Los seguidores de Manolo

Medida de los conjuntos hiperbólicos

In Sistemas Dinámicos on Sábado 8, mayo, 2010 at 4:47 pm

por Rafael Potrie

El ejemplo más conocido en el cual la diferenciabilidad de un sistema dinámico entra en juego es el bien conocido teorema de Denjoy, que dice que un difeomorfismo de clase C^2 del círculo que no tiene órbitas periódicas es topologicamente conjugado a una rotación irracional. El hecho que también se conocen ejemplos de difeomorfismos de clase C^1 que no tienen órbitas periódicas y sin embargo no son conjugados a una rotación irracional muestra como esa segunda derivada tiene que entrar en juego de forma crucial a la hora de probar el teorema.

Antes de enunciar lo que voy a probar, voy a dar una rápida definición: Si f: [-1,1] \to [-1,1] es una función C^1 (tal que f(\{0,1\}) \subset \{0,1\}), decimos que un conjunto compacto \Lambda \subset [-1,1]=I y f-invariante, es hiperbólico si se verifica que existen C,\lambda \geq 1 tales que |(f^n)'(x)| \geq \frac 1 C \lambda^n.

Ahora estoy en condiciones de enunciar el teorema, que espero por si solo explique porque tiene que ver con lo escrito en el primer párrafo.

Teorema Si f es de clase C^2 y \Lambda es un conjunto hiperbólico para f, entonces, se cumple que \Lambda tiene medida de Lebesgue nula.

Antes de hacer la prueba, que decidí postear pues no es muy difícil y me pareció que tiene algunas ideas que pueden ser bastante útiles, hay varios comentarios a realizar. Antes de ellos, comentar que recientemente me di cuenta que el libro de de Melo-van Strien de dinámica unidimensional esta público en la página de van Strien.

Antes que nada, hay que distinguir un poco este resultado del teorema de Denjoy. Si bien el resultado utiliza de forma fundamental el hecho de que f es C^2,  la conclusión es de diferente tipo que la del teorema de Denjoy: en este último la diferenciabilidad prohibe cierto tipo de dinámica desde el punto de vista topológico (es decir módulo conjugación por un homeomorfismo) mientras que el teorema que nos concierne, la diferenciabilidad permite mostrar que el conjunto hiperbólico tiene una cierta estructura geométrica (es decir, que tiene que ver con sus propiedades métricas).

Un resultado más en las lineas del de Denjoy para endomorfismos del intervalo (o del círculo) es el célebre Teorema de Mañe que muestra como la diferenciabilidad junto con el control de los puntos críticos son suficientes para obtener cierta hiperbolicidad (ver el libro de de Melo-van Strien por más información).

Otro comentario a mi gusto importante es que si bien se pueden hacer ejemplos de mapas C^1 con conjuntos hiperbólicos de medida positiva, este resultado (junto con un resultado de semicontinuidad de la medida de los conjuntos hiperbólicos) permite probar que para los mapas C^1 genéricos, la medida de los conjuntos hiperbólicos es cero!

(Rápido esbozo de prueba: La semicontinuidad se prueba fácilmente a partir de la existencia de una “continuación” de los conjuntos hiperbólicos que se puede ver no pueden “explotar”, es decir ganar mucha medida. A partir de eso, se obtiene un residual donde la medida varía continuamente y por lo tanto, como los mapas C^2 son densos en los C^1, podemos aproximar un punto de continuidad por difeomorfismos para los cuales la medida del conjunto es nula y por lo tanto, tenemos el residual que queremos).

Por último, quiero comentar que este teorema es válido en dimensiones mayores (por la definición de conjunto hiperbólico ver por ejemplo aqui) y juega un papel importante en la teoría de las medidas SRB (por Sinai, Ruelle y Bowen). De hecho, ellos prueban (separados y combinados) que un difeomorfismo Axioma A de clase C^2 verifica (entre otras cosas) que los finitos atractores atraen un conjunto de medida total de la variedad y por lo tanto necesitan saber que un conjunto hiperbólico de tipo silla tiene medida cero (Bowen da un contraejemplo en el caso que el difeomorfismo sea C^1 construyendo una herradura de medida positiva, no es dificil de hacer).

La prueba de eso para dimensiones mayores no va a ser tan diferente (de hecho, la prueba que damos aca en el caso unidimensional se aplica verbatim a estudiar la intersección de las variedades estables e inestables con el conjunto hiperbólico) salvo que utiliza una propiedad más fina de los difeomorfismos hiperbólicos de clase C^2 y es que estos poseen foliaciones estables e inestables absolutamente continuas (y esto permite decir que en ciertas variedades estables e inestables el conjunto se corta en medida positiva utilizando el teorema de Fubini).

Si bien no voy a escribir acerca de eso, vale la pena comentar que la continuidad absoluta de las foliaciones estables e inestables también es falsa cuando se quita la hipotesis de regularidad, de hecho, Robinson y Young construyen un difeomorfismo de Anosov en \mathbb{T}^2 cuyas foliaciones estables e inestables no son absolutamente continuas (de hecho, lo que hacen es ver que la herradura de medida positiva de Bowen se puede “meter” en un difeomorfismo de Anosov).

Queda aun abierta la muy importante pregunta de si el ejemplo de Robinson y Young se puede hacer para un difeomorfismo conservativo (esto implicaría que hay difeomorfismos de Anosov conservativos y NO ergódicos!, a pesar que el argumento que esbozamos arriba también permite rápidamente ver que, como los difeomorfismos de Anosov C^2 son ergódicos, que los difeomorfismos de Anosov C^1 genéricos si son ergodicos).

Pasamos ahora a la prueba del Teorema:

Demostración: Sea \Lambda un conjunto hiperbólico para f: [-1,1]\to [-1,1] un mapa de clase C^2.  Podemos suponer (mediante tomar un iterado de f que no afecta pues \Lambda es invariante y continuará siendo hiperbólico), que se verifica que para todo x\in \Lambda, tenemos que

|f'(x)| >\lambda >1

Esto nos permite, por continuidad de la derivada, considerar un entorno V de \Lambda tal que para todo x\in V se tenga también que  |f'(x)| >\lambda.

Probaremos primero que \Lambda no puede tener interior. Esto es simple ya que si contuviese un intervalo J, la longitud de su imagen crecería exponencialmente lo cual es absurdo. Esto es un poco más delicado, pero notar que si pensamos J como un arco parametrizado, lo que quiero decir es que la longitud como arco es la que crece y eso, dado que f^n(J) está contenido en el intervalo, lo obligaría a “plegarse” y por tanto poseer un punto crítico (que obviamente prohibe la hiperbolicidad).

Pausa “heurística”

La idea de la prueba es entonces la siguiente: el control de la continuidad de la derivada (que f sea C^2, o mismo C^{1+\alpha}) permite controlar la “distorsión” del mapa y por lo tanto, de alguna manera re-escalar lo que se ve en pequeña escala.

Voy a explicar esto un poco mejor: Si \Lambda tiene medida positiva, entonces, hay puntos de “densidad”, es decir, que a medida que nos fijamos en bolas más pequeñas, la medida del conjunto en ellas tiende a ser total (lo escribo más formal en breve). Ahora, la distorsión acotada, nos permite mandar estas pequeñas bolas en bolas de tamaño uniforme preservando esta “proporción” y de esa manera, encontrar un intervalo en el conjunto.

Continua la prueba

Como \Lambda tiene medida positiva, existe algun punto de densidad de Lebesgue, es decir, un punto a \in \Lambda tal que

\lim_{\delta\to 0}\frac{Leb(\Lambda \cap B(a,\delta))}{Leb(B(a,\delta))} = 1

Consideramos ahora \epsilon>0 tal que para todo x\in \Lambda, se tiene que B(x,\epsilon) \subset V.

Consideramos para cada \delta un entero positivo n= n_\delta que es el primer entero que verifica que Leb(f^n(B(a,\delta))>\epsilon (esto existe pues mientras sea menor que \epsilon, el mapa f tiene derivada mayor que \lambda>1 y por lo tanto expande).

Vamos a ver que entonces, el mapa f^{n} : B(a,\delta) \to f^n(B(a,\delta)) (que contiene un intervalo de longitud \epsilon) no tiene mucha distorsión, es decir, la derivada en todos los puntos es similar independientemente de \delta.

Esto quiere decir, que existe una constante K>0 independiente de \delta, tal que para todo x,y \in B(a,\delta) se tiene que \log \frac{|(f^n)'(x)|}{|(f^n)'(y)|} \leq K.

Por la regla de la cadena, tenemos

\frac{|(f^n)'(x)|}{|(f^n)'(y)|} = \sum_{i=0}^{n-1} (\log |f'(f^i(x))| - \log |f'(f^i(y))|

Observar que como f es de clase C^{1+\alpha}, tenemos que la función x\mapsto \log |f'(x)| es Holder con cierto exponente \beta, entonces,

\sum_{i=0}^{n-1} (\log |f'(f^i(x))| - \log |f'(f^i(y))| \leq \sum_{i=0}^{n-1} C|f^i(x) - f^i(y)|^\beta

y como n era el primer iterado donde se “salian” de V, obtenemos que

\sum_{i=0}^{n-1} C |f^i(x) - f^i(y)|^\beta \leq C \lambda^{(n-i)\beta} |f^n(x)-f^n(y)| \leq C \frac{\lambda^\beta}{\lambda^\beta -1} \epsilon

Probando nuestra afirmación.

Ahora, llamemos J_\delta = f^n(B(a,\delta) (donde n es como lo elegimos arriba), entonces, todos estos intervalos tienen longitud al menos \epsilon, entonces, tomando \delta_n\to 0, obtenemos un intervalo límite J_0. Vamos a mostrar que \Lambda es denso en J y por lo tanto, como \Lambda es cerrado, tiene que ser todo el intervalo.

Como f^n(\Lambda \cap B(a,\delta)) \subset J_\delta \cap \Lambda por la invariancia, obtenemos:

(si no se bien la formula de arriba, hacerle click encima)

Ahora, la distorsión acotada, nos da que existe C_1 (que no depende de \delta) tal que

\frac{Leb(f^n(B(a,\delta)\backslash \Lambda))}{Leb(f^n(B(a,\delta)))} \leq C_1 \frac {Leb(B(a,\delta)\backslash\Lambda)}{Leb(B(a,\delta))}

Y por lo tanto, obtenemos que Leb(J_\delta \cap \Lambda) Leb(J_\delta)^{-1} \to 1 con \delta \to 0. Esto implica que \Lambda tiene medida total en J y por lo tanto es denso, probando que \Lambda tiene un intervalo lo cual vimos implica una contradicción.

  1. Excelente Gordo!!

    Primero un comentario: el libro de Welington y Sebastian está disponible porque se viene la segunda edición. Por lo que sé, la parte de renormalización ha sido reescrita por completo, bien en la línea de lo que Lyubich habló en Búzios.

    Volviendo a la teoría ergódica, el teorema que probaste implica, en particular, que el no-errante de un Axioma A C^2 tiene medida de Lebesgue cero (pues consta de una cantidad finita de órbitas atractoras, y el complemento de sus cuencas que es expansivo, y se aplica tu teorema). Por lo tanto, ninguna medida invariante podría ser absolutamente continua respecto a Lebesgue (pues el no-errante tiene medida total por el teorema de recurrencia de Poincaré).

    Como es sabido en dimensión uno los Ax A son (abiertos y) densos en cualquier topología C^r, sin embargo el fenómeno estocástico no es despreciable del punto de vista métrico: en cualquier familia genérica a un parámetro de mapas analíticos unimodales hay un conjunto de medida positiva que admite una medida invariante absolutamente continua (estas medidas siempre son ergódicas y por lo tanto SRB, tienen además exponente de Lyapunov positivo así que tienen entropía métrica positiva). Esto fue probado por Jakobson para la familia cuadrática, y fue extendido luego a cualquier familia genérica por Avila, el propio Lyubich y Welington.

    Se prueba además que con probabilidad total en el parámetro o sos Ax A o sos estocástica (dicotomía regular o estocástica). Esto fue probado por Lyubich para la familia cuadrática, y extendido a cualquier familia genérica por Avila, Lyubich y Welington en el mismo trabajo.

    Un cuento que roza la mentira: para hacer esa transferencia de información (de la familia cuadrática a cualquiera genérica) se construye una laminación en el espacio de las aplicaciones unimodales del intervalo. La laminación es por subvariedades de Banach de codimensión uno tales que la familia cuadrática es transversal a todas. Las hojas son clases de conjugación pero conjugaciones hibridas (idea de Douady y Hubbard: conjugación por homeos quasiconformes que son conformes ctp en el julia lleno de las extensiones holomorfas correspondientes).

    Acá se engancha con lo que decías de foliaciones absolutamente continuas: sería bueno transferir la información a través de la holonomía de la laminación, sólo que la holonomía no es nada buena (no es BV, esto lo probaron Artur y Gugu, tipo aquel artículo en el que Milnor describía un ejemplo de Katok, se acuerdan?).

    Por eso el artículo (Avila, Lyubich, de Melo) es bien mas difícil, je je, abrazo!!

  2. Pablito nomas!, jua, ya escribiste tu primera entrada, pero en los comentarios!.

    Che, y esa prueba de Jakobson, esta muy salada? Podrias hacer una entradita y deleitarnos. Te corregi el latex, me olvide de decirte que hay que dejar un espacio despues de poner $latex antes de poner la formula (es una cagada). Sino, hay un programita aca http://lucatrevisan.wordpress.com/latex-to-wordpress/

    • La prueba de Jakobson es bastante técnica. Si querés quedarte con la intuición agarrá el capítulo 2 del Bonatti-Díaz-Viana, ahí explican bien todo lo que escribí en el comentario, llegando incluso a los trabajos de Avila con Gugu que te decía al final.

  3. Tas con toda Guarino!!! Bo, porque no te escribís un texto medio introductorio sobre estas cosas que venís hablando en los comentarios?? tiene pinta pero me cuesta bastante seguirte.

  4. Tampoco sé mucho de eso Sambita, je je, puro chamullo.

    Capáz que trato de estudiar la prueba de Jakobson por ejemplo.

    Siguiendo un poco con eso del Gordo de cómo la dinámica percibe las pequenhas diferencias entre un mapa C^r y uno C^{r+1} está el hecho de que C^1 genéricamente (en cualquier variedad compacta) no existen medidas invariantes absolutamente continuas (Avila y Bochi, creo…), lo cual contrasta, por ejemplo, con el hecho de que un mapa expansor C^{1+\alpha} en alguna infra-nil-variedad siempre admite una.

    Abrazo.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: