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Espacios de Lebesgue

In Análisis Real y Complejo on Martes 27, abril, 2010 at 8:01 am

por Rafael Potrie

La idea de esta entrada es definir Espacio de Lebesgue (también llamado Espacio Estandar, o Rokhlin-Lebesgue) de manera un tanto topológica y mostrar que si la medida no tiene átomos, eso implica que es isomorfo a un intervalo [0,1] con la medida de Lebesgue usual. Nos basamos en el artículo de Thierry de la Rue “Espaces de Lebesgue” Lecture Notes in Math. 1557.

Sea entonces (X, \mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad, donde \mathcal A es una \sigma-álgebra completa para \mu. Decimos que (X,\mathcal A, \mu) es un espacio de Lebesgue si existe una topología \tau Haussdorff y con base numerable en X tal que la completación de los borelianos de \tau es \mathcal A y se verifica que

\forall A \in \mathcal A se tiene que \mu(A) = \sup_{K \subset A} \mu(K) con K compacto para \tau.

Notar que la definición es bastante general, de hecho, probaremos que todo espacio Polaco (i.e. métrico, completo y separable) con una medida de Borel es de hecho un espacio de Lebesgue (en particular, tenemos variedades, espacios de Banach no muy grandes, espacios compactos y Haussdorff, etc).

Si tenemos dos espacios de probabilidad (X,\mathcal A, \mu) y (Y, \mathcal B, \nu), decimos que son isomorfos si existen X_0 \in \mathcal A y Y_0 \in \mathcal B de medida uno y una biyección bimedible h:X_0\to Y_0 tal que h_\ast \mu = \nu (i.e. \mu(h^{-1}(B)) = \nu(B) para todo B\in \mathcal B).

El Teorema bastante sorprendente que queremos probar es el siguiente:

Teorema Sea (X,\mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad de Lebesgue sin átomos (i.e. los puntos miden cero). Entonces, (X,\mathcal A, \mu) es isomorfo a ([0,1], \mathcal L, \lambda) donde \lambda es la medida de Lebesgue y \mathcal L es la completación de los borelianos por \lambda.

Este Teorema siempre me resulto bastante increíble, pero en definitiva, lo que muestra es que las funciones medibles son poco “exigentes” y ayuda a comprender porque cuando estudiamos probabilidad no nos interesa mucho el espacio en el que trabajamos.

Vale la pena mencionar que la hipótesis de que la medida no tenga átomos es, si bien obviamente necesaria para obtener el resultado enunciado, es también fácilmente removible considerando intervalos más cortos y los átomos. Un buen ejercicio es reformular y probar a partir de ese teorema, un teorema válido para espacios de Lebesgue donde posiblemente haya átomos.

La prueba tiene dos partes, la primera consiste en ver que todo espacio de Lebesgue lo podemos ”incluir” (hacer isomorfo) a un conjunto de Cantor con una cierta medida completa. La segunda, hacer un isomorfismo entre las medidas en los conjuntos de cantor y el intervalo con la medida de Lebesgue usual. Para simplificar las pruebas, vamos a asumir que (X,\tau) es un espacio métrico y por lo tanto tiene sentido considerar el diametro de los conjuntos (sino hay que utilizar que el espacio es union numerable de compactos módulo cero por la propia definición de espacio de Lebesgue).

El primer paso está contenido en el siguiente Lema que es la parte más delicada del asunto.

Lema 1 Existe una medida de Borel \nu  en el conjunto de cantor \mathcal C = \{0,1\}^{\mathbb{N}} tal que (X,\mathcal A, \mu) es isomorfo a (\mathcal C, \mathcal B, \nu) donde \sigma-álgebra \mathcal B es la completación de los borelianos de \mathcal C por \nu.

Demostración: Consideramos (B_n)_{n\in \mathbb{N}} una base de la topología \tau que hace (X,\mathcal A, \mu) un espacio de Lebesgue. Como la base separa puntos (\tau es Haussdorff) podemos encajar X en \mathcal C mediante una función \phi: X \to \mathcal C definida por

\phi(x)= ( 1_{B_n}(x))_n

Donde 1_{A} denota la función característica de A. Como la topología de \mathcal C está generada por los cilindros y es fácil ver que la preimagen por \phi de un cilindro es intersección finita de abiertos de la base y sus complementos, tenemos que es claramente medible.

Podemos entonces definir una medida \nu en los borelianos de \mathcal C dada por \nu(A)= \mu(\phi^{-1}(A)). Consideramos entonces \mathcal B la completación de los borelianos de \mathcal C por \nu. Tenemos que ver que  \phi es una biyección bimedible.

Basta ver que \phi(X) es un boreliano de \mathcal C ya que  la imagen por \phi de un elemento de la base B_n es la intersección de un cilindro con \phi(X) por tanto medible y de esa manera se prueba fácilmente que \phi (que es biyectiva y medible) tiene inversa medible.

Ver que \phi(X) es medible no es difícil, basta ver que un punto de \mathcal C está en la imagen de \phi siempre y cuando se verifiquen un par de condiciones que se pueden escribir como intersecciones y uniones de conjuntos medibles, en particular, que si intersectamos los B_n y sus complementos de acuerdo a la sucesión y obtenemos una intersección no vacía en X, que exista un natural tal que y_n=1 y se tenga que diam(B_n)<\infty y que si y_n=1 entonces, existe m tal que y_m=1 y el diametro de B_m es menos que la mitad del de B_n (todo esto es simple de corroborar).

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La prueba a partir de ahora es bastante simple aunque ingeniosa. La idea es ir definiendo a que intervalos vamos a mandar cada cilindro (ya que podemos suponer que X es el cantor y \mathcal A es la completación de los borelianos por \mu) de forma que se cumpla que la medida imagen sea exactamente la medida de Lebesgue. Esto no es muy difícil, lo esbozo rápidamente para terminar la prueba del Teorema.

Consideramos z =(z_0,\ldots z_p) \in \mathcal C_p =\{0,1\}^{\{0, \ldots, p\}} y vamos a definir un intervalo J(z)=[\alpha(z), \beta(z)) tal que

\beta(z)-\alpha(z) = \mu(\{\pi_0=z_0\} \cap \ldots \cap \{\pi_p=z_p\}) donde \pi_i es la proyección en la i-ésima coordenada.

Los definimos inductivamente, primero, ponemos J( 0)= [0, \mu(\{\pi_0=0\}) y J(1)= [\mu(\{\pi_0=0\}),1) y asumiendo que tenemos definido J(\tilde z) para todo \tilde z\in \mathcal C_k con k\leq p y consideramos z=(z_0, \ldots z_p, z_{p+1}). Sea \tilde z = (z_0, \ldots , z_p), entonces, si z_{p+1}= 0, definimos

\alpha(z)= \alpha(\tilde z) y \beta(z)= \alpha(\tilde z) + \mu (\{\pi_0=z_0\} \cap \ldots \cap \{\pi_{p+1}=0\})

De manera similar, si z_{p+1}=1 definimos

\alpha(z)= \alpha(\tilde z) + \mu (\{\pi_0=z_0\} \cap \ldots \cap \{\pi_{p+1}=0\}) y \beta(z)=\beta(\tilde z).

No es difícil comprobar que esta asignación define el isomorfismo que buscamos.

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Para terminar, voy a probar que los espacios Polacos con medidas de Borel completadas son siempre de Lebesgue.

Proposición Sea (X,\mathcal A, \mu) un espacio de probabilidad completo tal que X es métrico completo y separable y \mathcal A es la completación según \mu de los borelianos. Entonces, (X,\mathcal A, \mu) es un espacio de Lebesgue.

Demostración. De hecho, la prueba es muy similar a la del Lema 1. Consideramos \phi: X \to \mathcal C=\{0,1\}^{\mathbb N} como allí, donde definimos (B_n) una base numerable de abiertos de X (construida como bolas de radios menores que uno alrededor del conjunto denso numerable de X).

Dado que \phi(X) es boreliano en \mathcal C, obtenemos de hecho que la topología inducida por la topología del conjunto de cantor en X es de hecho más fina que la topología inicial (recordar el comentario que hicimos de que dado que \phi(X) es boreliano, tenemos que \phi(B_n) es un cilindro cortado con \phi(X) y por lo tanto las preimagenes de abiertos del cantor por \phi generan una topología más fina que la inicial (si no igual).

Ahora, obviamente el cantor, siendo compacto, es un espacio de Lebesgue para la medida \phi_\ast \mu en la completación de los borelianos del cantor. Para ver esto, consideremos la familia de conjuntos donde la condición de que la medida es el supremo de los compactos contenidos  vale. Esta familia evidentemente contiene los compactos (cerrados) y como todo abierto es union numerable de compactos obtenemos que vale para los abiertos también, como los que la verifican es una clase monótona, obtenemos la propiedad para todos los borelianos como queriamos. Ahora, como la topología inicial tiene menos abiertos, tiene más compactos, entonces, esto concluye.

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  1. tremendo! excelente la función \phi para mandar un espacio en el Cantor!!

  2. Buenaso.

    Esto implica por ejemplo que en el cantor con cualquir medida de probabilidad hay conjuntos no medibles. Cosa que venía pensando hace un tiempito. Por algún motivo me pareció super dificil construir uno a mano.

    Sin embargo, ahora que lo pienso podría tomar la suma en el cantor como Z_2^{\mathbb{N}}, tomar un conjunto numerable, y definir las clases de equivalencia por traslaciones igualito a en [0,1].

    Con este teorema podés pasar la traslación (módulo 1) en [0,1] a el cantor también. Te queda que todos los espacios de Lebesgue estos admiten biyecciones medibles ergódicas, por ejemplo.

    En fin, está buenaso.

  3. Si, nunca habia pensado en eso. De hecho, eso que decis vale en general para cualquier mapa medible en un espacio de Lebesgue se puede “realizar” como una transformación medible del intervalo. Eso tiene que ver con un problema que algun dia me gustaria escribir que es de realizacion de mapas medibles.

    La pregunta es si fijada una variedad y una transformacion medible de un espacio de Lebesgue que preserva una cierta medida, es isomorfo como transformacion medible a un homeo de esa variedad que preserva Lebesgue.

    Sorprendentemente (para mi al menos) la respuesta es bastante afirmativa (por mas que hay mil problemas abiertos aun), incluso con bastante diferenciabilidad (por ejemplo, en toda variedad hay difeos C^\infty conjugados a un shift de bernoulli).

    Otra cosa relacionada (aunque un tanto diferente) que me parece interesante es que si tenes un homeo de superficie que preserva una medida de soporte total, entonces es conjugado (topologicamente) a uno que preserva Lebesgue. Espero también algun dia saber la prueba de esto.

  4. Me suena que hay una prueba simple de eso útimo en el círculo.

    Lo que tenes que probar es que dada una medida \mu en S^1 que sea positiva en abiertos y sin átomos existe un homeomorfismo h:S^1\to S^1 que manda \mu en Lebesgue.

    Entonces haces así, fijas un punto cualquiera, por ejemplo el 1. Dado x definís h(x) de forma que

    \mu([1,x])=Lebesgue([1,h(x)]),

    los intervalos elegidos siguiendo la orientación horaria.

    • O sea que, dada la medida $\mu$ encontrás un homeo del círculo unicamente ergódico que la preserva (es conjugar una rotación irracional por el homeo $h$ del Sambita).

      Eso tan simple es mas jodido en general: dada la medida encontrar una dinámica que la preserve.

      • Esa pablito! Se van sumando de a poco!!! je.

        Eso que vale en gral espero escribirlo pronto porque estuve vichando la prueba y no es tan dificil. La gracia es que los homeos son bastante “flexibles” y por tanto, si tenes una medida de soporte total, te arreglas para hacer un homeo que la mande en Lebesgue. Igual es bastante más dificil que en el circulo.

  5. Tenes razón. De hecho, tu argumento me hace darme cuenta que mi comentario estaba mal formulado. En realidad, eso no tiene nada que ver con dinámica, es simplemente decir que dadas dos medida de soporte total en una superficie, existe un homeomorfismo que manda una en la otra.

  6. […] observación, que fue hecha por el Sambita en otro post anterior es que en el caso de dimensión uno, el resultado es relativamente más fácil (ya que se […]

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