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Grupos actuando en la recta

In Grupos y geometría, Sistemas Dinámicos on Martes 22, junio, 2010 at 10:15 am

por Andrés Sambarino

Una acción de un grupo {\Gamma} en un espacio topológico {X} es un morfismo de {\Gamma} en el grupo de homeomorfismos de {X,} {\phi:\Gamma\rightarrow\textrm{Homeo}(X),} aunque lo mejor es pensar a {\Gamma} como un grupo de transformaciones de {X.}

Decimos que una acción es libre si {g(x)=x} para algún {x\in X} implica que {g} es la identidad {e} de {\Gamma,} es decir, los elementos de {\Gamma-\{e\}} no tienen puntos fijos en {X.}

El objetivo de este texto es contar una prueba del siguiente teorema de Hölder.

Teorema. (Hölder) Un grupo que actúa libremente en {{\mathbb R}} es abeliano.

Sea {g\in\Gamma.} Como {g} no tiene puntos fijos tenemos que {g(x)>x} para todo {x\in{\mathbb R}} o al revés. Podemos entonces definir un orden en {\Gamma} que será invariante por multiplicación a izquierda y a derecha: Dados dos elementos {g} y {h} de {\Gamma} definimos

{g \prec h} si {h^{-1}g (0)<0.}

La invarianca de {\prec} por multiplicación a izquierda es consecuencia inmediata de la definición. Para ver que es invariante a derecha consideramos {g\prec h,} y {f\in \Gamma} entonces como {g(0) \leq h(0)} esta desigualdad es valida en cualquier punto de {{\mathbb R},} en particuar para {f(0),} lo que implica {gf(0)\leq hf(0).}

Tenemos además otra propiedad importante del orden {\prec}: Si consideramos {g} y {h} ambos {\succ e,} entonces, como la suceción {g^n(0)} tiende a {+\infty} (si no {g} tendría un punto fijo acumulación de esa orbita) tenemos que existe un natural {n\in{\mathbb N}} tal que {g^n(0)>h(0)} lo que implica (por definición) {h\prec g^n.}

Esta propiedad se define como arquimediana.

Terminamos entonces con la siguiente proposición:

Proposición. Un grupo con un orden arquimediano bi-invariante admite un morfismo inyectivo {\Gamma\rightarrow{\mathbb R}} y es, por lo tanto, es abeliano.

Demostración: La idea es así: Fijamos un elemento positivo {\gamma_0} de {\Gamma,} entonces dado {g\in\Gamma} y un entero p\in\mathbb N existe un {q\in{\mathbb Z}} tal que

\displaystyle \gamma_0^q\prec g^p\prec \gamma_0^{q+1}.

Definimos entonces {q(p,g)} como el {q} de la condición anterior y definimos {\Phi:\Gamma\rightarrow{\mathbb R}} como

\displaystyle \Phi(g)=\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{q(p,g)}{p}.

Hay que probar

  • El límite existe.
  • {\Phi} es un morfismo inyectivo.

Mostramos solo que {\Phi} es un morfismo, consideramos {g,h\in \Gamma} y suponemos que {gh\prec hg.} Precisamos el siguiente cálculo que se muestra por inducción y usando que el orden es bi-invariante: Para todo {p\in{\mathbb N}\ g^ph^p\prec (gh)^p\prec h^pg^p.} A partir de esta cuenta tenemos para cada {p\in{\mathbb N},} por definición:

\displaystyle \gamma_0^{q(p,g)+q(p,h)}\prec g^ph^p\prec (gh)^p\prec h^pg^p\prec \gamma_0^{q(p,g)+q(p,h)+2}

Esto implica que {q(p,g)+q(p,h)\leq q(p,gh)\leq q(p,g)+q(p,h)+1,} dividiendo por {p} y tomando límite obtenemos {\Phi(gh)=\Phi(g)+\Phi(h).}

\Box


  1. Ta bueno! Me parece que con esa idea, de hecho se puede probar que la accion es semi-conjugada a una accion por translaciones. De hecho, que la translacion es por \Phi(g).

  2. Estaría bueno eso gordao.

    Es cierto que un homeomorfismo de \mathbb R que preserva orientación y sin puntos fijos es conjugado a una traslación, y que todas las traslaciones son conjugadas entre si. Pero lo que no veo es como conjugar la acción de todo el grupo \Gamma al mismo tiempo.

  3. Primero que nada ¡buenísimo el artículo! Y la apariencia nueva está tremenda también. ¿Aparece el nombre del autor en algún lado?

    Me quedé colgado tratando de hacer una prueba “a mano” porque el resultado parece bastante milagroso. Onda, dados f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} homeos que no conmutan. Demostrar que existe una composición de f,g, f^{-1}, g^{-1} que fija un punto.

    Lo primero que se observa es que los homeos van a ser crecientes o ya tenés un punto fijo. Podés asumir que uno está por encima de la diagonal y otro por debajo. La idea después es tratar de moverte para la derecha aplicando f y luego para la izquierda con g de modo de volver arbitrariamente cerca del punto inicial. Pero luego es re dificil “pasar al límite”.

    En fin, me parece re interesante el resultado y la prueba.

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