Los seguidores de Manolo

Grupo fundamental de las esferas.

In Topología on Jueves 3, junio, 2010 at 7:12 am

por Rafael Potrie

En el post anterior, se discutió una prueba de que el grupo fundamental de las esferas de dimensión S^n (n\geq 2) es trivial. Escencialmente, la prueba consistía en hacer una homotopía de un mapa f: S^1 \to S^n a un mapa que no fuese sobreyectivo (eso permite concluir ya que la esfera menos un punto es contractible, como se puede ver utilizando la proyección estereográfica).

En este post, pretendo dar una prueba “distinta” de este hecho. Las comillas tienen que ver con que es realmente difícil definir que es que dos pruebas sean la misma o no (por una discusión sobre esto, recomiendo este post). Luego de dar la prueba, voy a comentar porque me parece (al menos un poco) distinta.

La prueba que voy a dar está inspirada en el Teorema de Van Kampen. Quien lo conozca, vea por si mismo que ese teorema implica directamente que el grupo fundamental de esferas de dimensión mayor o igual a 2 tienen grupo fundamental trivial. La pregunta es: No estará la otra prueba implicita en la prueba de Van Kampen?. Voy a esbozarla para que cada uno lo evalue.

Proposición. Para todo n\geq 2 se cumple que \pi_1(S^n)=\{0\}.

Demostración. Consideramos S^n= U \cup V. Donde los espacios U y V son homeomorfos a discos abiertos (y por tanto contractibles) mientras que U\cap V es conexo por arcos (basta considerar pequeños entornos de los hemiferios que se intersectan en una esfera de dimensión n-1 que como n\geq 2 implica que dicha intersección es conexa por arcos, la intersección entonces queda un pequeño anillo alrededor del “ecuador”).

Consideramos un punto x_0 \in U\cap V que tomaremos como punto base y consideramos un loop f: [0,1]\to S^n tal que f(0)=f(1)=x_0.

Ahora, tenemos que f^{-1}(U) y f^{-1}(V) son abiertos de [0,1] por ende, union numerable de intervalos abiertos. Esto implica, que las componentes conexas de ambos abiertos, son un cubrimiento del intervalo [0,1] por abiertos. Siendo [0,1] compacto, obtenemos que existe un subcubrimiento finito.

Esto quiere decir, que existen 0=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-1} < t_k=1 puntos que verifican que f([t_i,t_{i+1}]) está contenido en U o en V (y en particular, podemos suponer que f(t_i)\in U\cap V para todo i).  Denotamos f_i a la restricción de f al intervalo [t_i, t_{i+1}].

Consideramos ahora curvas g_i que unan en U\cap V (que es arcoconexo) al punto f(t_i) con x_0 (orientado de esa manera).

Esto implica que si concatenamos las curvas f_i y g_i de la siguiente manera (convenimos que la concatenación se lee de izquierda a derecha):

(f_0 \ast g_1) \ast (g_1^{-1} \ast f_1 \ast g_2) \ast \ldots \ast (g_{k-2}^{-1} \ast f_{k-1})

Obtenemos entonces que escribimos el loop f como una concatenación de k loops cada uno de los cuales está contenido en U o en V.

Como estos espacios son contractibles, podemos hacer una homotopía de cada uno de ellos a un punto y concluimos la prueba de la Proposición.

\square

Ahora, voy a explicar un poco porque me parece que la prueba es diferente a la otra a pesar que no termino de estar convencido.

La razón fundamental para mi es que en la primera prueba, la dificultad principal que hay que atacar es que el mapa f puede ser sobreyectivo, ese problema se ataca directamente y se resuelve el problema. En esta prueba, esa dificultad no queda en evidencia, digamos que es un camino más indirecto. Por lo tanto, me parece que el ataque a la prueba es razonablemente diferente (creo que de todas maneras, la primera prueba es la más natural porque identifica la dificultad y la resuelve, la segunda prueba podría surgir de que la dificultad no pudiese ser resuelta y se buscase una prueba alternativa).

Por otro lado, hay un aspecto en el cual ambas pruebas son muy similares también: Ambas utilizan la contractibilidad del disco y de alguna manera, se puede pensar que “parten” la curva en partes que están en ciertos discos y la contraen ahi. De nuevo, el primer enfoque es más directo en este sentido.

Ayer, discutiendo con sambita y jules, entre los ejemplos que se nos ocurrieron de pruebas diferentes del mismo teorema, el más “unanime” fue el Teorema Fundamental del Álgebra (con sus múltiples pruebas). También se me ocurren los teoremas que tienen una prueba usando algun teorema de punto fijo de espacios de funciones y por otro lado tienen pruebas donde construyen lo que buscan más a pedal (p.ej. estabilidad estructural de los Anosov). Hay otros ejemplos interesantes?

  1. […] Análisis Real y Complejo on Viernes 5, Noviembre, 2010 at 3:08 pm En algunos post pasados (este y este) estudiamos formas de probar que un mapa de en con siempre podia ser perturbado a un mapa que no […]

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