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Productos de matrices dos por dos

In Álgebra Lineal on Lunes 22, marzo, 2010 at 7:20 pm

por Rafael Potrie

Si se estudia dinámica diferenciable, al estudiar los puntos periódicos, naturalmente uno se enfrenta al estudio de productos de matrices (asociados a la derivada del difeomorfismo arriba de los puntos de la órbita).

Cuando uno estudia la dinámica permitiéndose hacer perturbaciones, y estas son en la topología C^1, uno se empieza a interesar en como se pueden perturbar esos productos de matrices. Posiblemente algún día escriba sobre eso en particular, por lo pronto, voy a comentar un poco sobre el problema de los productos de matrices, sin interesarme en la dinámica diferenciable.

Por simplicidad, vamos a concentrarnos en productos de matrices dos por dos, mismo ahí, problemas interesantes aparecen, y de hecho, aun hay varias cosas por saber.

Si uno agarra una matriz, y le estudia los valores propios, los espacios propios; uno entiende razonablemente bien como varían estos objetos al variar la matriz. Digamos que ademas de variar continuamente, la variación tiene relación con la norma de las matrices. Por poner un ejemplo, consideremos la matriz

{\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 1/2 & K \\ 0 & 2 \end{array}\right)}

Sus valores propios son 1/2 y 2. Por continuidad, fijado \delta>0 existe \epsilon>0 tal que si sumamos a cada entrada elementos de valor absoluto menor que \epsilon, los valores propios se encontraran, uno en (1/2-\delta, 1/2+\delta) y el otro en (2-\delta, 2+\delta). Por otro lado, observese que si agregamos una entrada igual a 1/K en la entrada que hay un cero, inmediatamente generamos un valor propio cero.

Esto deja en evidencia que el modulo de continuidad con el que varían los valores propios tiene que ver con la norma de las matrices con las que trabajamos.

Naturalmente, trabajando con matrices acotadas uniformemente (esto ocurre, por ejemplo, cuando uno trabaja con la derivada de un difeomorfismo en una variedad compacta), este problema no aparece. Sin embargo, este mismo problema vuelve a aparecer cuando nos permitimos multiplicar muchas matrices y perturbar cada una de ellas un factor fijo.

Un elemento que permite distinguir cuando uno puede y cuando uno no puede hacer, mediante pequeñas perturbaciones, cambios relevantes en el producto de las matrices, es la descomposición dominada, que por su naturaleza técnica voy a evitar definir aquí y me voy a restringir a mostrar dos Lemas que encuentro interesantes y que si bien tienen aplicaciones al estudio de existencia de descomposición dominada, no utilizan la definición.  El primer Lema (que es muy simple) es debido a Mañe, y fue muy importante en la prueba de la conjetura de estabilidad que el mismo demostró.

Lema 1 Fijado K y \epsilon>0, existe \gamma>0 de forma tal que si A_1,\ldots, A_n son matrices dos por dos de norma menor que K que verifican que la matriz \tilde A=A_n\ldots A_1 tiene sus espacios propios estable e inestable formando un ángulo menor que \gamma, entonces, existe 0<\theta< \epsilon tal que la matriz R_{\theta} \tilde A tiene valores propios complejos (R_{\theta} denota la rotación de ángulo \theta).

Por razones técnicas, asumimos que una matriz es de norma menor que K si ella y la inversa tienen norma usual menor que K. El siguiente resultado, un poco más técnico, permite llevar subespacios de un lugar a otro

Lema 2 Fijado \epsilon>0 y K>0 existe n>0 tal que si A_1, \ldots , A_n son matrices dos por dos de norma menor que K y que verifican que para dos vectores unitarios v, w\in \mathbb{R}^2

\| A_n \ldots A_1 v\| \geq \frac 1 2 \| A_n \ldots A_1 w\|

Entonces, existen R_1, \ldots, R_n rotaciones de angulo menor que \epsilon tal que

R_nA_n\ldots R_1A_1 \mathbb Rw=A_n\ldots A_1\mathbb Rv.

Notar una diferencia importante entre ambos resultados, en el primero alcanza con componer con una única rotación, mientras que para el segundo, se hacen rotaciones en todos los “pasos”.

Ambas pruebas utilizan el la acción de las matrices en el espacio proyectivo. Tenemos que toda matriz invertible (notar que cuando decimos que la norma de las matrices A_i es menor que K, con nuestra definición de norma directamente implica que son invertibles), induce un homeomorfismo de la recta proyectiva P^1 que es homeomorfa al círculo. Siempre, un homeomorfismo del círculo puede ser visto como una función monótona creciente de \mathbb{R} que verifica f(x+n)= f(x)+n.

Demostración del Lema 1.

Supongamos que \tilde A tiene sus espacios propios formando un ángulo menor que \gamma. Si \gamma es pequeño, obtenemos que el homeomorfismo del circulo inducido por \tilde A y pensado como función de \mathbb{R} corta la diagonal en dos puntos muy cercanos. Por ser monotona creciente, es facil ver que mediante una translacion pequeña, se puede hacer que el homeomorfismo deje de tener puntos fijos, y por ende, la derivada se convierta en una rotación, dando los valores propios complejos deseados.

Demostración del Lema 2

Este Lema es un poquito más difícil. Daremos solo unas rápidas indicaciones de la prueba.

Primero, observamos que podemos suponer (módulo cambiar el valor de K) que se cumple que para todo i tenemos que A_i v = v.

Consideremos entonces, para un punto \gamma \in P^1,  los valores \alpha_i(\gamma) = \|A_i z\| donde \gamma = \mathbb{R} z y \|z\|=1.

Por hipótesis, tenemos que \prod_{i=1}^n \alpha_i (\mathbb{R} w) \leq 2.

Consideremos W \subset P^1 el conjunto (conexo) de direcciones a las que podemos llegar mediante composición con rotaciones de angulo menor que \epsilon y empezando por \mathbb{R} w.

Dado que A_i v=v para cualquier $i$. Podemos ver fácilmente que existe L>0 de forma tal que si para alguna secuencia de \alpha_i y para algún $\gamma \in se verifica que

\prod_{i=k}^l \alpha_i( \gamma) < 1/L

Entonces existe un intervalo de longitud mayor que 2\pi -\epsilon (la longitud es el ángulo) alrededor de \mathbb{R} v que se mapea por A_l \ldots A_k en un intervalo de longitud menor que \epsilon alrededor de \mathbb{R} v. Esto permite concluir.

Al mismo tiempo, dado que \prod_{i=1}^n \alpha_i ( \mathbb{R} w) \geq 2, no puede haber tiras donde el producto sea mucho mayor que L, sino después se deberían compensar.

Esto tiene que valer para todos los puntos ya que como no pueden existir dichas tiras para \mathbb{R} w, tenemos que si para algún punto \gamma \in P^1 hay una tira donde \prod_{i=k}^l \alpha_i(\gamma) >>> L , entonces tendremos que \mathbb{R} w tendrá que estar ya muy cerca de \mathbb{R} v lo que también permite concluir.

En resumen, nos falta saber hacer la perturbación en el caso que existe L_0>0 tal que para todo k<l se cumple que 1/L_0 <\prod_{i=k}^l \alpha_i(\gamma) < L_0 para todo \gamma \in P^1. En este caso, no es dificil ver que, si elegimos n suficientemente grande, podemos llevar cualquier direccion en cualquier otra con pequeñas rotaciones.

  1. Gordo, para hacer matrices ponés así (entre pesos claro):
    latex {\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 1/2 & K \\ 0 & 2 \end{array}\right)}

    salute

  2. Con este ya son 3 artículos seguidos sobre matices🙂.

    Gordo tengo una duda con el lema 2 que obviamente debe ser una boludez pero acá va: Los vectores v y w tienen que tener norma 1 o algo así? Porque sino el lema implica que podés llegar a mandar cualquier subespacio a cualquier subespacio (tomando v enorme).

  3. Seguro…. Es importante pedir que sean unitarios. Ya lo arreglo.

    Va un ejemplo donde no podes ir de un vector a otro.

    Considera las matrices

    A_n ={\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)}

    Entonces, si quisieras mandar la dirección (0,1) en la direccion (1,0) marchas, porque cada rotacion que haces, al aplicar la matriz esta te “vuelve” al lugar inicial (al menos te acerca nuevamente, si se hace formalmente, ves que tenes una geometrica convergente que no te permite escapar de un entorno de (0,1)).

  4. […] problema fue tratado parcialmente en este post (Lema 1) donde se estudia el caso en que se tienen puntos periódicos con pequeños àngulos entre […]

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