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Restricciones topológicas a hiperbolicidad de cociclos.

In Álgebra Lineal, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, marzo, 2010 at 11:27 am

por Rafael Potrie

Este articulo se basa en un ejemplo que aparece en unas notas muy interesantes de Avila y Bochi (bajar ver el final de la seccion 2.1).

El contexto es el siguiente, tenemos un sistema dinámico T: X \to X (por simplicidad vamos a suponer T continua y X espacio métrico compacto) y un mapa A: X \to SL(2,\mathbb{R}) (es decir, a cada punto le asociamos una matriz dos por dos de determinante uno), esto nos define la siguiente dinámica.

F: X\times \mathbb{R}^2 \to X \times \mathbb{R}^2 con F(x,v)=(Tx, A(x)v).

Al par (T,A) (que define la dinámica F) le llamamos cociclo lineal.

El interes de esto viene por el hecho que es una manera de multiplicar matrices “al azar”, de alguna manera, en función de como se elijan las matrices y en función de la dinámica T que elijamos (un shift, una rotacion irracional, etc). Otra razón por la que esto tiene interés es como forma de estudiar la derivada de un diffeomorfismo (o mapa diferenciable) de una variedad.

Si A_n(x) = A(T^{n-1}(x)) \ldots A(x), usualmente, el objetivo es estudiar el crecimiento de \|A_n(x)\|. En esta nota, voy a presentar una posible obstrucción a que ese valor crezca exponencialmente con tasa uniforme.

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Productos de matrices dos por dos

In Álgebra Lineal on Lunes 22, marzo, 2010 at 7:20 pm

por Rafael Potrie

Si se estudia dinámica diferenciable, al estudiar los puntos periódicos, naturalmente uno se enfrenta al estudio de productos de matrices (asociados a la derivada del difeomorfismo arriba de los puntos de la órbita).

Cuando uno estudia la dinámica permitiéndose hacer perturbaciones, y estas son en la topología C^1, uno se empieza a interesar en como se pueden perturbar esos productos de matrices. Posiblemente algún día escriba sobre eso en particular, por lo pronto, voy a comentar un poco sobre el problema de los productos de matrices, sin interesarme en la dinámica diferenciable.

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Crecimiento asintótico de órbitas periódicas.

In Sistemas Dinámicos on Miércoles 17, marzo, 2010 at 5:26 pm

por Andrés Sambarino

Sea f:X\to X un sistema dinámico con un numero finito de órbitas periódicas de cada período. Consideramos

\nu_n=\#\{x\in X: f^n(x)=x\}

el número de puntos fijos de f^n y la siguiente serie de potencias llamada función zeta: \zeta:\mathbb C\to\mathbb C dada por

{\displaystyle \zeta(z)=\exp \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n \nu_n.}

Parecería que esta función contiene información dinámica, aunque no queda claro como convertir información sobre la función \zeta (por ejemplo, su radio de convergencia) en información sobre el sistema dinámico f. Nuestro objetivo es entonces mostrar cómo utilizando esta función se puede demostrar un teorema de crecimiento de órbitas periódicas para sub-shifts de tipo finito. Más precisamente Lee el resto de esta entrada »