Grupos de homotopía (no tan) superiores de las esferas.

por Rafael Potrie

Uno de los problemas más difíciles de la topología algebraica es determinar los con grande.

Parece ser un problema de carácter elemental, y a simple vista no es claro el porque genera tanto interés. Una razón, para mi importante, es que está muy relacionado con los grupos de homotopía de los CW complejos (hay que notar que si se considera el esqueleto de un CW-complejo cocientado por el -esqueleto no queda otra cosa que una suma de esferas -dimensionales, por lo tanto, calcular la homotopía de las esferas es un paso necesario para conocer los grupos de homotopía de los CW-complejos (por definiciones de estos conceptos, ver este post, de todas maneras, el post actual es elemental, y no es necesario haber comprendido este párrafo).

Nos interesaremos en este post por conocer los más fáciles de calcular, los que de hecho parecen evidentes, con .

La primera observación es que son, como se puede esperar, todos triviales. Es decir, todo mapa continuo con es homotópico a un punto. De hecho, supongamos que no es sobreyectiva (cosa razonable dado que ), obtenemos entonces que como menos un punto es se cumple que es homotópico a la función constante.

El problema es que no podemos asumir a priori que no es sobreyectiva (de hecho podría serlo y no es difícil construir un ejemplo usando la curva de Peano o sus variantes) y resulta no tan inmediato ver que podemos hacer a homotópica a una función no sobreyectiva.

En realidad, lo que vamos a probar prueba (con iguales argumentos) el siguiente teorema conocido como «de aproximación celular».

Teorema (de Aproximación Celular) Sea un mapa entre CW-complejos. Entonces, es homotópico a un mapa celular (es decir, tal que el mapa restricto al esqueleto de se mapea en el esqueleto de ).

La idea es contar 2 enfoques, el primero, tiene que ver con topología diferencial y el segundo es más bien topológico. Voy a concentrarme en el segundo y espero que quede claro porque.

Enfoque diferencial.

La idea es que todo mapa continuo entre variedades diferenciables es aproximable por un mapa diferenciable (por una prueba ver aquí).

El bien conocido Teorema de Sard dice (en particular) que si es un mapa diferenciable entre variedades y entonces se verifica que no puede ser sobreyectiva. Aprovecho para preguntar si alguien conoce una prueba (más simple que la del teorema de Sard, obvio) de esta «particularización» del Teorema de Sard?.

Como dos mapas suficientemente cerca son homotópicos, probamos de esta manera que todo mapa continuo con es homotópico a un mapa no sobreyectivo y por tanto, a un punto como dijimos antes.

La razón por la cual no soy fanático de este enfoque es que no conozco una prueba «simple» de que un mapa diferenciable no es sobreyectivo. Por eso, voy a continuar con el enfoque topológico que tiene sus partes lindas.

Enfoque topológico.

No se si vale la pena aclaralo, pero nos basamos en el libro de Hatcher.

Lo primero que voy a hacer es contar la prueba para el caso del grupo fundamental, es decir, la prueba de que las esferas de dimensión son simplemente conexas. Digamos que la idea de la prueba está ahi, pero el hecho de que el círculo es de dimensión uno simplifica un poco el asunto.

Proposición Para todo se tiene que .

Demostración: Consideramos una función continua. Queremos ver que es homotópica a una función no sobreyectiva.

Para eso, consideramos un hemisferio abierto de y nos fijamos en que es un abierto en . Podemos suponer que no es todo sino ya se verifica que no es sobreyectiva.

Obtenemos que es una unión (a lo sumo) numerable de intervalos abiertos. Además, la imágen de los bordes de dichos intervalos se encuentra en . Fijado , por compacidad de , obtenemos que solo finitos de esos intervalos tienen preimagenes de . Mediante una homotopía fácil de realizar de esas finitas curvas al borde de , hacemos una homotopía que transforma a en un mapa no sobreyectivo.

Evidentemente esta prueba hace uso que en el caso de dimensión uno, sabemos siempre que todo abierto es unión de intervalos lo cual hace un tanto más simple el asunto.

El remate de la prueba podría haber sido cambiado de forma de mandar todo lo que entra a al borde de mediante una cadena de numerables homotopías (simplemente para comentar una alternativa a la prueba).

Ahora, vamos a pasar a ver como hacer en el caso general. La idea es similar, simplemente hay que identificar que partes pasan «por un punto» y homotopar dichas partes para que dejen de pasar por ahi.

Proposición. Sea un mapa continuo con . Entonces, es homotópico a un mapa que no es sobreyectivo.

Demostración. Consideramos en dos bolas compactas, centradas en un punto una adentro de la otra .

Ahora, estudiamos que pasa con . Observamos que el primer y último conjunto son compactos en mientras que el del medio es abierto (notar que no necesariamente se cumple que ).

Llamamos a un número menor que la distancia entre y y que la mitad del radio de .  Por continuidad uniforme, existe tal que dos puntos en a distancia menor a se mapean en puntos a distancia menor que . Podemos suponer que es menor que la distancia entre y (son dos compactos).

Ahora, cuadriculamos de forma tal que cada prisma de la cuadriculación tenga diametro menor que . Consideramos entonces como la unión de los prismas que intersectan y como los prismas que intersectan (es decir una especie de corona de ). Obtenemos que .

Ahora, vamos a pasar a triangular cada prisma de la cuadriculación. La razón por la cual cuadriculamos primero en vez de triangular de una es para obtener que sea un entorno de . La razón por la cual luego triangulamos es que los simplices se portan mejor que los prismas con los mapas lineales (determinar la imagen de los vertices de un simplice determinan un único mapa lineal entre simplices, mientras que un prisma tiene condiciones extra para poder extenderse a un mapa lineal).

La idea ahora es: A los triangulos de los vamos a homotopar a mapas lineales en triangulos y vamos a corregir esto en el espacio entre y . Esto va a permitir probar que hay una parte a la cual se accede únicamente por estos mapas «lineales» y en ese lugar, obviamente el mapa no será sobreyectivo.

Consideramos continua que verifica que en y vale fuera de . Llamamos a los simplices de .

Ahora, consideramos mapas en el símplice cada simplice de el mapa que manda afínmente el simplice coincidiendo con en los vértices de dicho simplice. Consideramos entonces la homotopía en cada uno de esos simplices  vale exactamente . Notar que como los coinciden en los bordes correspondientes, esto es una homotopía continua que se extiende a todo continuamente (y que no hace nada fuera de ). Obtenemos que es una homotopía entre y .

Tenemos que ver que el mapa no es sobreyectivo. Consideramos a la bola también centrada en de la mitad de radio. La primera observación es que manda los puntos de fuera de fuera de (esto es directo pues fuera de la homotopía es constante y para se verificaba).

Por otra parte, consideramos un simplice en y por como elegimos , obtenemos que está contenido en una bola de radio alrededor de un punto fuera de . Por lo tanto, no intersecta . Como la homotopía manda cada punto de a traves de una geodésica, hacia la envolvente convexa de los vertices, obtenemos que tampoco intersecta .

Para finalizar la prueba, alcanza ver que la imágen por de corta en finitos hiperplanos de dimensión que evidentemente no pueden rellenarla. Por lo tanto, no es sobreyectiva y concluimos la prueba (notar que este paso, si bien parece evidente, utiliza el Teorema de Invariancia del Dominio, habrá un argumento más simple?).