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Teorema de Convergencia de Martingalas

In Probabilidad y Estadística on Domingo 26, abril, 2009 at 6:28 pm

por Pablo Lessa

Este es el último de lo que resultó ser una serie de 3 artículos sobre esperanza condicional y martingalas.

El objetivo presente es demostrar el famoso Teorema de Convergencia de Martingalas.

Este teorema permite dar una demostración de la ley de grandes números y tiene otras aplicaciones.

La intuición detrás del resultado es que una martingala es una sucesión de variables aleatorias que si bien tienen la misma esperanza, tienden a crecer en tamaño (una forma de darle un sentido preciso a esto es notar que si X_n es una martingala entonces |X_n| y X_n^+ son submartingalas).  Por lo tanto si tenemos algún control sobre:

\text{sup}_nE(|X_n|)

o incluso sobre

\text{sup}_nE(X_n^+)

es razonable esperar que la sucesión X_n no varie mucho o incluso que tenga límite.

La prueba consiste en demostrar que para todo intervalo [a,b] con a < b, el número de veces que la sucesión X_0, \ldots, X_n atraviesa el intervalo de abajo hacia arriba está controlado por el tamaño esperado de la última variable X_n.  Este es el llamado lema de cruces, que demostraremos a continuación, luego de una disgresión sobre submartingalas.

Parando Submartingalas

El teorema de muestreo opcional de Doob que dice que no importa cuando pares una martingala la esperanza es la misma.

Necesitaremos una mini-generalización que dice que para submartingalas la esperanza va creciendo a lo largo del tiempo.

Recordemos que una submartingala cumple E(X_n - X_m|\mathcal{F}_m) \ge 0 siempre que m < n.

Lema.

Si X_n es una submartingala y \sigma \le \tau < N son tiempos de parada.  Entonces:

E(X_\sigma) \le E(X_\tau)

Demostración. Observese que:

  • \{\tau > k\} y \{\sigma > k\} pertenecen a \mathcal{F}_k, lo cual se puede verificar escribiendo explícitamente el complemento.
  • 1_{\{\tau > k\}} - 1_{\{\sigma > k\}} \ge 0, simplemente porque \sigma \le \tau.

Además tenemos la siguiente escritura telescópica de las variables X_\sigma, X_\tau:

X_\sigma = \sum_k (X_{k+1} - X_k)1_{\{\sigma > k\}}

X_\tau = \sum_k (X_{k+1} - X_k)1_{\{\tau > k\}}

Tomando la esperanza de la diferencia se deduce:

E(X_\tau - X_\sigma) = \sum_k E((X_{k+1} - X_k)(1_{\{\tau > k\}} - 1_{\{\sigma > k\}}))

Por último condicionando y utilizando las dos observaciones del comienzo se obtiene para cada k:

E((X_{k+1} - X_k)(1_{\{\tau > k\}} - 1_{\{\sigma > k\}})) = E(E(X_{k+1}-X_k|\mathcal{F}_k)(1_{\{\tau > k\}} - 1_{\{\sigma > k\}})) \ge 0

lo cual completa la demostración\Box

Cruces

Sea \{x_n\} una sucesión de números reales y a < b.  Decimos que \{x_n\} cruza el intervalo entre a y b si existen m < n  tales que x_m < a < b < x_n.  El número de veces que esto ocurre es el número de cruces C(a,b).

La observación crucial es que si para todo (a,b) se tiene que C(a,b) < +\infty  entonces la sucesión x_n tiene límite (posiblemente infinito).

Número de Cruces de una Martingala

Sea X_n una martingala.

Dados a < b definimos los siguientes tiempos de parada para X_n.

\tau_0 = \text{min}\{n : X_n < a\}

\tau_1 = \text{min}\{n > \tau_0: X_n > b\}

\tau_2 = \text{min}\{n > \tau_1: X_n < a\}

\tau_3 = \text{min}\{n > \tau_2: X_n > b\}

y en general

\tau_{2k} = \text{min}\{n > \tau_{2k-1}: X_n < a\}

\tau_{2k +1} = \text{min}\{n > \tau_{2k}: X_n > b\}

Se sobreentiende que los \tau_k pueden valer +\infty (el mínimo del conjunto vacio, para los formalistas).

Ahora el número de cruces C_n(a,b) es una variable aleatoria que cuenta el número de cruces hasta tiempo n.  Formalmente vale:

C_n(a,b) = \text{max}\{k : \tau_{2k+1} < n\}

Y el número de cruces totales del proceso es:

C(a,b) = \lim_n C_n(a,b)

donde el límite es creciente y puede valer +\infty.

El lema de cruces

El siguiente resultado es el ingrediente crucial para la demostración del teorema de convergencia de martingalas.  Muestra formalmente que la intuición de que “la variación” de una martingala está acotada por la de su última variable, es acertada.

Teorema (lema de cruces).

Sea X_0, \ldots, X_N una martingala.  Para todo a < b se tiene que:

E(C(a,b)) \le \frac{1}{b-a}(E((X_N-a)^+) - E((X_o-a)^+))

Demostración. Definimos Y_n = (X_n - a)^+ lo cual nos da una submartingala cuyos valores son positivos.  El número de cruces de X_n al intervalo [a,b] es igual al número de cruces de Y_n al intervalo [0,b-a].

Ahora tomemos los tiempos de parada:

\tau_0 = \text{min}\{n: Y_n = 0\} \cup \{N\}

\tau_1 = \text{min}\{n > \tau_0: Y_n > b-a\} \cup \{N\}

\cdots

que son análogos a los definidos en la sección anterior (que se usan para contar los cruces) con la diferencia de que son menores o iguales a N siempre.

Los \tau_k son crescientes y se tiene garantido que \tau_{N} = N.  Escribimos ahora:

Y_N - Y_0 = Y_{\tau_{2N}} - Y_{\tau_{2N-1}} + \cdots Y_{\tau_1} - Y_{\tau_0}

Algunas de las restas de forma Y_{\tau_{2n+1}} - Y_{\tau_{2n}} representan cruces, mientras que otras son cero porque los subindices son ambos N.  Lo que es cierto es que:

Y_N - Y_0 \ge (b-a)C(a,b) + \sum_{i \text{ impar}} Y_{\tau_{i+1}} - Y_{\tau_i}

Tomando esperanzas de ambos lados y utilizando que E(Y_{\tau_{i+1}}) \ge E(Y_{\tau_i}) se obtiene:

E(C(a,b)) \le \frac{1}{b-a}(E(Y_N) - E(Y_0))

como se buscaba\Box

Teorema de Convergencia de Martingalas

A continuación mostraremos una versión del teorema de convergencia de martingalas.  Hay muchos refinamientos posibles para dar convergencia L^p por ejemplo en lugar de simple convergencia en casi todo punto.

Teorema de Convergencia de Martingalas.

Sea X_n una martingala que cumple:

\text{sup}(|X_n|) < +\infty

entonces existe X: \Omega \to \mathbb{R} tal que:

X_n \to X

casi seguramente (i.e. en un conjunto de probabilidad uno).

Además E(|X|) < +\infty (en particular el límite es finito casi seguramente).

Demostración. Por el lema de cruces tenemos para todo a < b que:

E(C_n(a,b)) \le \frac{1}{b-a}(E((X_n - a)^+) - E((X_0 - a)^+))

como la esperanza de la parte positiva es menor o igual que la del módulo se obtiene (desigualdad triangular mediante):

E(C_n(a,b)) \le \frac{1}{b-a}(E(|X_n| + |a|)

esto da una cota independiente de n por hipótesis y como C_n(a,b) \to C(a,b) monotonamente obtenemos:

E(C(a,b)) < +\infty.

Esto implica en particular que C(a,b) es finito con probabilidad uno.

Intersectando los conjuntos de medida uno que se obtienen para a < b racionales se consigue un conjunto de probabilidad uno en el cual la sucesión X_n(\omega) cruza finitas veces cada intervalo y por lo tanto tiene límite.

Para demostrar que el límite está en L^1 utilizamos el lema de Fatou:

E(\text{liminf}|X_n|) = E(|X|) \le \text{liminf}E(|X_n|) = \text{sup}E(|X_n|) < +\infty

Esto concluye la demostración\Box

Un punto a notar es que el teorema nos da convergencia puntual pero no garantiza E(|X_n - X|) \to 0 (la convergencia en L^1).

Este punto deriva en una discusión sobre la condición de integrabilidad uniforme.  El resultado final es que la convergencia es en L^1 si y sólamente si se cumple:

\sup{E(|X_n|1_{|X_n| > a}}) < +\infty \text{ para todo } a > 0.

Otra observación es que se puede mejorar el resultado cambiando la tesis por:

\text{sup}_n E(X_n^+) < +\infty

la demostración sufre modificaciones mínimas.

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