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Una dicotomía entre hiperbolicidad y dinámicas salvajes.

In Álgebra Lineal, Dinámica genérica on Viernes 18, junio, 2010 at 4:19 pm

por Rafael Potrie

En este post me gustaría contar un resultado debido a Mañe y dar indicaciones sobre su prueba que me resulta muy linda.

Antes, necesito introducir un par de conceptos, por simplicidad, voy a hacer todo en superficies. Sea {f\in Diff^1(M)} un difeomorfismo de una superficie {M}.

Decimos que un conjunto compacto invariante {\Lambda} es hiperbólico si para todo punto {x\in \Lambda}, tenemos una descomposición {T_xM = E^s_x \oplus E^u_x} de su espacio tangente y esta descomposición verifica las siguientes propiedades:

  • {Df_x(E^\sigma_x) = E^\sigma_{f(x)}} para todo {x\in \Lambda} y {\sigma= s,u}.
  • Existe un valor {N>0} tal que {\|Df^N_x|_{E^s(x)}\| < \frac 1 2} y {\|Df^{-N}_x|_{E^u_x}\|< \frac 1 2} para todo {x\in \Lambda}.

Un ejercicio interesante es mostrar que la definición implica que los fibrados {E^s_x} y {E^u_x} varían continuamente, en particular, la dimensión de dichos fibrados es localmente constante (y se puede extender a la clausura).

En el caso de dimensión dos, hay solo 3 opciones para la dimensión de {E^s_x}, i.e. {0,1} y {2}. Queda también como ejercicio mostrar que si un punto tiene dimensión de {E^s_x} igual a dos y es no errante entonces es un punto periódico atractor (a dichos puntos les llamaremos pozo). Análogamente, si un punto no errante tiene verifica que {E^s_x} tiene dimensión cero, entonces es un punto periódico repulsor (les llamaremos fuentes). Dado que {N} es uniforme, es fácil ver que en un conjunto hiperbólico de una variedad compacta tiene solo finitos pozos y fuentes.

La hiperbolicidad ha sido fuertemente estudiada en particular pues permite sacar muchas conclusiones respecto a la dinámica de los conjuntos que tienen dicha propiedad (tanto de dinámica topológica como desde el punto de vista ergódico).

Decimos que un difeomorfismo {f:M\rightarrow M} es Axioma A si su conjunto no-errante {\Omega(f)} coincide con la clausura de sus puntos periódicos y es un conjunto hiperbólico. Por su dinámica, ver el siguiente link.

El teorema que vamos a mostrar, es debido a Mañe y tiene el enunciado siguiente:

Theorem 1 (Mañe, 1982) Existe un conjunto residual \mathcal{R} \subset Diff^1(M) tal que si {f\in \mathcal{R}} entonces se verifica una de las siguientes propiedades:

  • {f} es Axioma A.
  • – Hay infinitos pozos y/o fuentes de {f}.

 

La prueba tiene dos etapas, en ambas hay ideas muy lindas que fueron a la larga realmente muy fructiferas en el estudio de la dinámica genérica (estudio de la dinámica en un conjunto residual de difeomorfismos). El objetivo de este post es entonces presentar estas ideas, por más detalles, se pueden ver unas notas que escribí hace poco.

Resumen de la prueba

Como mencione antes, la prueba se descompone en dos etapas.

La primera es estudiar el conjunto de puntos silla de {f} y obtener descomposición dominada (una versión débil de hiperbolicidad) en dicho conjunto, utilizando la genericidad de {f}. La genericidad escencialmente nos permite asumir que los puntos periodicos no se “bifurcan”, es decir, son todos robustamente hiperbólicos (en caso contrario, podemos romper ciertas semicontinuidades). Por otro lado, la idea clave tiene que ver con mostrar que la ausencia de descomposición dominada, justamente, nos permite bifuracar las órbitas periódicas. Sobre esta idea voy a centrar este post.

La segunda etapa, también muy linda y fructuosa, consiste en mostrar que esta descomposición es efectivamente hiperbólica. Esto implica obtener una forma de “sombrear” los puntos donde la hiperbolicidad no se ve por puntos periódicos (que por la observación anterior son bien hiperbólicos ya que no pueden bifurcarse).

Descomposición dominada

Vamos a desarrollar relativamente al detalle esta primera etapa. Sea {f} un difeomorfismo de una superficie {M} y consideramos {Per_1(f)} el conjunto de sus puntos periódicos (para un punto periódico {p}, notaremos su período como {\pi(p)}) de tipo silla (i.e. tal que la transformación lineal {Df^{\pi(p)}_p: T_pM \rightarrow T_pM} tenga un valor propio de modulo mayor que uno y uno de modulo menor que uno).

En este conjunto, tenemos bien definidos dos mapas {E^s} y {E^u} (que diremos que son el fibrado establefibrado inestable respectivamente) que a cada punto periódico {p\in Per_1(f)} le asocian el subespacio propio de {Df^{\pi(p)}_p} asociado a el valor propio de módulo menor que uno (respectivamente, de módulo mayor que uno).

En principio, estos mapas no tienen ninguna propiedad de continuidad: notar que si bien la derivada varía continuamente, podemos aproximar un punto periódico por puntos de período muchisimo mayor y por lo tanto esa continuidad no se ve reflejada en como estan definidos los subespacios estables e inestables.

De todas maneras, hay una propiedad muy útil que verifican y que tiene que ver con el resultado que buscamos probar: Son {Df-}invariantes. Esto quiere decir que {Df(E^\sigma_p)=E^\sigma_{f(p)}} para {\sigma=s,u}.

Claramente, si queremos mostrar que el conjunto {\overline{Per_1(f)}} es un conjunto hiperbólico, hay trabajo para hacer, en particular, estos espacios deberían extenderse a la clausura y deberían contraer y expandir uniformemente.

En esta sección, nos dirigimos a probar que estos espacios, bajo buenas condiciones, se pueden extender continuamente a la clausura (la uniformidad queda para la sección siguiente). Para ello, introduciremos un concepto (creado por Mañe, Liao y Pliss independientemente) conocido actualmente como descomposición dominada.

Decimos que un conjunto compacto invariante {\Lambda} admite descomposición dominada si el espacio tangente sobre {\Lambda}, se descompone como {T_\Lambda M=E\oplus F} donde {E} y {F} son subfibrados unidimensionales {Df-}invariantes y existe {N>0} tal que

\displaystyle \|Df^N|_E\| < \frac 1 2 \|Df^N|_F\|

Escencialmente, lo que sabemos es que la contracción en la dirección {E} es uniformemente más fuerte que en la dirección {F}. La clave esta en la uniformidad, ya que por trabajar sobre el conjunto de puntos silla, no es evidente en general (y de hecho en general no tiene porque ser cierto) que el hecho que en el período se contraiga (obviamente) más en la dirección {E^s} que en la dirección {E^u} implique que se tenga la descomposición dominada.

No es difícil ver que la descomposición dominada comparte varias propiedades con la hiperbolicidad, en particular, continuidad (y por tanto extensión a la clausura),unicidadrobustez (frente a perturbaciones del difeomorfismo).

Vamos entonces a probar el siguiente Teorema:

Theorem 2 Existe un conjunto residual {\mathcal{R}} de {Diff^1(M)} donde {M} es una superficie tal que si {Per_1(f)} no admite descomposición dominada, entonces {f} tiene infinitos pozos y/o fuentes.

Proof: Escencialmente el objetivo es ver que si el conjunto de puntos periódicos de tipo silla no admite descomposición dominada, entonces, mediante una pequé\~na perturbación podemos crear un nuevo pozo y/o fuente. Esto, junto con un argumento de genericidad, permite concluir.

Aqui hay que explicar dos cosas, la primera, es que las perturbaciones de la derivada sobre un punto periódico pueden siempre ser realizadas dinámicamente. Esto es el contenido de un célebre Lema de Franks que se puede encontrar enunciado en el primer Apendice en este link.

Por lo tanto, tenemos que concentrarnos en orbitas periódicas que no admiten una descomposición dominada y lograr probar que podemos mediante una pequeña perturbación de la derivada sobre una de ellas permite crear derivadas con ambos valores propios contractivos y/o expansivos.

Este problema fue tratado parcialmente en este post (Lema 1) donde se estudia el caso en que se tienen puntos periódicos con pequeños àngulos entre la dirección estable e inestable y se prueba que de esa manera se puede, mediante una pequeña perturbación hacer que ambos valores propios tengan igual módulo.

Escencialmente, la segunda parte de la prueba, que consistiría en mostrar que si no hay descomposición dominada se pueden crear ángulos pequeños entre el subespacio estable e inestable de algunas órbitas periódicas es muy similar al segundo Lema en dicho post. Solamente que hay que dejar una dirección fija. Lo importante, para ver como entra la dominación es notar como la hipotesis en dicho Lema corresponde exactamente a la falta de descomposición dominada (esto puede no ser del todo evidente, pero me quede sin energias para seguir escribiendo, si realmente interesa, es un buen ejercicio).

\Box

Hiperbolicidad

Una vez que tenemos probada la descomposición dominada, hay que ver como ella implica hiperbolicidad. Hoy sabemos que genéricamente en dimensión dos, descomposición dominada implica hiperbolicidad gracias a un importante trabajo de Pujals y Sambarino.

Este resultado no estaba disponible en esa época y Mañe utilizó un argumento que por otro lado también resulto muy fructifero en otras aplicaciones.

Ese resultado es el Ergodic Closing Lemma que mejora sensiblemente el conocido Closing Lemma permitiendo controlar donde se encontrarán los puntos luego de la perturbación. Esto esta extendido en estas notas.

  1. Excelente gordao! Bo, un compacto invariante cuyos puntos periódicos son densos y que no admite descomposición dominada es acumulado por pozos y/o fuentes en dimensión \geq 2 también, no?

    • Sip. Las tecnicas que se usan para esto permiten ver que es posible bifurcar los puntos periodicos para cambiarles el indice en caso de no haber descomposicion dominada. En el caso de dimension dos, eso solo ya alcanza para hacer pozos y-o fuentes. En dimension mas grande, tambien es cierto pero es un resultado mas reciente y un poco mas dificil (debido a Bonatti-Diaz y Pujals). Ahora hay maneras más fáciles de hacerlo de todas maneras (Bonatti-Gourmelon-Vivier).

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