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Una conjetura de escape hiperbólico

In Grupos y geometría, Probabilidad y Estadística, Sistemas Dinámicos on Lunes 17, mayo, 2010 at 12:04 pm

por Pablo Lessa

Voy a presentarles una idea que tengo para un teorema en sistemas dinámicos.  La idea es conseguir un análogo a algunas cosas que pasan en paseos al azar en “espacios grandes”.   Obviamente, además del hecho de que lo que digo va estar por necesidad “mal formulado”, también hay una gran chance de que directactamente la idea sea mala, o algunas de las cosas que digo esten mal.  Por eso mismo me parece interesante discutirla con el resto del coloquiooleis, si estan interesados.

Paseos en el Disco Hiperbólico

Si tomamos un paseo al azar en el disco hiperbólico \mathbb{D} obtenemos una curva \alpha: [0,+\infty) \to \mathbb{D} que con probabilidad 1 cumplirá:

\lim_{t \to +\infty}\frac{d(\alpha(0),\alpha(t))}{t} = R > 0

La existencia del límite es una consecuencia del teorema ergódico subaditivo de Kingman, mientras que el hecho de que la velocidad de escape es positiva según tengo entendido se debe a Pratt y data de principios de la década del 70.

Intuitivamente lo que pasa es que estamos considerando un paseo al azar en un espacio “muy grande” y el resultado es que nos alejamos a una velocidad positiva de nuestra posición inicial.

Paseos en Grupos No-promediables

Otra situación en la que se cumple un teorema análogo es la siguiente.  Se considera el grupo libre \langle a,b\rangle en dos generadores.  Si se toma una sucesión de letras al azar g_1,\ldots, g_n,\ldots en forma independiente en el conjunto \{a,b,a^{-1},b^{-1}\} (supongamos por ejemplo que cada letra tiene probabilidad 1/4) entonces el producto x_n = g_1\cdots g_n tendrá casi seguramente una longitud que crece a una velocidad positiva con respecto a n.  El motivo es que en cada paso hay 3 letras que nos llevan un paso más lejos de la identidad del grupo mientras que una única letra nos acerca.

Generalizando este ejemplo, un teorema de Guivarc’h de la década del ’80 dice que en un grupo no promediable los paseos al azar tienen velocidad de escape positiva.

Flujos en Espacios Hiperbólicos

Una pregunta recurrente para mi este año es la siguiente:  ¿Existe un análogo a estos resultados para sistemas dinámicos deterministas?

Consideremos por ejempo un flujo \phi: \mathbb{R}\times M \to \mathbb{R} que preserva volumen donde M es el bitoro con la métrica hiperbólica.  Para casi todo punto x si levantamos su órbita al disco hiperbólico obtenemos una curva \alpha: \mathbb{R} \to \mathbb{D} tal que el siguiente límite existe (por el teorema de Kingman):

\lim_{t \to +\infty}\frac{d(\alpha(0),\alpha(t))}{t} = R

La siguiente idea me la dió el Samba:  Eligiendo un dominio fundamental D del cubrimiento y considerando para cada natural n la transformación de cubrimiento g_n tal que \alpha(n) \in gD se obtiene una suerte de paseo al azar en el grupo fundamental del bitoro (podemos pensar que lo que elegimos al azar fué el punto inicial x \in M con la medida de volumen).  El grupo fundamental del bitoro es no promediable y por lo tanto la situación es análoga al teorema de Guivarc’h.

El problema es que los g_n no son el producto de elementos independientes del grupo.  Además, si el flujo es la identidad tenemos g_n = 1 para todo n.

Observando que los paseos al azar son altamente ergódicos/mixing/etc, puede ser que para que la analogía sea válida haya que agregar alguna hipótesis de este tipo sobre el flujo.

¿Será verdad que todo flujo ergódico que preserva volumen en el bitoro tiene velocidad de escape positiva en el levantado?  La respuesta parece ser negativa, porque existen flujos ergódicos que preservan la medida de Lebesgue en una bola cerrada y valen la identidad en el borde (¿alguien tiene alguna referencia para esto, o puede confirmar si  es verdad?).  Pegando el borde de la bola en forma adecuada se obtienen variedades hiperbólicas y flujos que dan contraejemplos (está también la cuestión técnica que el volumen preservado debería ser el hiperbólico y no el que viene de Lebesgue en la bola, pero pienso que esto puede arreglarse).

En un extremo de buena ergódicidad están los flujos de Anosov, que poseen particiones de Markov.  Para flujos de Anosov de codimensión 1, Alberto Verjowski me explicó que los levantados de las órbitas están propiamente encajadas, lo cual significa que las órbitas se van a infinito.  ¿Lo hacen con velocidad positiva?

En el mejor de los casos el resultado de esta investigación podría terminar siendo un teorema de este tipo:

“Teorema”: Sea \phi: \mathbb{R}\times M \to M un flujo conservativo en una variedad compacta “grande” (= ¿grupo fundamental no promediable? o ¿hiperbólica?).  Si \phi es “suficientemente mezclante” entonces en el levantado casi toda órbita tiene una velocidad de escape positiva.

¿Que opinan?

  1. Muy interesante!. Ojalá pinte discusión.

    Sobre los flujos en el disco ergodicos que sean la identidad en el borde, es cierto pero obviamente en dimensión mayor o igual a 3 (en dimensión 2 Poincare-Bendixon prohibe eso). Una referencia (para difeos en el disco de dimensión 2) es el Paper de Katok “Bernoulli Diffeos on surfaces” que esta en el Annals (tipo 1980).

    Para flujos, esta http://www.math.psu.edu/pesin/papers_www/hpt.pdf donde se prueba que toda variedad admite un flujo bernoulli… no se si la construcción pasa por hacerlo primero en el disco… pero bueno, tiene que ver.

    Despues, sobre tu pregunta…. que se sabe? tenes una referencia de lo de Guivar’ch (o como se escriba).

    En superficies? Ahi tiene pinta que es cierto, salvo que hay pocos flujos conservativos (je).

    En dimensión más grande, habría que ver bien que hipotesis poner, a primera vista parece que es super posible mezclar sin “alejarse”. Esta buena la hipotesis de que la variedad sea “grande”.

    Por ejemplo, para flujos de Anosov: el hecho que se vayan a infinito y que no tenes singularidades, puede alcanzar para probarlo no? Una variedad encajada propiamente, no verifica que la distancia en la variedad es “comparable” modulo una constante fija a la distancia global? Al menos teniendo en cuenta que en los dominios fundamentales las cosas son “todas iguales”.

  2. Buenaso el comentario gordo.

    Respecto a lo último, una recta encajada parametrizada por longitud de arco puede irse a infinito lento. Por ejemplo en el plano:

    t \mapsto t\exp(i\log(t))

  3. ¿Quizás como es el levantado de una curva recurrente se puede arreglar?

  4. Bo, pero si el campo no tiene singularidades (abajo, en la variedad) la velocidad de las orbitas tiene un mínimo >0, me parece que eso implica que en cubrimiento universal (que todo es localmente igual) también, no?

  5. No entendí una cosa…. al parecer, para ese ejemplo que das, no existe el límite, puede ser? Pero el límite parecería ser “positivo” (i.e. se acumula en todo el círculo).

    Si pusieras \sqrt t exp(i \log(t)) ahi cpaz anda, pero no hay chance que sea el levantado de alguien porque la velocidad “va a cero” en infinito… puede ser?

    Otra cosa en el caso Anosov, es que me suena como que no puede haber orbitas periódicas homotópicamente triviales…. para esos puntos, tenes escape rápido entonces. Por otro lado, usando que siempre podes sombrear una órbita por una periódica en el cubrimiento…. en una de esas eso sirve para el caso Anosov.

  6. Sambita: Sí, en el cubrimiento tienen velocidad acotada por abajo. Lo que está en duda es que la “velocidad de escape a infinito” sea positiva. Una cosa no implica la otra porque la curva podría tener velocidad 1 y estar acotada por ejemplo.

    Gordo: Tenés razón que le erré. Que te parece \alpha(t) = 2\sqrt{t}\exp(i2\sqrt{t}). Tiene velocidad radial 1/\sqrt{t} y por lo tanto la velocidad de escape es cero. Por otro lado la velocidad angular también es 1/\sqrt{t} y eso implica que la velocidad tangencial (= angular por radio) vale siempre 2.

    Creo que la idea de usar el Shadowing Lemma es buena.

  7. Ah, ya entendí, vos querés saber si muchos puntos se van a infinito?? porque si lo hacen, lo hacen con velocidad positiva por lo que yo decía no? también está el tema de comparar la longitud de la curva con la distancia en el cubrimiento, dependerá de cuanto se enrolle la órbita en la variedad.

    Hay una cosa que se puede hacer que es como un vector de rotación pero homotópico en vez de homológico. Esto me lo contó la Jules una vez:

    Agarras una órbita y cuando vuelve cerca la cerras y te fijas la única geodésica cerrada en esa clase de homotopía. Eso en definitiva te da una suceción de elementos del grupo fundamental de la variedad, (ahora que lo pienso es parecido a lo que decia el pelado). Ese elemento del \pi_1 tiene unicamente dos puntos fijos en el infinito. Entonces te podes fijar si esos dos puntos convergen: si convergen a puntos distintos te aparece una geodésica (no necesariamente cerrada) que mejor acompaña a tu órbita. Si son el mismo tas cagao.

  8. Sambita: Pueden tener velocidad acotada por abajo, ir a infinito, pero igual no ir a infinito con velocidad positiva. Lo que importa es que la velocidad “radial” esté acotada por abajo por ejemplo. Creo que el ejemplo que dí en la anterior funca bien, tiene velocidad radial que va a cero, pero la velocidad está acotada por abajo (mucha velocidad angular).

  9. Buen ejemplo…. buena idea la de meter velocidad tangencial. Esto, en dimensión dos me juego a que no puede pasar, pero en dimensión más grande tiene toda la pinta de que si.

    Igual, en el caso Anosov, módulo probar que no puede haber orbitas periódicas nulhomotopicas (que me suena que no puede haber, estoy seguro que en el caso de flujo geodésico no hay). Además, estas suponiendo que preserva volumen, asi que es transitivo el Anosov y tenes orbitas periódicas que van a tener necesariamente una velocidad acotada por abajo y que casi toda orbita es acompañada por una periodica por un buen rato.

    Estaría bueno pensar un ejemplo de un flujo (lo mas “mezclador”) posible que tenga una órbita que se levante a algo asi como tu \alpha(t). Hay una técnica rendidora que es el método Anosov-Katok, se que con eso hacen difeos del toro isotopicos a la identidad que se levantan a cosas transitivas (y por lo tanto tienen bastante recurrencia en el levantado) o mismo ergodicas o weak-mixing.

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