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Restricciones topológicas a hiperbolicidad de cociclos.

In Álgebra Lineal, Sistemas Dinámicos on Sábado 27, marzo, 2010 at 11:27 am

por Rafael Potrie

Este articulo se basa en un ejemplo que aparece en unas notas muy interesantes de Avila y Bochi (bajar ver el final de la seccion 2.1).

El contexto es el siguiente, tenemos un sistema dinámico T: X \to X (por simplicidad vamos a suponer T continua y X espacio métrico compacto) y un mapa A: X \to SL(2,\mathbb{R}) (es decir, a cada punto le asociamos una matriz dos por dos de determinante uno), esto nos define la siguiente dinámica.

F: X\times \mathbb{R}^2 \to X \times \mathbb{R}^2 con F(x,v)=(Tx, A(x)v).

Al par (T,A) (que define la dinámica F) le llamamos cociclo lineal.

El interes de esto viene por el hecho que es una manera de multiplicar matrices “al azar”, de alguna manera, en función de como se elijan las matrices y en función de la dinámica T que elijamos (un shift, una rotacion irracional, etc). Otra razón por la que esto tiene interés es como forma de estudiar la derivada de un diffeomorfismo (o mapa diferenciable) de una variedad.

Si A_n(x) = A(T^{n-1}(x)) \ldots A(x), usualmente, el objetivo es estudiar el crecimiento de \|A_n(x)\|. En esta nota, voy a presentar una posible obstrucción a que ese valor crezca exponencialmente con tasa uniforme.

Decimos que un cociclo lineal (T,A) es uniformemente hiperbólico sii existen C>0 y \lambda>1 tal que

\|A_n(x)\| > C \lambda^n

esto para  todo x \in X y \forall n>0.

Tenemos el siguiente lema

Lema 1 Sea (T,A) un cociclo uniformemente hiperbólico. Entonces, existe E^s: X \to P^1 un mapa continuo que verifica que A(x) E^s(x) = E^s(T(x)).

Demostración. Sea s_n: X \to P^1 dada por la dirección de menor contracción de A_n (observar que si \|A_n(x)\|>1 esta dirección está bien definida y por la hiperbolicidad, existe un n_0 uniforme a partir del cual esto ocurre). Es fácil verificar que s_n es una función continua.

Vamos a ver que s_n converge uniformemente a una función E^s que es la buscada.

Sea también u_n la función dada por la dirección de máxima expansión. Es sabido que u_n \perp s_n y se verifica que \|A_n(x) u_n(x)\| = \|A_n(x)\|.

Consideremos entonces \alpha_n, el ángulo entre s_n y s_{n+1}. Por lo tanto, tenemos que A_{n+1}(x) s_n = A_{n+1}(x) (cos(\alpha_n) s_{n+1} + sen(\alpha_n) u_{n+1}).

Se cumplen entonces las siguientes desigualdades

\|A_{n+1}s_n\| \leq \|A_{n+1} sen(\alpha_n) u_{n+1}\| = sen(\alpha_n) \|A_{n+1}\|

y

\|A_{n+1}(x)s_n\| \geq \|A(T^{n}(x))\|\| A_n(x) s_n \| = \frac{ \|A(T^{n}(x))\|}{\|A_n(x)\|}

Juntando ambas, obtenemos la siguiente desigualdad

sen(\alpha_n) \leq \frac{\|A(T^n(x)\|}{\|A_n(x)\|}{\|A_{n+1}(x)\|} < \tilde{C} \lambda^{-2n}

Por lo tanto, obtenemos que s_n converge uniformemente a una función E^s que necesariamente va a ser continua.

El hecho que es invariante queda dado por el hecho que al ser limite de la dirección de menor expansión, obtenemos que la norma de los vectores de E^s tiende a cero exponencialmente. Esto nos da la unicidad de un fibrado con estas caracteristicas (notar que si hay dos direcciones con esta propiedad, la norma de las matrices va a cero, lo cual contradice la hiperbolicidad) y por lo tanto la invariancia.

\Box

Para concluir, vamos a trabajar con un ejemplo concreto, y ver una restricción de tipo “topológico” a tener un fibrado continuo invariante. Obviamente se pueden construir con esta idea, otras posibles restricciones.

Vamos a considerar T: S^1 \to S^1. Naturalmente, sabemos que T es homotópico al mapa e^{ i \theta} \mapsto e^{ i t \theta}.

Ahora, también tenemos que A: S^1 \to SL(2,\mathbb{R}) es homotópico al mapa

e^{ i \theta} \mapsto R_{a\theta}

donde R_\alpha denota la rotación de ángulo \alpha.

Por último, supongamos que existe un fibrado continuo invariante E: S^1 \to P^1 (es decir, una función continua que verifica que A(x) E(x)= E(Tx)). Entonces también podemos decir que E es homotópico a

e^{i\theta} \mapsto \mathbb{R} (cos( e \theta/2) , sen( e \theta/2)).

Se cumple entonces el siguiente muy sencillo lema.

Lema 2. Se verifica que 2a = (t-1)e.

Antes de demostrarlo, veamos un corolario inmediato que me resulta interesante y que es una consecuencia directa del Lema anterior.

Corolario. Supongamos que T es una rotación irracional del círculo y A no es homotópicamente trival. Entonces, (T,A) no es uniformemente hiperbólico.

Demostración del Lema.

Tenemos que el mapa A(x) E(x) es homotópico al mapa

e^{i\theta} \mapsto \mathbb{R} (cos((2a+e) \theta/2), sen((2a+e) \theta/2))

mientras que el mapa E(Tx) es homotópico a

e^{i \theta} \mapsto \mathbb{R}(cos( te \theta/2), sen(te \theta/2))

Obtenemos entonces que 2a+t = te como deseabamos.

\Box

Vale la pena vichar la sección 2.2 de las notas de Avila y Bochi donde muestran que si se considera la función A:S^1 \to SL(2,\mathbb{R}) dada por A(e^{i\theta})= HR_{\theta} donde H es la matriz diagonal con entradas \lambda y \lambda^{-1} y \lambda>1 entonces se cumple que el exponentes de (T,A) es mayor que 0. Si bien no mencione los exponentes en esta nota, es interesante, pues eso da una función E:S^1 \to P^1  invariante y medible, definida ctp. También es interesante pues la prueba es cortita y usa una desigualdad de Cauchy (tipo analisis complejo) para el maximo de funciones holomorfas. Cpaz algun dia lo escribo aca.

  1. Una omisión (imperdonable) en lo que escribí es no haber mencionado que la hiperbolicidad uniforme es razonablemente “comun” en los cociclos. Un ejemplo es poner una matriz diagonal en cada punto con entradas \lambda>1 y \lambda^{-1}. Ademas, es una propiedad abierta entre los cociclos continuos (no es dificil de probar).

    Un teorema de Bochi-Mañe (que aparece tb en las notas que recomiendo en el articulo) dice que genericamente entre los cociclos continuos, o bien el cociclo es uniformemente hiperbolico, o bien ambos exponentes de Lyapunov son nulos (es decir, la norma de \|A_n(x)\| crece subexponencialmente para casi todo punto). Vale la pena notar que esto no es directo, ya que hay ejemplos donde los exponentes son no nulos pero no es uniformemente hiperbolico (ver seccion 2.2 de las notas).

  2. Bo, muy bueno el texto, aunque ta medio duracel al final, no veo bien donde se usa que T es una rotación irracional, o es solo el hecho que t=1?

    salute

  3. Si…. lo importante ahi es que t=1 (escencialmente, si t=1, para ser unif. hiperbolico se necesita que a=0 por el lema). Eso puede ser confuso, cpaz era mejor poner difeomorfismo del circulo, puse la rotacion irracional porque aparece en varias situaciones por dos razones (que yo conozca).

    1. Es un buen modelo “aleatorio”, es ergodico, pero es bastante diferente a poner en la base por ejemplo el shift (que es mixing).

    2. Permite hacer ejemplos de mapas sin puntos periodicos en el toro. Observar que si se piensa el cociclo en vez de en S^1 \times \mathbb{R}^2 en S^1 \times P^1 (tomando la acción obvia en el proyectivo) se tiene un mapa del toro bidimensional. Además, como el mapa es una rotación irracional en una coordenada, claramente no tiene puntos periódicos. Una cosa interesante es por ejemplo estudiar que significa ser uniformemente hiperbólico (o tener exponentes no nulos), cuando va a ser unicamente ergodico (ahi va a tener que tener exponentes nulos), etc…

    Mire de nuevo un poco el final, y capaz la prueba del Lema al final esta un poco corta. Para ver las cuentas que puse, basta hacer la homotopia con los modelos que aparecen arriba y hacer la cuenta. Observar, para calcular A(x)E(x) que en el proyectivo, dar media vuelta, es dar una vuelta entera, esa es la razon del 2a.

  4. Linda mezcla de cosas. Me gustó.

    ¿Se ha generalizado a dimensión mayor?

    Por ejemplo, si tenes un cociclo de matrices N \times N y escribis la descomposición polar A_n = O_n P_n donde O_n es ortogonal mientras que P_n es simétrica con valores propios positivos 0 < \lambda_1(n) \le \cdots \le \lambda_N(n).

    Suponete que sabes que hay N intervalos disjuntos I_1,\ldots, I_N \subset [0,+\infty) tales que a partir de cierto n se cumple que \lambda_k(n) \in I_k^n para todo k (donde elevar un intervalo a la n es hacerlo con cada numerito).

    Creo que ahí vas a obener un splitting en suma de N rectas invariantes que varian continuamente, con los mismos métodos. Podríamos pensar como quedaría la obstucción después.

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