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El problema de Dirichlet

In Análisis Real y Complejo on Lunes 15, junio, 2009 at 2:23 pm

por Andrés Sambarino

En este artículo me gustaría contar un poco sobre el problema de Dirichlet como herramienta: resolver este problema implica el teorema de uniformización de Riemann y, junto con este, el teorema de Schwartz, que enuncia que una superficie de Riemann homeomorfa a la esfera es biholomorfa a la esfera.

Una función de clase \textrm{C}^2 u:U\to\mathbb R, donde U es un abierto de \mathbb C, es armónica si verifica la siguiente ecuación: Si escribimos

{\displaystyle \Delta= \frac{\partial ^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2}{\partial y^2}}

entonces \Delta u=0. Por ejemplo, dado z_0\in\mathbb C la función z\mapsto \log|z-z_0| es armónica en un entorno de z_0 privado de z_0.

El problema de Dirichlet enuncia entonces como sigue:

Problema de Dirichlet. Dado U un subconjunto del plano complejo \mathbb C, y dada una función continua \varphi:\partial U\to \mathbb R ¿existe una función u:U\to\mathbb R que coincide con \varphi en \partial U y es armónica en el interior de U?

Este problema tiene una respuesta afirmativa en un contexto muy general pero para nosotros será suficiente admitir que:

El problema tiene solución cuando U es simplemente conexo, acotado y su borde es una curva cerrada simple.

La relación con el análisis complejo, que es lo que nos interesa, es a travéz de las funciones holomorfas:

Definición. Sean U un abierto de \mathbb C y f:U\to\mathbb C una función continua, decimos que f es holomorfa si para todo z_0\in U el siguente límite existe:

{\displaystyle \lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.}

Es fácil ver que una tal f es diferenciable y si escribimos f=u+iv (donde u,v:U\to\mathbb R) entonces u y v verifican las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann:

{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}} y {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.}

Un cálculo directo implica que u y v son funciones armónicas: \Delta u=0 y \Delta v=0.

El recíproco es tambien cierto bajo restricciones topológicas a U:

Proposición. Sea U un abierto simplemente conexo y u:U\to \mathbb R una función armónica, entonces existe u^*:U\to\mathbb R, tal que u+iu^* es holomorfa en U.

La prueba puede encontrarse en estas notas junto con el principio del máximo para funciones armónicas:

Proposición.[Prinicipio del máximo] Sea u:U\to\mathbb R continua en \overline U y armónica en el interior de U. Si u tiene un extremo local en el interior de U entonces es constante.

Veamos ahora como una solución al problema de Dirichlet implica el teorema de uniformización de Riemann en ciertos casos:

Teorema.[Uniformización de Riemann] Sea U un abierto simplemente conexo de \mathbb C, que suponemos acotado y cuyo borde es una curva simple, entonces existe una función biholomorfa de U en el disco unidad.

Decimos en este caso que U es conformemente un disco.

Demostración. Fijamos un punto z_0 en U y consideramos la solución al problema de Dirichlet u:U\to\mathbb R armónica con condición de borde

u(z)=\log|z-z_0| para todo z\in\partial U.

La función u(z)-\log|z-z_0| es armónica en U-\{z_0\}, tiende a cero en el borde \partial U y a \infty en z_0. El principio del máximo implica entonces que u(z)-\log|z-z_0| es estrictamente positiva en U-\{z_0\}.

Sea u^* armónica tal que u+iu^* es holomorfa (es acá que usamos que U es simplemente conexo). Afirmamos que

f(z)=(z-z_0)\exp\{-(u+iu^*)\}

es un biholomorfismo entre U y el disco unitario. Primero mostremos que la |f|<1, o sea que la imagen de f está contenida en el disco. Para esto observamos que

\log|f(z)|=\log|z-z_0|-u(z) <0

por lo observado anteriormente. Además f es abierta por ser holomorfa y es propia:

z\to\partial U implica |f(z)|\to 1

Tenemos entonces que la imagen de f es abierta y cerrada, por tanto f es sobreyectiva. Para mostrar que es inyectiva vemos que el cardinal de la preimagen de w\in \mathbb D es finito (f es propia) y puede calcularse con el principio del argumento:

{\displaystyle \int_{\partial U}\frac{f'(z)}{f(z)-w}=2\pi i} (ceros de f(z)-w con multiplicidad)

tenemos entonces que \# f^{-1}(w) es localmente constante, o sea constante porque el disco en conexo, concluimos observando que la preimagen del 0 tiene un solo elemento, z_0.

\square

Nos dirigimos ahora a probar el teorema de Schwartz:

Teorema.[Schwartz] Sea S una superficie de Riemann homeomorfa a la esfera, entonces S es biholomorfa a la esfera.

Empezamos por admitir el siguiente lema topológico:

Lema. Podemos cubrir la esfera por abiertos simplemente conexos U_1,\ldots, U_n de diámetro arbitrariamente pequeño tales que

U_i\cap (U_1\cup\cdots U_{i-1})

es topológicamente un disco para todo i\neq n y U_n\cap (U_1\cup\cdots U_{n-1}) es topológicamente un anillo.

El teorema de Schwartz se obtiene entonces aplicando sucesivamente el siguiente teorema:

Teorema. Sean U y V discos conformes en una superficie de Riemann. Si U\cap V es topológicamente un disco entonces U\cup V es un disco conforme, si U\cap V es topológicamente un anillo entonces U\cup V conformemente equivalente a la esfera.

Vamos a probar la segunda afirmación de teorema, o sea el caso cuando U\cap V es un anillo. Para simplificar notación suponemos que U es el disco unidad. Como U\cap V es un anillo tenemos que \partial V es una curva cerrada simple contenida en el interior de U, y \partial U está totalmente contenido en el interior de V.

El objetivo es encontrar una función meromorfa f:U\cup V\to\mathbb C con un único polo en 0 y éste de orden 1.

Vamos a buscar entonces una función armónica :U-\{0\}\cup V\to \mathbb R que será la parte real de f.

La idea entonces es aplicar sucesivamente el problema de Dirichlet como sigue:

Consideramos u_{-1}:U\to\mathbb R armónica con u_{-1}|\partial U= \textrm{Re}(1/z)= la parte real de 1/z. y u_0:U-0\to\mathbb R dada por

u_0=u_{-1}-\textrm{Re}(1/z).

Tenemos que u_0 es armónica en U-\{0\} y vale 0 en el borde de U. Definimos v_0:V\to\mathbb R como la solución al problema de Dirichlet con condición de borde

v_o|\partial V=u_0|\partial V.

Dada entonces v_k:V\to\mathbb R armónica en V definimos u_{k+1}:U\to\mathbb R como la solución al problema de Dirichlet en U con condición de borde u_{k+1}|\partial U=v_k|\partial U, y definimos v_{k+1} armónica en V con condición de borde v_{k+1}|\partial V=u_{k+1}|\partial V.

A partir del principio del máximo tenemos la siguiente cadena de desigualdades:

\sup u_k=\sup u_k|\partial U=\sup v_{k-1}|\partial U\leq\sup v_{k-1}|\partial V\leq\sup u_{k-1}.

Admitimos un nuevo lema técnico que dice que podemos mejorar la última desigualdad:

\sup v_{k-1}|\partial V\leq\frac 23\sup u_{k-1}.

Tenemos entonces que las series \sum_1^\infty u_k y \sum_1^\infty v_k son mayoradas por \sum \left(\frac 23\right)^k y por tanto convergen uniformemente en compactos a u' y v' armónicas en U y V respectivamente. Ponemos entonces

u=u'+u_0 armónica en U-\{0\} y v=v'+v_0 armónica en V. Observamos que

u|\partial U=u_0|\partial U+\sum_1^\infty u_k|\partial U=0+\sum_1^\infty v_{k-1}|\partial U=v|\partial U.

Análogamente u|\partial V=v|\partial V de donde u y v coniciden en todo el anillo U\cap V.

La función que vale u en U-\{0\} y v en V es armónica en U-\{0\}\cup V y en cero es del orden \textrm{Re}(1/z). Tenemos entonces la función buscada.

\square

  1. Buenísimo el artículo, como siempre.


    Por ladilla:
    *Para que la parte real de una función holomorfa sea armónica, hay que mencionar que es C^2.
    *En el principio del módulo máximo hay que excluir el caso constante, o mencionarlo.

    Está buenísima la prueba del mapa de Riemann usando funciones armónicas.

    Y tremendo el ping-pong de funciones armónicas entre U y V.

    La parte técnica, obviamente es técnica y habrá que sentarse. ¿Está escrita en algún lado (onda el lema del \frac{2}{3})?

    Otra cosa… ¿Donde se usa lo del lema topológico?

  2. A mi tambien me pareció tremendo el ping-pong ese, por eso escribí
    el artículo, jua.

    Tenes toda la razon con lo de ladilla, ahora en un rato lo cambio.

    El lema topológico se usa así: Como la superficie S es homeomorfa a la esfera la podes cubrir con estos abiertos U_1,\ldots, U_n que dice el lema topológico.

    Como los U_1 son arbitrariemnte chicos y S es una superficie de Riemann tenes que los U_1 son discos conformes, entonces aplicás el teorema que viene despues así:

    U_1 y U_2 son discos conformes y su intersección es topológicamente un disco, entonces U_1\cup U_2 es tambien un disco conforme. Así empezas a agregar U_i‘s hasta el último donde tenes que aplicar la segunda parte de teorema porque la intersección U_n\cap (U_1\cup\cdots U_{n-1}) es un anillo.

    Esto es bastante parecido a cuando probas que la única variedad compacta de dimensión 1 es el círculo: Agarras una familia de cartas por intervalos y tenes lo siguiente:

    Si U_i\cap U_{i+1} es conexo los podes “pegar” para tener un intervalo mas grande, si no es conexo quiere decir que su union es homoemorfa al círculo.

    El lema técnico son en realidad dos lemas. Primero tenés que asumir que \partial V es el circulo de radio 1/4 (acordate que asumiste que U era el disco unidad) entonces los lemas van como siguen:

    LEMA 1. Sea f:S^1\to\mathbb R de integral nula y u:\mathbb D\to\mathbb R armónica con condición de borde f, entonces para todos z con |z|< 1/4 se tiene

    |u(z)|\leq 2/3 \sup_{\mathbb D} u

    Este lema se demuestra con cálculo a partir de la fórmula de Poisson.
    El lema 2 enuncia asi:

    LEMA 2. u_k y v_k son de integral nula en \partial U y \partial V respectivamente.

    Este se demuestra usando que cada u_k\ k\geq1 y v_k\ k\geq0 son la parte real de funciones holomorfas, y osbervando que u_0|\partial U=0.

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