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Secciones de fibrados y topología de la fibra

In Topología on Jueves 15, abril, 2010 at 12:30 pm

por Andrés Sambarino

En esto texto me gustaría contar una idea de porque la existencia de secciones para un fibrado está relacionada con la topología de la fibra. Para ilustrar el método vamos a mostrar que si la fibra es contractible y la base es una variedad entonces el fibrado admite secciones continuas.

Sean X una variedad y F un espacio topológico. Un fibrado de fibra F y base X es una forma de “pegar” en cada punto x de X una copia de F. El espacio obtenido E se llama el espacio total y obviamente depende de cómo pegamos las copias de F.

El ejemplo mas claro es considerar el espacio producto E=X\times F y la definición precisa de fibrado dice que esto es cierto localemente:

Definición. E es un fibrado de fibra F y base X si existen:

  1. \pi:E\to X continua y sobreyectiva llamada proyección,
  2. \{U_i\} cubrimiento por abiertos de X y homeomorfismos :\pi^{-1}U_i\to U_i\times F  que conmutan con las proyecciones (de un lado \pi y del otro lado la primer coordenada)

tales que el cambio de cartas : (U_i\cap U_j)\times F \to (U_i\cap U_j)\times F es de la forma (x,v)\mapsto (x,\psi_{ij}(x)(v)) donde \psi_{ij}(x) es un homeomorfismo de F.

Es decir, si miramos cada U_i vemos que la estructura producto, pero precisamos volver a pegar esta estructura con los U_j que intersectan a U_i, es así que aparecen los cambios de cartas. Es claro que para cada x\in X se tiene que \pi^{-1}x es homeomorfo a F y de ahí la idea de “pegar” copias de F sobre X.

El primer ejemplo interesante de fibrado es la banda de Möbius: es un fibrado de fibra el intervalo (0,1) con base el círculo como muestra la siguiente imagen:

Los intervalos de borde a borde son las fibras del fibrado, y el círculo central es la base.

Una sección de E es un mapa continuo s:X\to E tal que s(x) pertenece a la fibra de x, es decir, \pi\circ s es la identidad en X. Por ejemplo, una sección del fibrado trivial (E=X\times F) es simplemente una funci\’on :X\to F, y un campo vectorial sobre una variedad es una sección del fibrado tangente a la variedad.

La existencia de secciones esta relacionada con la topología de la fibra F, y más en particular, con los grupos de homotopia \pi_n(F). Solo para ilustrar vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema. Un fibrado de fibra contractible y base una variedad compacta admite una sección.

Vamos a tratar de construir explicitamente un sección.Consideramos una triangulación de la base X, de forma que cada polígono esté contenido en un abierto donde el fibrado es trivial. Definimos s:X\to E primero en los vertices de la triangulación, estos son simplemente puntos aislados así que problema ahí no hay.

Tratamos de extender entonces a los segmentos que unen los vertices, esto nos daría un camino entre dos puntos dados de la fibra: la primer obstrucción entonces es que la fibra se arcoconexa, o sea \pi_0(F)=\{0\}.

Si seguimos con las caras de dimensión 2 de la triangulación obtenemos la siguiente obstrucción: tenemos un lazo cerrado en la fibra y queremos sabes si podemos extenderlo a un disco, esto es exactamente que el grupo fundamental de la fibra sea trivial, o sea \pi_1(F)=\{0\}.

Si queremos seguir con caras de mas dimensión nos vamos a encontrar con los demás \pi_n(F), que como F es contractible son todos triviales lo que permite encontrar la sección buscada.

Solo para ser rigurosos mostramos el siguiente lema:

Lema. Sea f:S^n\to F una función continua, entonces f se extiende a \widetilde f:B^{n+1}\to F si y solo si f es homotopicamente trivial.

Demostración. Si f es homotopicamente trivial existe H:[0,1]\times S^n \to F continua tal que H(0,z)=f(z) y H(1,z)= constante = p. Definimos entonces

\tilde f (r,z):=H(r,z)

donde (r,z) son las coordenadas polares en la bola de dimensión n+1. El recíproco es igual, pero al reves…

\square

Para terminar observamos que en realidad la prueba funciona para un enunciado mucho mas fuerte, para que exista una sección basta que \pi_n(F)=\{0\} para todo n menor o igual a la dimensión de la base.

  1. Eiss… Ta buena la prueba y no es dificil.

    Me queda una pregunta: Obviamente, en general puede haber un fibrado con fibra fea que admita secciones (por ejemplo el fibrado trivial), pero en general, se conoce un criterio del tipo:

    Si el fibrado es de tal manera, entonces, la restriccion topologica es de tal tipo?

    Por ejemplo, me parece que si fibras el circulo con conjuntos finitos de puntos, la condicion es que “al pegar” haya un punto que se pegue consigo mismo (no se si esta bien explicado, pero lo que quiero decir es que hay fibrados cuya fibra no cumple el criterio, no son triviales pero igual tienen secciones).

    Cual seria una condicion en los fibrados de la esfera (por ejemplo) por circulos para tener una seccion? Sabemos que el fibrado tangente no admite y el trivial si… y los otros?

  2. atenti gordao, porque tener una sección no implica en general tener una trivialización!

    O sea, los fibrados vectoriales están llenos de secciones porque la fibra es contractible, el tema es que la sección no tenga ceros, o tener n secciones linealmente independientes, para poder trivializar. En este caso hay restricciones topológicas de la base para tener secciones sin ceros, por ejemplo la característica de Euler.
    Por otro lado, el ejemplo que pusiste, fibrar con una cantidad finita de puntos. Esos fibrados son exactamente los cubrimientos, y ahi es claro que no hay secciones: cuando la das una vuelta a una curva cerrada abajo, arriba se desarma y no termina en el mismo lugar.

    Volviendo a tu pregunta, la verdad que mucha idea no tengo, me suena que cuando tenes un fibrado hay una especie de sucesión exacta larga de los \pi_n entre la base, la fibra y el espacio total, pero no veo mucho donde se puede usar…

  3. Por ejemplo…. hay secciones en la fibracion de Hopf? Por tirar una.

  4. Estuve pensando un cacho en hacerle una sección. Me parece que no se puede.

    Si escribimos S^3 = \{(u,v) \in \mathbb{C}^2: |u|^2 + |v|^2\} y f(u,v) = (2u\overline{v}, |u|^2 - |v|^2) encontrar una sección del fibrado equivale a encontrar g: S^2 \to S^3 continua tal que f(g(x,y,z)) = (x,y,z).

    Poniendo g(x,y,z) = (u,w) nos queda una única solución para |u| y |w| que es tomarlos sobre el círculo |u|^2 + |w|^2 = 1 cortado con la hipérbola 2|u||v| = |x + iy|, y cumpliendo con el signo correcto para z = |u|^2 - |v|^2.

    El tema es asignarle los argumentos a u y v. La forma obvia es meter g(0,0,1) = (1,0) y después mantener u real. Te queda:
    g(x,y,z) = (\frac{x-iy}{2u}, u)

    Pero eso significa que en el ecuador, la variable v pega la vuelta con x+iy mientras que u no pega vueltas. Lamentablemente arrancando de abajo te quedaría alreves.

    Las dos cosas no se pueden pegar porque sería como hacer una homotopía entre los dos generadores del \pi_1 del toro.

  5. Entendi que encontrar una g asi permite hallar una secci\’on, pero no veo que solo puedan ser asi (cpaz entendi cualquiera, posiblemente). Y lo que no entiendo ahi como te queda la homotopia esa en el toro.

    Igual me creo que no hay secciones. Yo pense una prueba, pero creo que es medio trucha, pero capaz se puede trabajar.

    Tenes la esfera que es seccion ahi. Ahora definis con la metrica que tengas en S3, tomas la funcion longitud, que a cada punto de la esfera le da la longitud del circulo sobre el. Como es una seccion, me da la impresion que esa funcion tiene que ser continua y por lo tanto las longitudes quedan acotadas. Esto nos permite re-normalizar las longitudes y hacer un homeo con el producto.

    Lo que no me convence es que parece un poco fuerte que todo fibrado con fibra circulos y que admita seccion es el producto y no se si es cierto pero ciertamente si la prueba esa es cierta implica eso. Por otro lado, no se me ocurre un ejemplo de fibrados con fibra circulos con seccion que no sean el producto.

  6. gordo, lo que decís esta bien pero me parece que justo en este caso. O sea, si consideramos la esfera S^3 contenida en \mathbb C^2 tenemos naturalmente una acción del circulo S^1 así:

    e^{i\theta}(z_1,z_2)=(e^{i\theta}z_1, e^{i\theta}z_2).

    Las órbitas de esta acción son exactamente las fibras de la fibración de Hopf, entonces si tenes una sección s:S^2\to S^3 obtendrias una trivialización de esta forma S^2\times S^1\to S^3

    (x,e^{i\theta})\mapsto e^{i\theta}s(x).

    Lo otro, que si tu argumento vale en general, parecería que si podes “uniformizar” la longitud sería cierto. Me suena que hay una teoría de 3 variedades foliadas por círculos, Seifert creo que son, habrá que mirar ahí para encontrar un contraejemplo…

  7. No es cierto en general que cuando los círculos de las fibras tienen longitud lejos de cero, el fibrado es trivial.

    La botella de Klein es un fibrado de S^1 por copias de S^1 no es el producto, y sin embargo admite una sección (la curva ‘del medio’).

    Eso no contradice la prueba en este caso, porque usamos la acción del círculo, cosa que no pinta en general.

  8. Buen contraejemplo el de la botella de Klein.

  9. Perfecto ejemplo!. Y es cierto, en la “prueba” se usa implicitamente que el fibrado es orientable para poder dar “coordenadas” al producto.

    Si los circulos estan orientados y se puede normalizar la longitud, entonces obtenemos que el mapa (como dice el sambita) \varphi: S \times S^1 \to M dado por

    \varphi(x,t) = andar t por el circulo correspondiente (ya normalizado continuamente) a x. Esto está bien definido porque no hay confusion entre t y -t por ser orientable el fibrado.

    Deberia ser un homeo, no?

    Por otro lado, estoy casi seguro de que si hay sección, se puede normalizar la longitud….

    Habrá alguna otra obstrucción? o algun otro error?

  10. A raiz de lo que dijo el Sambita anduve leyendo: http://en.wikipedia.org/wiki/Seifert_manifold

    Por lo que pude entender lo siguiente es un ejemplo de variedad de Siefert:

    Considerá la rotación de ángulo 1/3 en el plano. Si tomás la suspensión obtenés una variedad de dimensión 3 que es fibrada por círculos. Pero la función “longitud del círculo sobre el cual estoy parado” no es continua en la variedad por culpa del círculo sobre 0 que es al menos tres veces más corto que los que están cerca.

    Eso tiene pinta de que prohibe que sea homeomorfo al producto \mathbb{R}^2 \times S^1.

    ¿Capaz si pedimos que la función “longitud del círculo” sea continua nos queda un producto?

  11. Ta bueno que pinto discusión.

    No termine de entender la definición de Seifert Manifold… al parecer es como que localmente son como el ejemplo que diste. Pero de todas maneras, me parece que no son contraejemplos. Por ejemplo, la suspension de cualquier mapa que preserve orientacion del plano, queda el producto (lo mismo con la esfera, por ejemplo), creo que eso sale de hacer homotopia, es decir, al suspender un mapa, la variedad que queda depende solo de la clase de isotopia del homeo.

    Por otro lado, la continuidad sale de que una sección puede cortar los círculos en un único punto. Entonces, como cada circulo tiene longitud acotada, y le podes hacer un entorno tubular, los de al lado tienen longitud similar.

  12. Tenés razón. No es un contraejemplo. Ahora creo que debe estar bien la prueba.

    En el ejemplo el espacio total puede ser que sea homeomorfo al producto, pero me parece que el fibrado no lo es por eso de que la longitud de los círculos no es una función continua.

    Lo que creo que pasa es que no tiene una sección (el plano no es sección porque corta 3 veces todos los círculos excepto uno).

  13. Me parece que no es un contraejemplo porque en general cuando suspendes un homeo de una variedad M lo que te queda es un fibrado de base S^1 y fibra M, y no al revés. Creo que justamente el círculo que pasa por 0 es lo que prohibe que la variedad sea un fibrado en círculos…

    Parecería entonces que la prueba del gordo está bien, en el caso orientable.

  14. Creo que la diferencia es entre Fibracion y Fibrado. http://en.wikipedia.org/wiki/Fibration. Si suspendes un mapa periodico (todas los puntos son periodicos) te queda una fibracion que no es un fibrado al parecer.

  15. Me convencieron.

  16. […] Este teorema es consecuencia de un teorema de Hadamard, que describe la topología de y de una propiedad sobre fibrados de fibra contractible cuya prueba, y más detalles sobre fibrados, se puede ver acá. […]

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