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Equivalencia homotópica y grupos de homotopía superior.

In Topología on Viernes 23, abril, 2010 at 9:24 am

por Rafael Potrie

Antes de empezar la nota, advierto que en ella asumo manejo del concepto de homotopía y si bien no utiliza la noción de grupo fundamental, estimo que si no se tiene un manejo razonable del \pi_1, no sería posible seguir esta nota. Hecha esta advertencia, comienzo la nota.

La topología algebraica busca definir invariantes algebraicos en espacios topológicos módulo equivalencia homotópica.

Esto quiere decir, está interesada en definir obstrucciones para que un espacio se “deforme” continuamente en otro.

Por la naturaleza misma de las deformaciones continuas (homotopías) que vienen a ser curvas continuas de mapas de un espacio en otro (o el mismo), naturalmente la concentración va a estar dada en espacios con ciertas propiedades no muy desagradables. Es por muchos motivos que los espacios “preferidos” de la topología algebraica son los llamados CW-complejos.

Un CW-complejo o también llamado complejo celular es un espacio topológico obtenido inductivamente mediante el pegado de “celulas” de dimensión cada vez mayor. Más precisamente, consideramos el 0-esqueleto que es una familia discreta de puntos, y dado el n-1-esqueleto X_{n-1}, definimos el n-esqueleto X_n como la union de X_{n-1} con un conjunto de n-células e_\alpha (discos de dimensión n) cocientado por mapas \varphi_\alpha : \partial e_\alpha \to X_{n-1}. El proceso puede terminar en un esqueleto de dimensión finita (ahi no hay problemas para definir la topología) o puede continuar indefinidamente, en cuyo caso dotamos al complejo X de la topología dada por A\subset X es abierto si A\cap X_n es abierto en X_n para todo n.

Estos objetos contienen como ejemplos a los espacios favoritos de mucha gente, en particular, las variedades (esto no es del todo cierto, sin embargo, para variedades diferenciables, que son triangulables, es bastante directo. Para variedades topologicas generales, lo que se obtiene es que son homotopicamente equivalentes a CW-complejos), los grafos (son CW-complejos con células de dimensión menor o igual a uno) y se portan bien con varios tipos de operaciónes entre espacios que uno puede realizar.

Un ejemplo interesante y simple, al cual volveremos son las esferas. La esfera S^n siempre admite una estructura de complejo celular de la siguiente forma, el cero esqueleto es un punto, y luego, pegamos un disco de dimensión n donde mandamos todo el borde a dicho punto. Esta estructura de complejo celular es muy útil, pero existe otra que da una posibilidad de construir la esfera S^\infty que es un buen primer ejemplo de CW-complejo de dimensión infinita. Para ello, construimos S^0 como dos puntos, y construimos a partir de S^{n-1} la esfera S^n pegando dos células de dimensión n a S^{n-1} con un mapa de grado uno de \partial D^n \sim S^{n-1}. Esto permite inductivamente construir un complejo celular S^\infty tal que su n-esqueleto es una esfera de dimensión n.

Como deciamos, la topología algebraica pretende definir “obstrucciones” (algebraicas, obviamente) para que dos espacios (nos interesaremos por CW-complejos) sean deformables uno en el otro. Intentaré rápidamente contar una muy natural, que encaja muy bien con la naturaleza de los CW-complejos.

Fijado X un CW-complejo y x_0 \in X, consideramos \pi_n(X,x_0) el conjunto de mapas de la esfera S^n en X que mandan un punto dado en x_0,  cocientado por homotopía preservando dicho punto. Es decir, dos mapas de S^n en X que mandan un punto en x_0 serán considerados iguales si podemos deformar continuamente uno en el otro manteniendo al punto x_0 quieto. Hay una forma muy natural de definir un producto en este conjunto \pi_n(X,x_0) que consiste en “concatenar” los mapas, es decir, abrir ambos en el punto x_0 y pegarlos para considerar ese nuevo mapa (muy similar a lo que se hace en el bien conocido \pi_1(X,x_0) que es el caso conocido).  Con esta operación, \pi_n(X,x_0) se convierte en un grupo y pronto, tenemos un invariante algebraico!. Bueno, invariante hay que precisar de que, pero no es dificil ver que es un invariante por equivalencia homotópica.

Una equivalencia homotópica entre dos espacios topológicos X y Y es un mapa continuo f:X \to Y tal que existe un mapa g: Y \to X que verifica que tanto f\circ g como g\circ f son homotópicos a la identidad. Digamos que es una relajación de las propiedades que le pedimos a un homeomorfismo, pero si se mira con cuidado, si queremos estudiar cuando un espacio se puede “deformar continuamente” en otro, es este el concepto que queremos!.

Esto se fue más largo que lo que esperaba, voy a ir al grano ahora, quiero contar escencialmente dos cosas, una a favor de que los grupos de homotopía son el invariante apropiado a mirar si queremos ver que espacios se deforman en que otros. Luego, quiero mostrar un ejemplo super interesante que muestra que igual hay alguna cosa más a estudiar y comentaré un poco las desventajas de los grupos de homotopia superior (los \pi_n que definimos arriba). Obvio que la referencia obligada para todo esto es el librazo de Hatcher,que se baja gratuitamente de su página web http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

Teorema (Whitehead) Sean dos CW-complejos X y Y y un mapa f: X \to Y tal que induce isomorfismos en todos los \pi_n. Entonces, f es una equivalencia homotópica.

Menciono rápidamente que quiere decir que un mapa induce un isomorfismo, por más que es practicamente lo único que puede ser, un elemento de \pi_n(X,x_0) es una clase de homotopía de mapas de S^n en X. Si tenemos un mapa f: X\to Y, este nos induce una clase de homotopía de mapas de S^n en Y mediante composición.

Si bien este Teorema, al menos para mi, es el sueño de toda teoría (en general, uno encuentra invariantes y estos le permiten decir cuando dos cosas NO son iguales, este teorema dice que si los invariantes son iguales, entonces los espacios tambien!), hay un problema con el, no basta con que los invariantes sean iguales, tiene que haber un mapa que induzca isomorfismos en todos estos invariantes. Entonces, la pregunta a responder es: Habrá dos espacios cuyos \pi_n coinciden todos, pero sin embargo NO son homotopicamente equivalentes?.

Lamentablemente, y por suerte, la respuesta es que si, hay ejemplos. Voy a intentar rápidamente explicarlo.

Primero, voy a definir el proyectivo infinito \mathbb{R}P^\infty y la esfera infinita S^\infty.

La idea es la siguiente, uno puede construir la esfera S^n a partir de la esfera S^{n-1} mediante el pegado de dos discos (hemisferios). Si uno frena, obtiene una esfera comun y silvestre, pero si continua inductivamente este proceso al infinito, obtiene S^\infty. Análogamente, el proyectivo \mathbb{R}P^n se obtiene del proyectivo de dimensión n-1 mediante el pegado de una celula de dimensión n definiendo el pegado como el mapa cociente de la esfera en el proyectivo. Es fácil ver que el cubrimiento universal de \mathbb{R}P^\infty es S^\infty.

La esfera S^\infty es contractible. Esto se puede ver de la siguiente manera: como el n-esqueleto de S^\infty es la esfera de dimensión n, tenemos que el n-esqueleto es homotópico a un punto en el n+1-esqueleto y por lo tanto, haciendo una homotopía de a (numerables) pedazos (con tiempos cuya suma de uno) logramos llevar todo a un punto. Para hacer esto formalmente, es necesario utilizar la propiedad de extensión de homotopias que siempre se verifica en “pares CW”, ver capitulo 0 del Hatcher.

Obtenemos entonces, que se cumple que \mathbb{R}P^2 y S^2\times \mathbb{R}P^\infty tienen todos sus grupos de homotopía iguales. Veamos esto, por un lado, ambos tienen el mismo grupo fundamental \mathbb{Z}_2 lo cual es fácil de corroborar. Por otro lado, los cubrimientos universales de ambos espacios son homotópicamente equivalentes, el primer es S^2 y el segundo tiene como cubrimiento S^2 \times S^\infty y como S^\infty es contractible se cumple lo que afirmamos. Ahora, no es muy difícil ver que los grupos de homotopía superior o igual a dos son estables por cubrimiento (es decir, el \pi_n(X) es igual al de su cubrimiento universal para n\geq 2) y esto nos da lo que queremos.

Lamentablemente, la única prueba que conozco de que estos espacios no son homotopicamente equivalentes es el uso de la homologia celular (que muestra que hay grupos de homologia de ambos espacios que son diferentes) que está bastante más lejos de ser elemental de contar que los grupos de homotopía. Una cosa que estaría buena, es que los que hayan leido hasta aca se prendan a que pensemos una prueba más elemental de que estos espacios no son homotópicamente equilalentes.

Voy a terminar la nota con algun otro comentario. Sobre todo, una tirada para atras a los grupos de homotopía, que a pesar de caracterizar bien los complejos celulares módulo equivalencia homotópica (lo cual si se piensa bien no es tan extraño, ya que los CW complejos estan muy relacionados con las esferas por como estan construidos) son grupos muy dificiles de calcular (y que en muchos casos no se conoce forma de calcularlos, ni siquiera se conocen los grupos de homotopia superior de las esferas!).  Esto de alguna manera, es una motivación para estudiar la homología y cohomología, que si bien sus definiciones son bastante más oscuras y técnicas, son tremendamente fáciles de calcular, al menos para CW-complejos.

 

 

 

 

 

  1. gordao, no me quedó claro porque \mathbb RP^2 y S^2\times\mathbb RP^\infty no son homotopicamente equivalentes, te animás a explicar aunque tengas que usar homología?

  2. La idea es que las homologias de \mathbb{R}P^2, siendo un complejo de celulas de dimensión menor o igual que dos, son nulas a partir del H_3.

    Sin embargo, las homologias H_n de \mathbb{R}P^\infty son no triviales para infinitos n ya que tenes una celula de cada dimensión pegada con un mapa de grado 1 + (-1)^n , por lo tanto, nucleo sobre imagen queda alternadamente Z_2 y 0 y por lo tanto no son homotopicamente equivalentes.

  3. […] para conocer los grupos de homotopía de los CW-complejos (por definiciones de estos conceptos, ver este post, de todas maneras, el post actual es elemental, y no es necesario haber comprendido este […]

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