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Medidas invariantes y Teorema de Descomposición Ergódica.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Jueves 29, abril, 2010 at 10:41 am

por Rafael Potrie

Consideremos un homeomorfismo f:X\to X donde X es un espacio métrico compacto. Decimos que una medida de probabilidad \mu en X es f-invariante, si se cumple que \mu(f^{-1}(A))=\mu(A) para todo conjunto medible A.

Estas medidas son generalmente muy útiles para estudiar la dinámica del homeomorfismo como se ver rápidamente al ver los enunciados del Teorema de Recurrencia de Poincare o el Teorema Ergódico de Birkhoff (una prueba de este último bastante simple se encuentra en este link de este mismo blog).

Hay cierto tipo de medidas invariantes que son preferidas, por ser de alguna manera, indescomponibles, estas son llamadas medidas ergódicas y verifican que si A es un conjunto f-invariante, entonces, su medida es cero o uno.

Mediante resultados clasicos de analisis funcional, se puede probar que en general, existen medidas invariantes (para un homeomorfismo de un espacio métrico compacto) e incluso medidas ergódicas. Lo primero, es una consecuencia relativamente directa del Teorema de Banach-Alaoglu, que garantiza que el espacio de medidas de probabilidad es compacto con la topología débil (y por tanto, si se construye una medida “cada vez más invariante”, su límite será invariante) y lo segundo surge del Teorema de Krein-Milman ya que dado que las medidas invariantes forman un convexo compacto, tienen que tener elementos extremales (que serán las medidas ergódicas). Sin embargo, este último teorema, que nos permite aproximar toda medida invariante por combinaciones convexas de medidas ergódicas, no termina de mostrar realmente como es esta descomposición.

El objetivo de esta nota, es presentar un formalismo, el de las particiones medibles y medidas condicionales que permiten dar un sentido a dicha descomposición.

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Espacios de Lebesgue

In Análisis Real y Complejo on Martes 27, abril, 2010 at 8:01 am

por Rafael Potrie

La idea de esta entrada es definir Espacio de Lebesgue (también llamado Espacio Estandar, o Rokhlin-Lebesgue) de manera un tanto topológica y mostrar que si la medida no tiene átomos, eso implica que es isomorfo a un intervalo [0,1] con la medida de Lebesgue usual. Nos basamos en el artículo de Thierry de la Rue “Espaces de Lebesgue” Lecture Notes in Math. 1557.

Sea entonces (X, \mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad, donde \mathcal A es una \sigma-álgebra completa para \mu. Decimos que (X,\mathcal A, \mu) es un espacio de Lebesgue si existe una topología \tau Haussdorff y con base numerable en X tal que la completación de los borelianos de \tau es \mathcal A y se verifica que

\forall A \in \mathcal A se tiene que \mu(A) = \sup_{K \subset A} \mu(K) con K compacto para \tau.

Notar que la definición es bastante general, de hecho, probaremos que todo espacio Polaco (i.e. métrico, completo y separable) con una medida de Borel es de hecho un espacio de Lebesgue (en particular, tenemos variedades, espacios de Banach no muy grandes, espacios compactos y Haussdorff, etc).

Si tenemos dos espacios de probabilidad (X,\mathcal A, \mu) y (Y, \mathcal B, \nu), decimos que son isomorfos si existen X_0 \in \mathcal A y Y_0 \in \mathcal B de medida uno y una biyección bimedible h:X_0\to Y_0 tal que h_\ast \mu = \nu (i.e. \mu(h^{-1}(B)) = \nu(B) para todo B\in \mathcal B).

El Teorema bastante sorprendente que queremos probar es el siguiente:

Teorema Sea (X,\mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad de Lebesgue sin átomos (i.e. los puntos miden cero). Entonces, (X,\mathcal A, \mu) es isomorfo a ([0,1], \mathcal L, \lambda) donde \lambda es la medida de Lebesgue y \mathcal L es la completación de los borelianos por \lambda.

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Equivalencia homotópica y grupos de homotopía superior.

In Topología on Viernes 23, abril, 2010 at 9:24 am

por Rafael Potrie

Antes de empezar la nota, advierto que en ella asumo manejo del concepto de homotopía y si bien no utiliza la noción de grupo fundamental, estimo que si no se tiene un manejo razonable del \pi_1, no sería posible seguir esta nota. Hecha esta advertencia, comienzo la nota.

La topología algebraica busca definir invariantes algebraicos en espacios topológicos módulo equivalencia homotópica.

Esto quiere decir, está interesada en definir obstrucciones para que un espacio se “deforme” continuamente en otro.

Por la naturaleza misma de las deformaciones continuas (homotopías) que vienen a ser curvas continuas de mapas de un espacio en otro (o el mismo), naturalmente la concentración va a estar dada en espacios con ciertas propiedades no muy desagradables. Es por muchos motivos que los espacios “preferidos” de la topología algebraica son los llamados CW-complejos.

Un CW-complejo o también llamado complejo celular es un espacio topológico obtenido inductivamente mediante el pegado de “celulas” de dimensión cada vez mayor. Más precisamente, consideramos el 0-esqueleto que es una familia discreta de puntos, y dado el n-1-esqueleto X_{n-1}, definimos el n-esqueleto X_n como la union de X_{n-1} con un conjunto de n-células e_\alpha (discos de dimensión n) cocientado por mapas \varphi_\alpha : \partial e_\alpha \to X_{n-1}. El proceso puede terminar en un esqueleto de dimensión finita (ahi no hay problemas para definir la topología) o puede continuar indefinidamente, en cuyo caso dotamos al complejo X de la topología dada por A\subset X es abierto si A\cap X_n es abierto en X_n para todo n.

Estos objetos contienen como ejemplos a los espacios favoritos de mucha gente, en particular, las variedades (esto no es del todo cierto, sin embargo, para variedades diferenciables, que son triangulables, es bastante directo. Para variedades topologicas generales, lo que se obtiene es que son homotopicamente equivalentes a CW-complejos), los grafos (son CW-complejos con células de dimensión menor o igual a uno) y se portan bien con varios tipos de operaciónes entre espacios que uno puede realizar.

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Un truco para latex

In Uncategorized on Jueves 15, abril, 2010 at 12:36 pm

por Andrés Sambarino

Para poner un diagrama o una matriz, o alguna cosa medio complicada en latex de wordpress se puede usar el siguiente truco que inventó un tal A. J. Tolland: Hay que poner el codigo latex en lugar de BLANK el la siguiente dirección

http://www.codecogs.com/eq.latex?BLANK

ahí te crea una imagen .gif para que la puedas pegar en wordpress.

Secciones de fibrados y topología de la fibra

In Topología on Jueves 15, abril, 2010 at 12:30 pm

por Andrés Sambarino

En esto texto me gustaría contar una idea de porque la existencia de secciones para un fibrado está relacionada con la topología de la fibra. Para ilustrar el método vamos a mostrar que si la fibra es contractible y la base es una variedad entonces el fibrado admite secciones continuas.

Sean X una variedad y F un espacio topológico. Un fibrado de fibra F y base X es una forma de “pegar” en cada punto x de X una copia de F. El espacio obtenido E se llama el espacio total y obviamente depende de cómo pegamos las copias de F.

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