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Pitágoras y Normas de dimensión mayor

In Álgebra Lineal on Viernes 8, mayo, 2009 at 2:38 pm

por Pablo Lessa

Introducción.

En este artículo se demuestran dos resultados:

  1. Una versión del teorema de pitágoras para áreas k-dimensionales (generalizando el teorema de pitágoras para longitudes de vectores)
  2. Que el máximo estiramiento que produce una transformación lineal sobre el área de un paralelogramo de dimensión k está dada por el producto de los k valores singulares más grandes (generalizando el hecho de que la norma de una transformación, coincide con el máximo valor singular).

En ambos casos la demostración muestra que la generalización, es simplemente un caso particular de lo que está generalizando (i.e. el pitágoras de áreas se deduce del pitágoras común, el resultado para la norma k-dimensional se deduce del resultado para la norma usual).

Para hacer las demostraciones de estos dos hechos a mano, habría que hacer un montón de cuentas y probar una desigualdad que involcraría determinantes.

La demostración que doy evita esto a expensas de tener que construir un formalismo algebraico medio pesado.

Lo bueno es que este formalismo (el producto exterior) sirve para otras cosas (por ejemplo para estudiar las variedades grasmanianas y los espacios de banderas como se discute en este artículo del sambita).

Mi motivación original para tratar de entender todo esto es que estoy estudiando una demostración del teorema de Oseledets que utiliza este formalismo como herramienta.

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