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Volumen, Entropía, Exponentes de Lyapunov.

In Sistemas Dinámicos on Viernes 21, mayo, 2010 at 5:51 am

por Rafael Potrie

Lo que voy a postear tiene que ver con algo que estoy pensando hace ya un tiempo (sin mucho éxito). La motivación, son un conjunto de Teoremas que de alguna manera relacionan las palabras que aparecen en el título.

Uno de ellos, la “desigualdad de Ruelle”, afirma que la entropía de un difeomorfismo C^1 respecto a una medida invariante \mu es menor o igual que la integral de los “exponentes positivos” para la medida.

Una especie de recíproco, conocido como la “igualdad de Pesin”, afirma que si el difeomorfismo es de clase C^{1+\alpha} y si la medida \mu es absolutamente continua respecto a Lebesgue, entonces se verifica una igualdad.

Por último, hay una relación (a mi entender), entre estos resultados y los de Yomdim y Newhouse, que relacionan (o acotan) la entropía de un difeomorfismo (muy diferenciable, digamos C^{\infty}) con el crecimiento de los volumenes k-dimensionales en una variedad (es decir, fijar una k-variedad, iterarla y ver como se agranda su “volumen” k-dimensional)

Yo estoy interesado en ver que tanto se pueden simplificar las pruebas de estos teoremas (que no conozco) cambiando por resultados más cualitativos.  El objetivo de este post es formalizar este interés y contar por qué me parece plausible hacerlo (y en una de esas, si tengo suerte, que quede claro el por qué me parece de interés).

(1.1) Lo primero que voy a hacer es introducir los conceptos a ser utilizados.  Para mostrar una de las razones por las que estoy interesado en conseguir estos nuevos enunciados, voy a enunciar los resultados que intentamos “particularizar” (en contraposición a “generalizar”) y poner en rojo los elementos que no definimos y cuya definición no solo es difícil sino que requiere teoría.

Para un difeomorfismo de una variedad f:M \to M que preserva una medida \mu le llamamos exponente de Lyapunov maximal al valor siguiente

\lambda^+(\mu) = \inf_{n\geq 1} \frac{1}{n} \int_M \log \|Df^n\|d\mu

Este infimo, es de hecho igual al límite como se puede ver a partir de una propiedad simple de las sucesiones subaditivas (ver el comentario de Pablito abajo). De hecho, se puede ver que las funciónes 1/n \log \|Df^n\| convergen c.t.p.  utilizando el Teorema Subaditivo de Kingman (pero que estaría bueno no utilizar, igual, tenemos una prueba de Pablito en su blog).

Esto va en contraposición a definir todos los exponentes de Lyapunov que requiere bastante teoría (en particular, el Teorema de Oseledet).

Lo otro que necesariamente vamos a utilizar, es la entropía. La entropía topológica es tratada en este post. La entropía métrica tiene (al igual que la topológica) una definición bastante involucrada, ambas se avocan a “medir”, cuantitativamente la “complejidad” de la dinámica (por una definición, hacer click aquí). De alguna manera, la entropía topológica estudia la dinámica completamente, y la métrica con respecto a una medida invariante. El Principio Variacional, muestra que la entropía topológica es el supremo de las entropias métricas con respecto a todas las medidas invariantes.

Para un difeomorfismo f:M\to M, denotaremos h_{top}(f) a su entropía topológica, y si f preserva una medida \mu, denotaremos como h_{\mu}(f) a su entropía con respecto a dicha medida.

(1.2) Ahora, vamos a enunciar el teorema que queremos “particularizar”.

Teorema (Ruelle-Pesin) Sea f: M\to M un difeomorfismo de clase C^1 y \mu una medida invariante, entonces:

1)(Ruelle) Se cumple que h_{\mu}(f) \leq \int \xi d\mu donde \xi(x)= \sum_{\lambda_j(x)\geq 0} \lambda_j(x) dim(E_j) con \lambda_j son los exponentes de Lyapunov y E_j sus espacios de Oseledets.

2)(Pesin) Si f es C^{1+\alpha} y \mu es absolutamente continua con respecto a Lebesgue, entonces, h_{\mu}(f) = \int \xi d\mu.

Notar que los exponentes de Lyapunov (que tienen que ver con el exponente de Lyapunov maximal que definimos arriba) tienen bastante que ver con el crecimiento de los volumenes de algunas subvariedades.

Otra cosa a tener en cuenta, es que la desigualdad de Ruelle, no puede ser en general una igualdad (considerar el ejemplo trivial de un punto fijo silla hiperbólico, que tiene exponentes positivos pero la entropía de dicha medida es trivialmente cero -mismo sin haber definido entropía métrica-).

El C^{1+\alpha} para la igualdad de Pesin no me queda claro si es una hipotesis necesaria. Es natural, pues en general, los difeomorfismos de clase C^1 solamente, no se portan muy bien con la medida de Lebesgue (pero quizas es cierto un enunciado del tipo medida de soporte total sin atomos? ni idea…. de repente estoy tirando bolazo y hay contraejemplos).

Estos teoremas estan bien enunciados (y bien demostrados, creo) en el Libro de Mañe de Teoría Ergódica.

No voy a extenderme en la relación con el volumen, pero se puede decir que los resultados de Newhouse y Yomdim se pueden considerar análogos a los de Ruelle y Pesin (respectivamente) solo que teniendo en cuenta el crecimiento de volumen de ciertas dimensiones. El resultado de Newhouse dice que si la entropía es positiva entonces hay crecimiento exponencial de algun volumen, y recíprocamente, el de Yomdim da el recíproco para mapas C^{\infty} y le permite probar la conjetura de entropía para esta clase de difeomorfismos.

(1.3) Voy a enunciar el resultado (obviamente menos general) del cual me gustaría tener una prueba más sencilla que la de los anteriores (puede ser difícil definir que es más sencilla dado que no conozco las pruebas de los de arriba, pero por su carácter fuertemente cuantitativo, me imagino que una prueba cualitativa de esto debe ser más simple).

Teorema Supongamos que un difeomorfismo f:M\to M tiene entropía positiva, entonces, existe una medida invariante con exponente de Lyapunov maximal estrictamente positivo. “Reciprocamente”, si f es C^{1+\alpha} y  admite una medida invariante con exponente de Lyapunov maximal estrictamente positivo, entonces, la entropía topologica de f es positiva.

Aca, el C^{1+\alpha}  capaz se puede cambiar por una especie de medida de soporte total sin atomos y difeomorfismo de clase C^1 (pero quizas hay contraejemplos, no se). De todas maneras, muchas veces lo C^{1+\alpha} es útil.

Me parece que este resultado, si bien mucho menos general que el que enunciamos antes, capta la escencia en la relación entre la entropía y los exponentes de Lyapunov. La relación con el Volumen, espero que quede claro cuando exponga las “ideas” que quiero plantear para pensar la prueba de esto.

(1.4) Para terminar la “Introducción”, voy a contar un poco lugares donde aparecen naturalmente estos resultados (y con eso mostrar el interés que tienen más alla de sus propios enunciados).

La desigualdad de Ruelle, es utilizada, por ejemplo, para probar un resultado debido a Katok, que dice lo siguiente: Sea f un difeomorfismo de clase C^{1+\alpha} de una superficie que tiene entropía positiva. Entonces tiene una herradura (en particular, infinitos puntos periódicos hiperbólicos).

La formula de Pesin, por otro lado, dice que en general, si se tiene un difeomorfismo que preserva volumen y un conjunto abierto con exponentes de Lyapunov positivos, entonces, hay entropía positiva.  Personalmente, me pareció interesante al ver un ejemplo construido por M. Herman, de un difeomorfismo analítico y minimal que tiene entropía positiva (la prueba que tiene entropía positiva pasa por ver -de forma bastante simple- que hay exponentes positivos y preserva medida). Espero algún dia presentar ese ejemplo (que en realidad fue el que me motivo a pensar estas cosas, ya que me gustaría poder hacer una presentación sin muchos prerequisitos del mencionado ejemplo).

Naturalmente, resulta (al menos para mi) más interesante la igualdad de Pesin que la desigualdad de Ruelle ya que en general la entropía es algo con interés intrínseco de conocer, mientras que los exponentes de Lyapunov, generalmente son una herramienta (de hecho, como a veces es más fácil ver que hay exponentes positivos que mostrar que la entropía es positiva es que digo que la igualdad de Pesin me resulta más interesante).  Una excepción a este “principio” es la prueba del Teorema de Katok que mencione arriba, que utilizando la positividad de la entropía, encuentra exponentes positivos que a su vez le permite construir las herraduras mencionadas.

(2.1) Voy a intentar esbozar lo que me parece puede dar una prueba de que la entropía positiva de una medida invariante con exponentes positivos.

Esto me parece que es medio natural y voy a explicar porque. Igual le falta para ser una prueba.

La idea es que tener entropía positiva implica que fijado \epsilon y una bola de radio \epsilon, para n suficientemente grande, se cumple que hay a^n (con a>1) puntos en la bola que se mapean por un iterado de f (menor que n) en puntos a distancia mayor que \epsilon.

En el caso de dimensión 1 (que no puede ser un difeomorfismo, pero bue… se entiende), tenemos puntos a distancia menor que \epsilon/(a^n) que se mapean (en menos de n iterados) a puntos a distancia mayor que \epsilon. Usando el teorema de valor medio, vemos que hay un punto donde la derivada de f^n (o un iterado menor) es mayor que a >1. Esto da el resultado para el caso de dimensión uno…. me imagino que esto se tiene que poder adaptar (pero bue… no lo se hacer).

(2.2) En el caso de tener una medida absolutamente continua voy a explicar porque me parece que esto tiene que admitir una prueba “cualitativa”.

(2.2.1) Voy a hacer la prueba de que un endomorfismo expansor tiene entropía positiva. Es decir, consideramos f:M\to M de clase C^1 tal que \|Df_x\|>1 para todo x\in M. Obtenemos entonces, que existe n_0 tal que todo conjunto I (arcoconexo) de diametro mayor que \epsilon, verifica que f^{n_0}(I) tiene diametro mayor que 4\epsilon.

Consideramos entonces un arco de diametro \epsilon. Iterandolo n_0 veces obtenemos al menos dos arcos de diametro \epsilon disjuntos. Haciendo esto reiteradas veces, obtenemos un crecimiento exponencial de puntos separados, lo cual nos asegura la positividad de la entropía topológica.

Un argumento similar se puede hacer por ejemplo en el caso Anosov, si consideramos un intervalo que no sea estable, va a tener las propiedades de expansión que utilizamos arriba.

(2.2.2) Como hacer para extender esto a nuestro caso, no se!, pero bueno, hay algunas posibles ideas: La gracia de lo que hice arriba, fue tomar un arco, en vez de un conjunto cualquiera (como es expansor, podia tomar cualquier subvariedad, incluso bola, y eso se iba a expandir -aca va una relación con el crecimiento del volumen-). En nuestro caso, tenemos exponentes positivos, entonces, si agarramos un intervalo (con alguna transversalidad) y lo iteramos, se va a “hacer paralelo” a la dirección de mayor expansión, y por lo tanto, expandirse.

Ahora, hay varios problemas: Para empezar, no son todos los puntos donde las cosas se expanden, pero al menos son casi todos respecto a Lebesgue (eso nos dice que son bastantes). Esto nos permite considerar un pequenho entorno “tubular” de un intervalo para iterar. Asi, siempre vamos a tener un arquito que tenga un punto con exponentes positivos. Creo que así, se podría llegar a saltar esta “dificultad”.

El siguiente problema, es un poco más grave, y creo que ahi puede ser “útil” la continuidad Holder de la derivada. El problema es que en el caso uniformemente expansor, el tamaño \epsilon del intervalo que tomabamos, era uniforme!, eso se debía a la expansión uniforme. En el caso que tratamos ahora, esto no se verifica, entonces, tenemos que “estimar” el tamaño que podemos considerar. Una posible ayuda para resolver esto es utilizar que siendo la derivada Holder continua, podemos estimar un entorno donde la derivada es similar a la del punto. Esto es muy vago, si algún día me sale, intentaré escribirlo aquí.

  1. No precisás Kingman para decir que \frac{1}{n}\int \|Df^n\|\mathrm{d}\mu tiende al ínfimo. Usas algo elemental que se llama el lema de Fèkete (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Subadditivity).

    El lema dice que si una sucesión de reales cumple x_{n+m} \le x_n + x_m entonces \lim_{n}x_n/n = \inf_n x_n/n.

  2. Tenes toda la razón. Ya lo corrijo. Gracias.

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