Los seguidores de Manolo

Transformaciones Lineales Hiperbólicas

In Álgebra Lineal on Martes 10, noviembre, 2009 at 1:28 am

por Pablo Lessa

Es una boludez total pero me gusta.  En todo el texto V es un espacio vectorial real de dimensión finita y T: V \to V es una tranformación lineal invertible.

Definición (Contracción).

Decimos que T es una contracción si existe un producto interno en V tal que:

\|Tv\| < \|v\|\text{ para todo }v \in V \setminus 0

El ejemplo clásico es la siguiente matriz:

\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&10^{10^{10}}\\{}0&\frac{1}{2}\end{array}\right)

que define una contracción de \mathbb{R}^2 pero no para el producto interno usual.

Se puede demostrar el siguiente lemita:

Lemita de las contracciones.

Una transformación T es una contracción si y sólamente si se cumple:

T^nv \to 0\text{ cuando }n\to +\infty\text{ para todo }v \in V

La inversa de una contracción es una expansión, damos la definición obvia.

Definición (Expansión).

Una transformación lineal invertible T es una expansión si y sólo existe un producto interno en V tal que:

\|v\| < \|Tv\|\text{ para todo }v \in V\setminus {}0

Ahora viene la jodita.  Fijemos \text{Bil}(V) el conjunto de formas bilineales simétricas y no degeneradas en V.   Toda B \in \text{Bil}(V) tiene asociada una forma cuadrática B^2: V \to \mathbb{R} definida mediante:

B^2(v) = B(v,v)

además la forma cuadrática detemina B.

La forma cuadrática tiene asociados dos conos (cono positivo B^+ y el cono negativo B^-) de la siguiente manera:

B^+ = \{v\in V:B^2(v) >{}0\}

B^- = \{v\in V:B^2(v) <{}0\}

La dimensión de un cono se define como la del máximo subespacio contenido en la clausura del cono.  En el caso de una forma cuadrática (no degenerada) los conos asociados tienen dimensiones complementarias.

El ejemplo clásico es en \mathbb{R}^3:

B^2(x,y,z)=x^2+y^2- z^2

Notemos que el cono negativo (que tiene dimensión 1) tiene dos componentes conexas, mientras que el positivo es conexo (todo cono de dimensión mayor a 1 es conexo).

Estamos prontos para la definición.

Definición (Transformación Hiperbólica).

Decimos que T es hiperbólica si y sólo si existe B \in \text{Bil}(V) tal que:

B^2(v) < B^2(Tv)\text{ para todo }v \in V \setminus 0

Es decir las transformaciones hiperbólicas son las que hacen crecer alguna forma cuadrática (no degenerada).  Si la forma bilineal asociada es un producto interno, la transformación hiperbólica es una expansión.  En el otro extremo, si B es definida negativa entonces T es una contracción.

El clásico ejemplo es:

\left(\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right)

Para este ejemplo funca la forma cuadrática:

B^2(x,y) = xy

Me resulta tremendamente elegante el siguiente lema:

Lema de la transformación hiperbólica.

Una transformación T: V \to V es hiperbólica si y sólamente si existen dos subespacios invariantes complementarios E^s y E^u tales que T_{/E^s} es una contracción y T_{/E^u} es una expansión.

La idea clave de la demostración es que la intersección decreciente de conos cerrados “con ancho tendiendo a cero” es un subespacio.  Lo resumimos en el siguiente lema cuya demostración aparece “encajada” en las demostraciones de algunos teoremas de dinámica hiperbólica.

Lema de los conos.

Si \{B_n\}_{n \in \mathbb{Z}}\subset \text{Bil}(V) cumple:

  1. La dimensión de B_n^+ no depende de n.
  2. La sucesión \{B_n^2(v)\}_{n \in \mathbb{Z}} es estríctamente creciente para todo v \in V \setminus {}0.
  3. Los únicos valores posibles para los límites \lim_{n \to -\infty}B_n^2(v) y \lim_{n \to +\infty}B_n^2(v) son +\infty,-\infty y {}0.

Entonces definiendo:

E^+ = \bigcap_{n \in \mathbb{Z}}\overline{B_n^+}

E^- = \bigcap_{n \in \mathbb{Z}}\overline{B_n^-}

se tiene que E^+ y E^- son subespacios complementarios.


Demostración. Fijando momentaneamente un producto interno en V y un conjunto ortonormal maximal en cada \overline{B_n^+} y tomando una subsucesión convergente cuando n\to -\infty obtenemos un subespacio contenido en E^+.  De modo análogo se obtiene un subespacio complementario contenido en E^-.

Para deducir que los subespacios obtenidos, de hecho, coinciden con E^+ y E^-, alcanza con mostrar que si v \in E^+ \setminus 0 y w \in E^- \setminus 0 entonces v + w \notin E^+ \cup E^-.

Para esto notemos que para cada n > 0 se tiene un producto interno dado por:

\langle v,w\rangle_n = B_n(v,w) - B_0(v,w)

Utilizando la propiedad 3 se tiene:

\|v\|_n \to +\infty\text{ cuando }n\to +\infty

\|w\|_n \to C < +\infty\text{ cuando }n\to +\infty

Y por lo tanto utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz se obtiene:

\|v+w\|_n^2 \ge \|v\|_n^2 + \|w\|_n^2 -2\|v\|_n\|w\|_n \to +\infty

En particular v+w \notin E^-.

La demostración de que v+w \notin E^+ es análoga.\Box

Como ejemplo tomemos una sucesión positiva y creciente \lambda_n y definamos en \mathbb{R}^2:

B_n^2(x,y) = \lambda_n^2 x^2 - \frac{1}{\lambda^2}y^2 = (\lambda x + \frac{1}{\lambda}y)(\lambda x - \frac{1}{\lambda}y)

Los conos B_n^+ y B_n^- están delimitados por las rectas de ecuación y = \pm\lambda^2 x.  La condición 3 en el lema de los conos equivale a que \lambda_n \to {}0 cuando n \to -\infty y que \lambda_n \to +\infty cuando n \to +\infty.

La versión enunciada del lema de los conos está bien adaptada a las transformaciones hiperbólicas pero no termina de capturar la idea geométrica.  Por ejemplo, si definimos:

B_n^2(x,y) = \lambda_n^2 x^2 - y^2

Es claro que las mismas condiciones sobre la sucesión \{\lambda_n\} que se utilizaron en el ejempo anterior sirven  para garantizar los subespacios complementarios.  Sin embargo este ejemplo cae afuera del lema de los conos como lo enuncié.

Para terminar mostramos como se obtienen los subespacios invariantes para la transformación hiperbólica:

T(x,y) = (2x+y,x+y)

Definamos B^2(x,y) = xy y para cada n \in \mathbb{Z},

B_n^2(x,y) = B^2(T^n(x,y))

Como T es invertible se tiene que la dimensión de los conos positivos para cada B_n es la misma.  Para verificar la propiedad 2 del lema de los conos se tiene:

B^2(T(x,y)) = (2x+y)(x+y) = 2x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + (x+y)^2 + xy > xy = B^2(x,y)\text{ si }(x,y) \neq (0,0)

Por último, para verificar la propiedad 3,  notemos que (discutiendo según |x| < \frac{1}{2} o no:

\min_{B^2(x,y) = \pm 1} B^2(T(x,y)) - B^2(x,y) > \frac{1}{4}

Esto implica que si B_n^2(x,y) \neq 0 se tiene:

B_{n+1}^2(x,y) - B_n^2(x,y) > \frac{1}{4}|B_n^2(x,y)|

Con lo cual se obtiene fácilmente la propiedad 3.

Por lo tanto el lema de los conos implica la existencia de un subespacio invariante E^+ en el cuadrante xy > {}0 y otro complementario E^- en el cuadrante xy < {}0.  Notemos que restringido a E^+ la forma bilineal B es definida positiva (i.e. un producto interno), mientras que restringida a E^- es definida negativa.  Dado que T hace crecer esta forma cuadrática se obtiene que T es una contracción en E^- y una expansión en E^+.

  1. que chido lo nececito

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: