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Reparametrizaciones de flujos de Anosov

In Sistemas Dinámicos, Topología on Miércoles 19, mayo, 2010 at 4:56 pm

por Andrés Sambarino

Si tenemos un flujo \phi_t:M\circlearrowleft y una función estrictamente positiva y contínua f:M\to\mathbb R podemos reparametrizar el flujo \phi usando f de la siguiente manera: Sea \alpha:M\times \mathbb R\to\mathbb R dada por

{\displaystyle \alpha(x,t)=\int_0^t f(\phi_s(x))ds.}

Para cada x, \alpha(x,\cdot) es un difeo creciente de \mathbb R. Tenemos así una inversa l:M\times\mathbb R\to \mathbb R tal que \alpha(x,l(x,t))=l(x,\alpha(x,t))=t. Definimos entonces el flujo reparametrizado

\psi_t(x)=\phi_{l(x,t)}(x).

El flujo \psi_t verifica que los períodos de una órbita periódica \gamma es {\displaystyle \int_\gamma f\phi_t(p)dt} y podría decirse que de ahí viene el interés de reparametrizar. Consideramos por ejemplo la suspensión de un difeo de Anosov. Tenemos \sigma:X\to X Anosov y g:X\to\mathbb R continua y positiva. Consideramos  la traslación {\displaystyle \phi_t:X\times\mathbb R /_{\left<\hat g\right>}\circlearrowleft } donde \hat g(x,t)=(\sigma x,t-g(x)). Este flujo es topologicamente mixing siempre que el grupo generado por los períodos de las órbitas periódicas

\{período de \gamma, \gamma-órbita periódica de \phi\}

sea denso en \mathbb R. La prueba se basa en mostar que la variedad inestable de un punto periódico p es densa, despues se termina parecido al caso de difeos. Para ver que la variedad inestable (fuerte) de p es densa entra en juego la historia del grupo generado por los períodos de esta manera:

Observación. Dado otro punto periódico q tal que W^u(p)\cap W^s(q)\neq\emptyset queremos ver que W^u(p) acumula en toda la órbita de q.

Consideramos t\in\mathbb R y queremos ver que la inestabe de p acumula en \phi_t(q): llamamos \lambda(p) el período de p, consideramos a_n,b_n \to\infty enteros tales que

a_n\lambda(p)-b_n\lambda(q)\to t.

Consideramos entonces z\in W^u(p)\cap W^s(q), es claro que \phi_{a_n\lambda(p)}\in W^u(p) y

{\displaystyle d(\phi_{a_n\lambda(p)}(z),\phi_{a_n\lambda(p)}(q))\to 0}

cuando n\to\infty. Ahora, como q es periódico tenemos que q=\phi_{b_n\lambda(q)}(q) y entonces d(\phi_{a_n\lambda(p)}(z),\phi_{a_n\lambda(p)-b_n\lambda(q)}(q))\to 0 y así \phi_{a_n\lambda(p)}(z)\to\phi_t(q).

\square

El tema con la suspensión es que se puede reparametrizar \phi para obtener la suspensión de \sigma via una función constante. En este caso el grupo generado por los períodos es un subgrupo de \mathbb Z y el flujo no es mixing. Lo interesante de todo esto es que podemos poner una condicion “topológica” sobre un flujo de Anosov para prohibir lo que acabamos de hacer.

Definición. Decimos que un flujo es homologicamente completo si en cada clase H_1(M,\mathbb Z) mod torsion existe una órbita periódica. La ventaja de la definición es que no depende de la parametrización de flujo. La desventaja es que, si no fuera por el siguiente teoremaso, sería imposible de verificar.

Teorema[SharpSchwartzman] Un flujo de Anosov transitivo es homologicamente completo si y solo si no es una suspensión de un difeo de Anosov.

Me gustaría comentar algo sobre la prueba de este teorema porque aparecen un conceptos que están buenos, igual lo difícil quedará para después. Dadas una 1-forma \omega y una medida \phi-invariante \mu definimos el winding cycle como

{\displaystyle \Phi_\mu(\omega)=\int_M\omega(X)d\mu}

donde X es el campo del flujo \phi. Si tenemos una 1-forma exacta dF con F:M\to\mathbb R entonces dF(X) es la derivada de F en la dirección del flujo \phi. Es claro entonces que {\displaystyle \int_\gamma dF=0} para cualquier órbita periódica \gamma. Como para flujos de Anosov cualquier medida invariante se aproxima por combinaciones convexas de órbitas periódicas, tenemos \Phi_\mu(dF)=0 cualquiera sea \mu y así obtenemos un mapa lineal \Phi_\mu:H^1(M,\mathbb R)\to\mathbb R.

Proposición.[Schwartzman] El flujo \phi es una suspensión si y solo si existe una 1-forma \xi tal que \phi_\mu(\xi)> 0 para toda \mu \phi-invariante. Mas aún, si \phi no es una suspensión entonces existe \mu tal que \Phi_\mu\equiv 0.

Obrsevacion. Esta proposición está diciendo en cierto sentido que en una suspensión las clases de homología de las órbitas periódicas están en uno de los semiespacios determinados por \xi (recordar que H_1\simeq\mathbb{R}^d). Esto es fácil de ver usando una caracterización de H^1(M,\mathbb Z) como

\{\textrm{homotop\'ia de funciones }\psi:M\to S^1\}.

Una suspensión te da una fibración de base el círculo, o sea una función sobreyectiva \xi:M\to S^1, y es fácil ver que las órbitas periódicas del flujo siempre dan “vueltas“ en la dirección de \xi. Para terminar enunciamos la proposición que junto con la anterior implicarian el teorema:

Proposición.[Sharp] Un flujo de Anosov transitivo es homologicamente completo si y solo si existe una probabilidad invariante de soporte total \mu tal que \Phi_\mu\equiv0.

Lo curioso de esta proposición es que para probar que \Phi_\mu\equiv0\Rightarrow homologicamente completo, primero se calcula el numero asintótico de órbitas en una clase de homología dada, y esto implica que al menos hay una… Estaría bueno ver si se puede encontrar una forma directa de hacerlo.

  1. Cuando decis que el Teorema ese de lo “homologicamente completo” da una condición topológica para no poder hacer algo que haces con la suspensión. Que es ese algo? Lo de reparametrizar y que no quede mixing? O lo de tener que el grupo generado por los periodos sea grande, u otra cosa? No me quedo claro que es ser “homologicamente completo” y que te daría (además de muchas órbitas periódicas “diferentes”).

    Dps lo que no entendi bien es cual es la 1 forma esa que decis que funciona bien para las suspensiones.

    Arriba

  2. Lo que digo es que un flujo homologicamente completo siempre es topologicamente mixing, entonces cuando reparametrizas sigue siendo mixing, porque sigue siendo homologicamente completo.

    Igual no encontré una prueba “facil,“ de que fueran mixing, estuve pensando que necesariamente el grupo generado por períodos es denso, pero no salió.

    Lo de la cohomología para la suspensión: el tema es que hay que usar una identificación del grupo de cohomología con coeficientes enteros H^1(M,\mathbb Z) con {clases de homotopía de mapas de M en el círculo} (este se llama el grupo de Bruschlinsky, me parece que estaría bueno entender esta identificación porque es una forma bastante “visual“ de la cohomología primera).

    Volviendo a la suspensión: Lo mejor es dibujar la suspensión de costado en vez de para arriba. En este caso hay naturalmente una función de M en el círculo, porque
    M=\Sigma\times \mathbb R/\simeq,
    acá la proyección \eta:M\to S^1 sobre el segundo factor queda bien definida (no así en el primero).

    Ahora podes hacer dos cosas, decís que H^1(M,\mathbb Z) metido en H^1(M,\mathbb R)) por alguna razon misteriosa y entoces ya está, o podes decir lo siguente:

    considero la diferencial d_p\eta, esta tranasformación cae, a priori, en T_{\eta(p)} S^1, pero como el fibrado tangente del círculo es trivializable podemos entonces pensar d\eta como una 1-forma y esta es la forma que buscas.

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