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Grupos de homotopía (no tan) superiores de las esferas.

In Topología on Jueves 27, mayo, 2010 at 8:38 am

por Rafael Potrie

Uno de los problemas más difíciles de la topología algebraica es determinar los \pi_k(S^n) con k grande.

Parece ser un problema de carácter elemental, y a simple vista no es claro el porque genera tanto interés. Una razón, para mi importante, es que está muy relacionado con los grupos de homotopía de los CW complejos (hay que notar que si se considera el n-esqueleto de un CW-complejo cocientado por el n-1-esqueleto no queda otra cosa que una suma de esferas n-dimensionales, por lo tanto, calcular la homotopía de las esferas es un paso necesario para conocer los grupos de homotopía de los CW-complejos (por definiciones de estos conceptos, ver este post, de todas maneras, el post actual es elemental, y no es necesario haber comprendido este párrafo).

Nos interesaremos en este post por conocer los más fáciles de calcular, los que de hecho parecen evidentes, \pi_k(S^n) con k<n.

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De la geometría a los grupos: Espacios simétricos

In Grupos y geometría on Domingo 23, mayo, 2010 at 4:48 pm

por Andrés Sambarino

Como muy bien dijo el Lessa en artículo Esperanza condicional, nos dirigimos a probar un resultado de superrigidez debido a Margulis entre este y futuros artículos.

El contexto, o la pregunta general que tratamos de responder es la siguiente:

¿qué geometrías puede admitir una variedad dada?

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Volumen, Entropía, Exponentes de Lyapunov.

In Sistemas Dinámicos on Viernes 21, mayo, 2010 at 5:51 am

por Rafael Potrie

Lo que voy a postear tiene que ver con algo que estoy pensando hace ya un tiempo (sin mucho éxito). La motivación, son un conjunto de Teoremas que de alguna manera relacionan las palabras que aparecen en el título.

Uno de ellos, la “desigualdad de Ruelle”, afirma que la entropía de un difeomorfismo C^1 respecto a una medida invariante \mu es menor o igual que la integral de los “exponentes positivos” para la medida.

Una especie de recíproco, conocido como la “igualdad de Pesin”, afirma que si el difeomorfismo es de clase C^{1+\alpha} y si la medida \mu es absolutamente continua respecto a Lebesgue, entonces se verifica una igualdad.

Por último, hay una relación (a mi entender), entre estos resultados y los de Yomdim y Newhouse, que relacionan (o acotan) la entropía de un difeomorfismo (muy diferenciable, digamos C^{\infty}) con el crecimiento de los volumenes k-dimensionales en una variedad (es decir, fijar una k-variedad, iterarla y ver como se agranda su “volumen” k-dimensional)

Yo estoy interesado en ver que tanto se pueden simplificar las pruebas de estos teoremas (que no conozco) cambiando por resultados más cualitativos.  El objetivo de este post es formalizar este interés y contar por qué me parece plausible hacerlo (y en una de esas, si tengo suerte, que quede claro el por qué me parece de interés).

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Reparametrizaciones de flujos de Anosov

In Sistemas Dinámicos, Topología on Miércoles 19, mayo, 2010 at 4:56 pm

por Andrés Sambarino

Si tenemos un flujo \phi_t:M\circlearrowleft y una función estrictamente positiva y contínua f:M\to\mathbb R podemos reparametrizar el flujo \phi usando f de la siguiente manera: Sea \alpha:M\times \mathbb R\to\mathbb R dada por

{\displaystyle \alpha(x,t)=\int_0^t f(\phi_s(x))ds.}

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Una conjetura de escape hiperbólico

In Grupos y geometría, Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Lunes 17, mayo, 2010 at 12:04 pm

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.

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El teorema de la curva de Jordan.

In Topología on Lunes 17, mayo, 2010 at 10:16 am

por Rafael Potrie

El objetivo de este post es dar una prueba (elemental?) del Teorema de la curva de Jordan que afirma que una curva cerrada simple (i.e. sin autointersecciones) en el plano, separa a este en dos componentes conexas, una acotada y una que no lo es.

Este teorema es de alguna manera el “paradigma” de esos teoremas “fáciles de enunciar pero difíciles de probar”. A mi gusto, esto a veces estigmatiza los resultados y para mi la razón fundamental por la que no se da la prueba (que no es más difícil que la de otros teoremas en cursos elementales) es que no tiene cabida en los programas de las materias donde se usa (sería un “desvío innecesario”).

Voy a enunciar el Teorema antes de hacer otros comentarios y empezar con la prueba. Recordemos que una curva continua \gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^2 es cerrada y simple si \gamma(0)=\gamma(1) y es inyectiva en (0,1]. Una forma equivalente  de poner esto, es decir que es la imagen continua e inyectiva de un círculo en el plano. A la imagen de estas curvas, las llamaremos curvas de Jordan.

Teorema Si J es una curva de Jordan, entonces \mathbb{R}^2 - J tiene exactamente dos componentes conexas, una acotada (que llamamos int(J)) y una no acotada que llamamos ext(J)). Además, J es el borde de ambas componentes conexas.

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Medida de los conjuntos hiperbólicos

In Sistemas Dinámicos on Sábado 8, mayo, 2010 at 4:47 pm

por Rafael Potrie

El ejemplo más conocido en el cual la diferenciabilidad de un sistema dinámico entra en juego es el bien conocido teorema de Denjoy, que dice que un difeomorfismo de clase C^2 del círculo que no tiene órbitas periódicas es topologicamente conjugado a una rotación irracional. El hecho que también se conocen ejemplos de difeomorfismos de clase C^1 que no tienen órbitas periódicas y sin embargo no son conjugados a una rotación irracional muestra como esa segunda derivada tiene que entrar en juego de forma crucial a la hora de probar el teorema.

Antes de enunciar lo que voy a probar, voy a dar una rápida definición: Si f: [-1,1] \to [-1,1] es una función C^1 (tal que f(\{0,1\}) \subset \{0,1\}), decimos que un conjunto compacto \Lambda \subset [-1,1]=I y f-invariante, es hiperbólico si se verifica que existen C,\lambda \geq 1 tales que |(f^n)'(x)| \geq \frac 1 C \lambda^n.

Ahora estoy en condiciones de enunciar el teorema, que espero por si solo explique porque tiene que ver con lo escrito en el primer párrafo.

Teorema Si f es de clase C^2 y \Lambda es un conjunto hiperbólico para f, entonces, se cumple que \Lambda tiene medida de Lebesgue nula.

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Equivalencia de medidas no atómicas en variedades.

In Análisis Real y Complejo, Topología on Miércoles 5, mayo, 2010 at 5:32 am

por Rafael Potrie

La idea es dar una indicación relativamente detallada de la prueba del siguiente teorema debido a Oxtoby y Ulam. Nos basamos en el libro de Alpern y Prasad.

Teorema (Oxtoby-Ulam) Sea \mu una medida de probabilidad de Borel en una variedad X tal que \mu no tiene átomos, asigna medida positiva a todos los abiertos y tal que el borde de X mide cero. Entonces, existe un homeomorfismo  h: X \to X tal que h^\ast \mu es la medida de Lebesgue. Además, si X tiene borde, se puede asumir que h es la identidad en el borde.

Como se puede ver fácilmente, este Teorema está muy relacionado a un Teorema de Moser posteado recientemente que trata el “caso diferenciable”. Sin embargo, este Teorema es un tanto más complejo ya que el Teorema de Moser dice que si tenes una medida absolutamente continua con respecto a Lebesgue (y densidad de clase C^r con r\geq 1) entonces existe un difeomorfismo que transforma la medida en la de Lebesgue. En el caso que tratamos ahora, la medida puede incluso llegar a ser completamente singular con la de Lebesgue, incluso, asignarle medida positiva a conjuntos de dimensión estrictamente menor lo cual hace al resultado un tanto más sorprendente.

Por otro lado, ambos resultados son óptimos, en el sentido de que al mandar la medida de Lebesgue por un homeomorfismo (resp. difeomorfismo) obtenemos una medida positiva en abiertos, sin átomos que da medida nula al borde (resp. una medida con densidad diferenciable).

Otra observación, que fue hecha por el Sambita en otro post anterior es que en el caso de dimensión uno, el resultado es relativamente más fácil (ya que se puede utilizar el orden para definir el homeomorfismo).

Desde ahora, le llamaremos medida OU a una medida \mu en una variedad X a una medida de Borel no atómica que le asigna medida nula al borde de X y tal que todo abierto mide positivo.

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Volúmenes en variedades.

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 3, mayo, 2010 at 3:57 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de esta entrada es describir un teorema debido a Moser (On the volume elements on a manifold.
Trans. Amer. Math. Soc. 120 1965 286–294.).

El resultado trata de lo siguiente: En general, si tenes una forma de volumen \Omega en una variedad compacta orientable M y consideras un difeomorfismo f:M\to M, entonces, podes definir otra forma de volumen f^\ast \Omega tal que se tiene

(f^\ast \Omega )(v_1, \ldots, v_n)= \Omega_{f(x)} (D_xf v_1, \ldots, D_x f v_n)

Evidentemente, el volumen total de la variedad es el mismo para ambas formas de volumen. El Teorema de Moser nos da el recíproco de esto:

Teorema (Moser) Sean \Omega_0 y \Omega_1 dos formas de volumen en una variedad compacta orientable M (de dimensión n) y tal que

\int_M \Omega_0 = \int_M \Omega_1

Entonces, existe un difeomorfismo f:M \to M tal que f^\ast \Omega_0 = \Omega_1. De hecho, el difeomorfismo se puede considerar isotópico a la identidad.

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