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De la geometría a los grupos: Espacios simétricos

In Grupos y geometría on Domingo 23, mayo, 2010 at 4:48 pm

por Andrés Sambarino

Como muy bien dijo el Lessa en artículo Esperanza condicional, nos dirigimos a probar un resultado de superrigidez debido a Margulis entre este y futuros artículos.

El contexto, o la pregunta general que tratamos de responder es la siguiente:

¿qué geometrías puede admitir una variedad dada?

Así de general la pregunta no tiene mucha gracia así que afinamos la pregunta pidiendo que la geometría tenga mucha simetría (en un sentido a especificar). Entonces la pregunta quedaría: ¿cuales son las posibles geometrías (con mucha simetría) que admite una variedad dada?

Por ejemplo, una superficie compacta \Sigma de género mayor o igual a 2 admite (muchas) geometrías hiperbólicas.

El primer teorema de rigidez es debido a Mostow y es bastante sorprendente:

Teorema[Rigidez de Mostow]. Una variedad hiperbólica de dimensión 3 admite una y solo una geometría hiperbólica. Es decir: Dos variedades hiperbólicas de dimensión 3 homeomorfas son isométricas.

La superrigidez es incluso mucho mas fuerte aunque es en un contexto diferente, el de las geometrías de rango superior. Estas son variedades de curvatura \leq0 pero no pinchada, o sea, hay isometrías locales de \mathbb R^n en la variedad (para n\geq2).

El objetivo de este texto es pasar del contexto geométrico al contexto de los grupos que es donde se enuncia y se demuestra el teorema de Margulis.

Espacios simétricos

Si tenemos una variedad Riemanniana M con suficiente “simetría”  encontraremos un grupo de Lie G, un subgrupo compacto K de G y un homomorfismo \pi_1(M)\to G tales que

M\equiv \pi_1(M)\backslash G/K.

En otras palabras, G/K será isométrico al cubrimiento universal de X. La información de este texto es extraida del libro de Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces.

Empezamos entonces con una variedad Riemanniana simplemente conexa X. Inmediatamente tenemos un grupo G asociado a la geometría, el grupo de isometrías: los difeomorfismos de X que preservan la métrica Riemanniana. El grupo G es un grupo de Lie y a veces se puede dar una cota de su dimensión, en función de la de X. Buscamos maximizar la simetría en X, de modo que el grupo G sea interesante.

Fijamos un punto x de X y consideramos la simetría central en x, definida en un entorno U de x suficientemente pequeño: dado z\in U escribimos z=c(t) para la única geodésica c de orígen en x, con extremo en z y totalmente contenida en U. La función es entonces

z=c(t)\mapsto c(-t).

Definición. Decimos que X es localmente simétrico si para todo x en X la simetría central en x es una isometría de X. Diremos entonces que X es globalmente simétrico si esta isometría puede extenderse a una isometria de todo X.

El ejemplo central de un espacio localmente simétrico que no lo es globalmente es una superficie hiperbólica compacta: su grupo de isometias es finito, pero la simetría local proviene de que su cubrimiento universal, el plano hiperbólico, si es globalmente simétrico.

Teorema. El cubrimiento universal de una variedad completa localmente simétrica es globalmente simétrico.

Demostración. Llamemosle X al cubrimiento universal, que queremos probar es globalmente simétrico. Obviamente X es localmente simétrico.

Fijamos x\in X, tenemos que mostrar que la simetria central en x puede extenderse a todo X, y que esta extensión es una isometria.

Lema. Sean U\subset X un abierto, f:U\to X un isometria y \alpha:[0,1]\to X una curva con \alpha(0)\in U. Si X es completa entones f se extiende a un entorno de \alpha(1).

Este lema es una consecuencia de que los entornos totalmente normales (abiertos donde dados 2 puntos existe una única geodésica que los une contenida en el entorno) tienen un radio uniforme. Si cubrimos la curva \alpha con finitos entornos totalmente normales podemos extender f usando la relación

{\displaystyle \exp_{f(p)}d_p f=f\ \exp_p}.

Esto prueba el lema.

Como X es simplemente conexo, la extensión de la simetría central no depende de la curva elegida. Esto termina el rápido esbozo de la prueba.

\square

Consideramos entonces una variedad X completa, simplemente conexa y globalmente simétrica con su grupo de isometrias G. Sea p un punto de X y K el subgrupo de las transformaciones que fijan p:

K=\{g\in G: g\cdot p=p\}.

El grupo K es compacto: Como los elementos de K fijan p, podemos considerar la acción de K en el espacio tangente a p. Como además los elementos de K son isometrias de X, la acción en T_pX preserva la métrica. Obtenemos entonces a K como un grupo cerrado de transformaciones lineales de \mathbb R^n que preservan un producto interno, o sea, como un subgrupo cerrado de O(n), que es compacto.

Además, el grupo G actúa transitivamente en X. Dados dos puntos, x e y consideramos una geodésica que los tiene por extremos, la simetria central en el punto medio de x a y nos da un elemento de G que lleva x en y. Obtenemos entonces que X es homeomorfo (y con mas trabajo difeomorfo) a G/K.

Ahora que tenemos algo de información de los espacios globalmente simétricos, volvemos a los que lo son localmente, es decir consideramos cocientes de X.

Definición. Sea M una variedad localmente simétrica. Decimos que M esta modelada en (G,X) si el cubrimiento universal de M es X y los cambios de cartas son elementos de G.

Observación. Esta definición es un caso particular de las llamadas (G,X)-estructuras, pero por ahora nos viene bien.

Sea entonces M una variedad modelada en (G,X). Tenemos entonces un morfismo \rho:\pi_1(M)\to G tal que M es isométrica a \rho(\pi_1(M))\backslash G/K.

Proposición. Sean M_1 y M_2 dos variedades homeomorfas a M, localmente simétricas modeladas en (G,X), y sean \rho_1,\rho_2:\pi_1(M)\to G los morfismos respectivos. Entonces existe una isometría global g:M_1\to M_2 si y solo si existe g\in G tal que

g\rho_1(\gamma)g^{-1}=\rho_2(\gamma),

para todo \gamma\in\pi_1(M).

Demostración. Si levantamos una isometría g:M_1\to M_2 al cubrmiento universal g:X\to X tenemos un elemento de G que conjuga las acciones de \rho_1(\pi_1(M)) y \rho_2(pi_1(M)), esto implica que para todo x\in X y \gamma\in\Gamma vale que

g\rho_1(\gamma)g^{-1}\rho_2(\gamma)^{-1} x=x.

Lo que implica g\rho_1(\gamma)g^{-1}=\rho_2(\gamma).

Reciprocamente un elemento de G que conjuga los morfismos \rho_1 y \rho_2 induce una isometría de M_1 en M_2.

\square

Para terminar enunciamos el teorema de Mostow del principio pero en este contexto, es sabido que el grupo de isometrías del espacio hiperbólico \mathbb H^3 es PSL(2\mathbb C), el teorema queda entonces:

Teorema[Rigidez de Mostow]. Sea M una variedad hiperbólica de dimensión 3. Entonces dos morfismos \rho_1,\rho_2:\pi_1(M)\to PSL(2,\mathbb C) de cociente compacto son conjugados por un elemento de PSL(2,\mathbb C).

  1. Como haces para poner en una superficie de género mayor coordenadas proyectivas? No estoy entendiendo, pero eso no permitiría ponerle una métrica de curvatura positiva (supongo que las transformaciones afines son isometrías)?

  2. Las transformaciones afines no son necesariamente isometrías. En general el grupo afín de \mathbb R^n se define como todas las transformaciones lineales invertibles de \mathbb R^n y traslaciones, y entonces el grupo afin de \mathbb RP^2 sería PSL(3,\mathbb R).

    El tema es que estas no son geometrías e el sentido de geometría Riemanniana (capaz que para este texto es mejor sacar ese ejemplo…), vienen mas bien por el lado de Thurston:

    Dada una variedad X y un grupo G que actúa en X (con algunas condiciones) y dada otra variedad M, decimos que M admite una (G,X)estructura si tenemos cartas de M por abiertos de X tales que el cambio de cartas es un elemento de G.

    Si el grupo G preserva una métrica riemanniana de X, entonces tenemos una métrica en M; si G preserva una foliación en X, entonces tenemos una foliación en M, etc.

    Por ejemplo: Considerás una homotecia x\mapsto \lambda x en \mathbb R^2-\{0\}. El cociente por esta transformación te da un toro y así obtenés una estructura afin en el toro.

    Otro ejemplo de estructura afín en el toro es considerar cualquier cuadrilatero (sin lados opuestos paralelos ni nada en especial) y las transformaciones afines que identifican lados opuestos.

  3. Sobre las estructuras proyectivas en una superfice de genero mayor que 2: cualquier estructura hiperbólica es necesariamente proyectiva,

    Esto es consecuencia del modelo de Klien del plano hierbólico: Considerás en \mathbb R^3 el paraboloide hiperbólico con la métrica heredada de \mathbb R^3, esto te queda isométrico a \mathbb H^2, cuando pasas al proyectivo tenes al grupo de isometrías de \mathbb H^2 como un subgrupo de SL(3,\mathbb R),

    Pero en realidad hay muchas más, esto ya es bastante dificil de hacer.

    Hay un teorema de Goldman que dice que el espacio de las estructuras proyectivas en una superficie compacta de género g es difeomorfo a una bola de dimensión (2g-2)8 (el 2g-2 viene de la característica de Euler de la superficie y el 8 viene de la dimensión del grupo SL(3,\mathbb R))

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