual \bigcap_i R_i y se verificara el teorema.

Esto, como me hace notar Pablito es suficiente pues mostramos que la familia de conjuntos que verifican la propiedad deseada es una \sigma-algebra que contiene a los abiertos y por ende contiene a los borelianos. Esto simplifica la prueba que yo proponia pues deseaba utilizando el mecanismo de arriba ver que se podia construir todos los borelianos, pero eso es claramente innecesario.

Demostracion del Teorema 2 (Fubini topologico)

Es mas facil ver porque este teorema es una especie de teorema de Fubini topologico. Este ultimo dice que en un espacio producto se verifica que un conjunto mide uno si y solo si mide uno en casi todas las “fibras” que es escencialmente lo que enuncia el Teorema 2 cambiando conjuntos de medida uno por residuales y casi todo por pertenecer a un residual.

La prueba no es dificil. Primero probamos el directo, es decir, consideramos un residual de un espacio producto y queremos ver que para un residual en uno, en las fibras es residual.

Sea R\subset X\times Y residual. Por lo tanto R=\bigcap_n A_n con A_n abiertos densos en X\times Y.

Consideramos ahora B_i una base de entornos en Y. Y consideremos G_{n,i}=\{x\in X tal que A_n \cap (\{x\}\times B_i) \neq \emptyset \}.

No es dificil ver que G_{n,i} es abierto y denso (abierto es evidente pues A_n lo es, si no fuese denso, existiria un abierto V en X de forma tal que A_n \cap (V\times B_i) =\emptyset lo cual es absurdo). El conjunto R_X = \bigcap_{n,i} G_{n,i} es el residual buscado.

El reciproco no se me ocurre como probarlo. Alguien tiene alguna idea? sera cierto?


  1. ¿Che gordo, en el enunciado del teorema 1 no debería decir:

    A \cap U \subset R \cap U o A^c \cap U \subset R \cap U.

    en lugar de A \subset \ldots en cambos casos?

  2. Pablito… Lo puse mal.

    La correccion es R\cap U \subset A o R\cap U \subset A^c. Como lo escribi yo no dice mucho (ademas de la necesaria correccion que me hacias), de hecho con tu correccion funciona con R=X.

    Cuando este en la computadora donde se usar el blog lo cambio.

  3. Me parece que la inducción transfinita es innecesaria. Si mostraste que los conjuntos que cumplen el enunciado son una sigma álgebra y contienen a los abierto, ya demostraste que contienen a todos los borelianos…

    ¿no?

  4. Tenes razon!. Je… se ve que me colgue con escribir eso…. Lo corrijo en un rato.

  5. Un intento para el recíproco del teorema 2:

    Supongamos que A \subset X\times Y es un boreliano que no es residual. Y sea R\subset X\times Y el residual que nos da el teorema 1.

    Como A no es residual hay un punto p \in X\times Y con un entorno U\times V en el cual R\cap (U\times V) \subset A^c.

    Por el directo del teorema 2 aplicado a U\times V existe R_U \subset U residual tal que si x \in R_U se tiene que A^c\cap(\{x\}\times V) contiene un residual en \{x\} \times V.

    Dado un residual R_X \subset X tendrá intersección no vacia con R_U y por lo tanto contendrá puntos x en los cuales A\cap (\{x\}\times Y) no es residual en la fibra.

    ¿funca?

  6. Gordisimo, me parece que el teorema 2 se llama de Kuratowski-Ulam. La prueba esta en el libro de Kuratowski Topologie, en la pagina 222, también esta la pagina 56 del libro de Oxtoby “Measure and Category”.

  7. Jejejeje, no puedo creer que hay un libro que se llama “A survey of analogies between topological and measure spaces”…… que lo pario, ya está todo hecho.

    Ahí en la página 57 del Oxtoby, tiene un contraejemplo al recíproco de 2 si no se pide medible. Dice que existe un conjunto en el plano que no está contenido en un magro (i.e. es de segunda categoría) que no tiene 3 puntos alineados.

    El complemento de ese conjunto cortaría \{x\}\times \mathbb{R} en un abierto denso para todo x y sin embargo no contiene un residual.

    ¿Lo estoy entendiendo bien?

  8. […] Siguiendo con las analogías ¿Si en lugar de medibles y de integral acotada, las funciones son continuas y acotadas, hay una subsucesión tal que los promedios convergen en un residual? […]

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