Los seguidores de Manolo

Grupos de homotopía (no tan) superiores de las esferas.

In Topología on Jueves 27, mayo, 2010 at 8:38 am

por Rafael Potrie

Uno de los problemas más difíciles de la topología algebraica es determinar los \pi_k(S^n) con k grande.

Parece ser un problema de carácter elemental, y a simple vista no es claro el porque genera tanto interés. Una razón, para mi importante, es que está muy relacionado con los grupos de homotopía de los CW complejos (hay que notar que si se considera el n-esqueleto de un CW-complejo cocientado por el n-1-esqueleto no queda otra cosa que una suma de esferas n-dimensionales, por lo tanto, calcular la homotopía de las esferas es un paso necesario para conocer los grupos de homotopía de los CW-complejos (por definiciones de estos conceptos, ver este post, de todas maneras, el post actual es elemental, y no es necesario haber comprendido este párrafo).

Nos interesaremos en este post por conocer los más fáciles de calcular, los que de hecho parecen evidentes, \pi_k(S^n) con k<n.

La primera observación es que son, como se puede esperar, todos triviales. Es decir, todo mapa continuo f: S^k \to S^n con k < n es homotópico a un punto. De hecho, supongamos que f no es sobreyectiva (cosa razonable dado que k<n), obtenemos entonces que como S^n menos un punto es \mathbb{R}^n se cumple que f es homotópico a la función constante.

El problema es que no podemos asumir a priori que f no es sobreyectiva (de hecho podría serlo y no es difícil construir un ejemplo usando la curva de Peano o sus variantes) y resulta no tan inmediato ver que podemos hacer a f homotópica a una función no sobreyectiva.

En realidad, lo que vamos a probar prueba (con iguales argumentos) el siguiente teorema conocido como “de aproximación celular”.

Teorema (de Aproximación Celular) Sea f: X \to Y un mapa entre CW-complejos. Entonces, f es homotópico a un mapa celular (es decir, tal que el mapa restricto al n-esqueleto X^n de X se mapea en el n-esqueleto Y^n de Y).

La idea es contar 2 enfoques, el primero, tiene que ver con topología diferencial y el segundo es más bien topológico. Voy a concentrarme en el segundo y espero que quede claro porque.

Enfoque diferencial.

La idea es que todo mapa continuo entre variedades diferenciables es aproximable por un mapa diferenciable (por una prueba ver aquí).

El bien conocido Teorema de Sard dice (en particular) que si f: M^k \to N^n es un mapa diferenciable entre variedades y k<n entonces se verifica que f no puede ser sobreyectiva. Aprovecho para preguntar si alguien conoce una prueba (más simple que la del teorema de Sard, obvio) de esta “particularización” del Teorema de Sard?.

Como dos mapas suficientemente cerca son homotópicos, probamos de esta manera que todo mapa continuo f:S^k \to S^n con k<n es homotópico a un mapa no sobreyectivo y por tanto, a un punto como dijimos antes.

La razón por la cual no soy fanático de este enfoque es que no conozco una prueba “simple” de que un mapa diferenciable no es sobreyectivo. Por eso, voy a continuar con el enfoque topológico que tiene sus partes lindas.

Enfoque topológico.

No se si vale la pena aclaralo, pero nos basamos en el libro de Hatcher.

Lo primero que voy a hacer es contar la prueba para el caso del grupo fundamental, es decir, la prueba de que las esferas de dimensión \geq 2 son simplemente conexas. Digamos que la idea de la prueba está ahi, pero el hecho de que el círculo es de dimensión uno simplifica un poco el asunto.

Proposición Para todo n\geq 2 se tiene que \pi_1(S^n)=\{0\}.

Demostración: Consideramos f: S^1 \to S^n una función continua. Queremos ver que es homotópica a una función no sobreyectiva.

Para eso, consideramos U un hemisferio abierto de S^n y nos fijamos en f^{-1}(U) que es un abierto en S^1. Podemos suponer que f^{-1}(U) no es todo S^1 sino ya se verifica que f no es sobreyectiva.

Obtenemos que f^{-1}(U) es una unión (a lo sumo) numerable de intervalos abiertos. Además, la imágen de los bordes de dichos intervalos se encuentra en \partial U \sim S^{n-1}. Fijado x \in U, por compacidad de f^{-1}(x), obtenemos que solo finitos de esos intervalos tienen preimagenes de x. Mediante una homotopía fácil de realizar de esas finitas curvas al borde de U, hacemos una homotopía que transforma a f en un mapa no sobreyectivo.

\square

Evidentemente esta prueba hace uso que en el caso de dimensión uno, sabemos siempre que todo abierto es unión de intervalos lo cual hace un tanto más simple el asunto.

El remate de la prueba podría haber sido cambiado de forma de mandar todo lo que entra a U al borde de U mediante una cadena de numerables homotopías (simplemente para comentar una alternativa a la prueba).

Ahora, vamos a pasar a ver como hacer en el caso general. La idea es similar, simplemente hay que identificar que partes pasan “por un punto” y homotopar dichas partes para que dejen de pasar por ahi.

Proposición. Sea f:S^k \to S^n un mapa continuo con k \leq n. Entonces, f es homotópico a un mapa que no es sobreyectivo.

Demostración. Consideramos en S^n dos bolas compactas, centradas en un punto x_0 una adentro de la otra B_1 \subset B_2.

Ahora, estudiamos que pasa con f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(int(B_2)) \subset f^{-1}(B_2). Observamos que el primer y último conjunto son compactos en S^k mientras que el del medio es abierto (notar que no necesariamente se cumple que \overline{f^{-1}(int(B_2))} = f^{-1}(B_2)).

Llamamos \epsilon a un número menor que la distancia entre B_1 y \partial B_2 y que la mitad del radio de B_1.  Por continuidad uniforme, existe \delta tal que dos puntos en S^k a distancia menor a \delta se mapean en puntos a distancia menor que \epsilon. Podemos suponer que \delta es menor que la distancia entre f^{-1}(B_1) y S^k\backslash f^{-1}(int(B_2)) (son dos compactos).

Ahora, cuadriculamos S^k de forma tal que cada prisma de la cuadriculación tenga diametro menor que \delta/2. Consideramos entonces K_1 como la unión de los prismas que intersectan f^{-1}(B_1) y como K_2 los prismas que intersectan K_1 (es decir una especie de corona de K_1). Obtenemos que f^{-1}(B_1) \subset int(K_1) \subset K_1 \subset int(K_2) \subset K_2 \subset f^{-1}(int(B_2)).

Ahora, vamos a pasar a triangular cada prisma de la cuadriculación. La razón por la cual cuadriculamos primero en vez de triangular de una es para obtener que K_2 sea un entorno de K_1. La razón por la cual luego triangulamos es que los simplices se portan mejor que los prismas con los mapas lineales (determinar la imagen de los vertices de un simplice determinan un único mapa lineal entre simplices, mientras que un prisma tiene condiciones extra para poder extenderse a un mapa lineal).

La idea ahora es: A los triangulos de K_1 los vamos a homotopar a mapas lineales en triangulos y vamos a corregir esto en el espacio entre K_1 y K_2. Esto va a permitir probar que hay una parte a la cual se accede únicamente por estos mapas “lineales” y en ese lugar, obviamente el mapa no será sobreyectivo.

Consideramos \varphi : S^k \to [0,1] continua que verifica que \varphi =1 en K_1 y vale 0 fuera de K_2. Llamamos \Delta^1 , \ldots, \Delta^N a los simplices de K_2.

Ahora, consideramos mapas g_i en el símplice \Delta^i cada simplice de K_2 el mapa que manda afínmente el simplice coincidiendo con f en los vértices de dicho simplice. Consideramos entonces la homotopía en cada uno de esos simplices  vale exactamente f_t= (1-t\varphi)f + t\varphi g_i. Notar que como los g_i coinciden en los bordes correspondientes, esto es una homotopía continua que se extiende a todo S^k continuamente (y que no hace nada fuera de K_2). Obtenemos que f_t es una homotopía entre f_0=f y f_1.

Tenemos que ver que el mapa f_1 no es sobreyectivo. Consideramos a B_1' \subset B_1 la bola también centrada en x_0 de la mitad de radio. La primera observación es que f_1 manda los puntos de fuera de K_2 fuera de B_1' (esto es directo pues fuera de K_2 la homotopía es constante y para f_0=f se verificaba).

Por otra parte, consideramos un simplice \Delta^i en K_2 \backslash K_1 y por como elegimos \delta, obtenemos que f (\Delta^i) está contenido en una bola de radio \epsilon alrededor de un punto fuera de B_1. Por lo tanto, f(\Delta^i) no intersecta B_1'. Como la homotopía manda cada punto de K_2 a traves de una geodésica, hacia la envolvente convexa de los vertices, obtenemos que f_1(\Delta^i) tampoco intersecta B_1'.

Para finalizar la prueba, alcanza ver que la imágen por f_1 de K_1 corta B_1' en finitos hiperplanos de dimensión k que evidentemente no pueden rellenarla. Por lo tanto, f_1 no es sobreyectiva y concluimos la prueba (notar que este paso, si bien parece evidente, utiliza el Teorema de Invariancia del Dominio, habrá un argumento más simple?).

\square

 

 

  1. […] Coloquio Oleis los seguidores de Manolo « Grupos de homotopía (no tan) superiores de las esferas. […]

  2. […] In Análisis Real y Complejo on Viernes 5, Noviembre, 2010 at 3:08 pm En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de en con siempre podia ser perturbado a un mapa […]

  3. por qué es necesario que la aplicación f sea no sobreyectiva??

    • No es que sea necesario que la aplicación no sea sobreyectiva, sólo que cuando no es sobreyectiva sabemos hacer una homotopía a una constante que es lo que buscamos. Es por eso que el primer paso es encontrar una homotopía que haga que la aplicación deje de ser sobreyectiva en caso que lo fuera.

  4. en la demostracion de pi_1(S^n)=0, ¿podrías explicar el final, a partir de que la antiimagen de x está en un número finito de intervalos(incluido eso)? Es que no lo veo…
    Gracias

    • Como f es continua, la preimágen de x es un conjunto cerrado del círculo S^1, y por lo tanto compacto (pues el círculo es compacto). La preimagen de U también es un abierto del circulo pues f es continua, y por como es la topologia del circulo es una union (a lo sumo) numerable de intervalos. Un cubrimiento por abiertos de un compacto tiene un subcubrimiento finito y por tanto hay finitos de esos intervalos que intersectan la preimagen de x. Cada uno de esos intervalos se mapea por f en una curva contenida en U cuyos extremos estan en \partial U y por lo tanto se puede hacer una homotopia para que la curva se haga disjunta de U. Después de estas finitas homotopias, tenemos que la imagen de f es disjunta de x como queríamos.

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