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Teorema de Komlos

In Análisis Real y Complejo on Martes 7, julio, 2009 at 11:54 pm

por Pablo Lessa

Teorema Falso del lessa

Sea \{f_n: [0,1] \to \mathbb{R}\}_{n \in \mathbb{N}} una sucesión acotada en L^1.  Entonces existe una subsucesión convergente c.t.p.


El contraejemplo consiste en tomar particiones diadicas y definir f_n constante en cada intervalo de la partición n-ésima con valores alternados 0,1,0,1,\ldots.

Explícitamente:

f_n(x) = \left\{\begin{array}{cc}0&\text{si }x \in [\frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n})\text{ para algun }k\in \mathbb{Z}\\1&\text{en caso contrario}\end{array}\right.

La prueba que tengo de que efectivamente es un contraejemplo usa la Ley Cero Uno de Kolmogorov que no voy a probar ni nada, pero que permite decir que el límite de cualquier subsucesión tendría que ser constante c.t.p.

Con eso se deduce que el límite debería ser igual a {}0 o 1 c.t.p. pero esto no puede ser porque para cualquier n la mitad de los puntos tienen el valor equivocado.

Enseguida pasé de pensar que la relación entre acotación L^1 y convergencia c.t.p. era sencillísima a convencerme de que probablemente era super complicada.  Pero ahí me enteré del siguiente teorema:

Teorema de Komlos

Si \{f_n\}_{n \in \mathbb{N}} es una sucesión acotada en L^1 de cualquier espacio de probabilidad, entonces existe una subsucesión g_n tal que:

\frac{g_1 + \cdots + g_n}{n}

converge c.t.p.

En el ejemplo que mostré antes se puede tomar f_n = g_n y todo converge a \frac{1}{2}.

En fin les cuento esto por dos motivos:

  1. Me parece excelente el resultado
  2. No lo sé probar y creo que está lindo para pensarlo si a alguien le cuelga

Siguiendo con las analogías ¿Si en lugar de medibles y de integral acotada, las funciones son continuas y acotadas, hay una subsucesión tal que los promedios convergen en un residual?

¡Saludos!

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