Los seguidores de Manolo

Volúmenes en variedades.

In Grupos y geometría, Topología on Lunes 3, mayo, 2010 at 3:57 pm

por Rafael Potrie

El objetivo de esta entrada es describir un teorema debido a Moser (On the volume elements on a manifold.
Trans. Amer. Math. Soc. 120 1965 286–294.).

El resultado trata de lo siguiente: En general, si tenes una forma de volumen \Omega en una variedad compacta orientable M y consideras un difeomorfismo f:M\to M, entonces, podes definir otra forma de volumen f^\ast \Omega tal que se tiene

(f^\ast \Omega )(v_1, \ldots, v_n)= \Omega_{f(x)} (D_xf v_1, \ldots, D_x f v_n)

Evidentemente, el volumen total de la variedad es el mismo para ambas formas de volumen. El Teorema de Moser nos da el recíproco de esto:

Teorema (Moser) Sean \Omega_0 y \Omega_1 dos formas de volumen en una variedad compacta orientable M (de dimensión n) y tal que

\int_M \Omega_0 = \int_M \Omega_1

Entonces, existe un difeomorfismo f:M \to M tal que f^\ast \Omega_0 = \Omega_1. De hecho, el difeomorfismo se puede considerar isotópico a la identidad.


Pasamos a dar una prueba de este Teorema, basada en el Libro de Katok-Hasselblatt que es (sorprendentemente?) simple.

Consideramos la forma \Omega' = \Omega_1- \Omega_0 y a partir de ella definimos \Omega_t = \Omega_0 + t \Omega'. La idea es ir haciendo una isotopia \varphi_t desde la identidad que siempre tenga como pullback de \Omega_t a \Omega_0. Esto lo vamos a verificar derivando (\varphi_t)^\ast \Omega_t y viendo que se anula.

Para construir la isotopía, vamos a definir un campo variable X_t que se va a integrar pues M es compacta y darnos una isotopía \varphi_t.

Veamos que es lo que tiene que cumplir si queremos que (\varphi_t)^\ast \Omega_t sea constante (y que \varphi_0=id). Tenemos

\frac{d}{dt} (\varphi_t)^\ast \Omega_t = (\varphi_t)^\ast (\mathcal{L}_{X_t} \Omega_t) + (\varphi_t)^\ast \frac{d}{dt} \Omega_t

Esto se puede ver de la siguiente manera (mediante el viejo y querido truco de sumar y restar de la prueba de la regla de la cadena)

\frac{d}{dt} (\varphi_t)^\ast \Omega_t = \lim_s \frac{(\varphi_{t+s})^\ast \Omega_t - (\varphi_t)^\ast \Omega_t}{s} + \frac{(\varphi_{t+s})^\ast \Omega_{t+s} - (\varphi_{t+s})^\ast \Omega_{t}}{s}

Donde el primer termino corresponde a (\varphi_t)^\ast \mathcal{L}_{X_t} \Omega_t y el segundo a (\varphi_t)^\ast \frac{d}{dt} \Omega_t. Recordar que \mathcal{L}_v \omega = \lim_s \frac 1 s ((\phi^v_s)^\ast \omega- \omega) que obviamente conmuta con el pullback de formas.

Ahora, por una conocida formula que verifica la derivada de Lie, tenemos que

\mathcal{L}_{X_t}\Omega_t = i_{X_t} d\Omega_t + d(i_{X_t}\Omega_t)= d(i_{X_t}\Omega_t)

Pues la derivada exterior de una n-forma es nula.

Obtuvimos que

\frac{d}{dt} (\varphi_t)^\ast \Omega_t = (\varphi_t)^\ast d(i_{X_t} \Omega_t) + (\varphi_t)^\ast \Omega' = (\varphi_t)^\ast (d(i_{X_t} \Omega_t) + \Omega')

y por lo tanto, alcanza construir un campo X_t tal que d(i_{X_t}\Omega_t) = - \Omega'. Esto se puede hacer siempre y cuando \Omega' sea exacta ya que siendo \Omega_t una forma de volumen no degenerada tenemos que si \Omega' = d\theta entonces existe X_t tal que i_{X_t}\Omega_t = -\theta.

El hecho de que la forma \Omega' es exacta es consecuencia directa de que \int_M \Omega'=0 ya que una n-forma cuya integral total es nula es exacta. Esto no se me ocurre una forma elemental de verlo, pero si es claro en vista de que M es conexa y que por “dualidad”, la homologia de de Rham de dimensión n de M es \mathbb{R}.

Esto concluye la prueba del Teorema de Moser.

  1. Excelente, es lo de las medidas que hablábamos antes pero para formas!

  2. Si, esta bastante bueno. Al parecer, con este argumento (se le llama Moser’s Homotopy trick) de la homotopia se pueden probar varios otros resultados de formas, por ejemplo el Teorema de Darboux (de trivialización de formas simplecticas), o el Lema de Poincare de que localmente las formas cerradas son exactas.

    Otra observación es que si la variedad tiene borde (o es abierta) y las formas coinciden en un entorno compacto (disjunto del borde), entonces el diffeo queda la identidad fuera del compacto.

    Lo que hacen Anosov y Katok es utilizar este Teorema para ver que dado \epsilon > 0 tenes un difeo C^\infty que preserva area y que lleva una curva dada de la variedad en un conjunto \epsilon-denso en ella. Esto lo usan para probar que hay diffeos C^\infty que son ergodicos en cualquier variedad que por ejemplo admita una fibración por circulos modulo cero (eso es porque van tomando estos difeos que conmuten con rotaciones que hacen cada vez más “irracionales”).

  3. Qué es una fibración módulo cero? por el argumento parecería que esas variedad tienen que admitir acciones de círculo…?

    Otra cosa, el resultado ese de Anosov y Katok implica que esas variedades tenes difeos transitivos C^r cerca de la identidad para todo r?

  4. Si, tenes razón, es lo que decis vos, que admita una acción del circulo…. no se porque le invente ese nombre (quería decir que lo podes “descomponer” en círculos disjuntos que varian bien salvo un conjunto de medida cero).

    Si, en ese paper, Anosov y Katok de hecho prueban que esas variedades admiten difeos C^\infty que preservan Lebesgue, estan arbitrariamente cerca de la identidad y son ergódicos. Incluso, si sacas el punto fijo (que podes suponer es el cero), podes hacer que no haya puntos periódicos (de hechos, todos “giran” con el mismo numero de rotación).

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