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El conjunto no errante para iterados de una dinámica.

In Dinámica topológica, Sistemas Dinámicos on Viernes 2, julio, 2010 at 2:30 pm

por Rafael Potrie

En general, en sistemas dinámicos nos interesa estudiar el comportamiento asintótico de una transformación del espacio. Por lo tanto, es razonable esperar en general que los conceptos que estudiamos no dependerán de si estamos estudiando una dinámica f o un iterado de esta, digamos f^m.

Claramente, el conjunto de puntos periódicos de f coincide con el de f^m, sin embargo, el conjunto de puntos fijos difiere en ambos casos si existen orbitas periódicas de f cuyo período es mayor que uno y divide a m.

El objetivo de este post es estudiar el conjunto no errante y probar que si este es todo el espacio, entonces lo será también para todos los iterados de f.

Recordamos antes de comenzar algunas definiciones relacionadas con la recurrencia de los puntos para un sistema dinámico f: M \to M (supondremos que f es un homeomorfismo y M un espacio métrico compacto).

Un punto p \in M es periódico si existe n\geq 1 tal que f^n(p)=p, el menor n con dicha propiedad es su período. Al conjunto de puntos periódicos de f lo denotamos Per(f). Claramente, un punto periódico es “muy recurrente”. Una nocion un poco más debil es justamente la de punto límite:

Decimos que x\in M es un punto límite de f si existe y \in M y |n_j| \to \infty tal que f^{n_j}(y)\to x. Al conjunto límite (formado por la clausura de los puntos límite) lo denotamos L(f). Es por definición un conjunto cerrado, y por lo tanto, ya que los puntos periódicos son puntos límites trivialmente, tenemos la siguiente inclusión trivial: \overline{Per(f)} \subset L(f).

Esta inclusión puede ser estricta como se ve en el ejemplo de una rotación irracional del círculo, donde también se puede ver que el conjunto de puntos periódicos puede ser vacío mientras que el conjunto límite siempre es no trivial debido a la compacidad de M.

Tanto el conjunto límite como el conjunto de puntos periódicos verifican que L(f^n)=L(f) (esto es un ejercicio no muy dificil, pero no es trivial) y Per(f^n)=Per(f) para todo n\geq 1 con lo cual son buenas nociones para estudiar el comportamiento asintótico como mencionabamos antes.

Por una extraña razón, se utiliza otra noción que se popularizo por mucho tiempo para la cual no es claro que considerar iterados no afecte su definición. El conjunto no errante \Omega(f). Decimos que un punto x \in M es un punto no errante si para todo entorno U de x se cumple que existe m\geq 1 tal que f^m(U)\cap U \neq \emptyset.  Es muy facil ver que \Omega(f) es cerrado y que L(f)\subset \Omega(f).

El objetivo de este post es demostrar la siguiente propiedad:

Proposición Si \Omega(f)=M entonces para todo m\geq 1 se cumple que \Omega(f^m)=\Omega(f)=M.

Demostración. La idea es simple y está inspirada (para los que la conozcan) en la prueba clásica de que para un homeomorfismo transitivo en un espacio compacto, hay un residual de puntos cuya orbita futura es densa.

Consideremos \{O_n\} una base de la topología de M y consideremos

\tilde O_n = \{x\in O_n :  existe j \geq 1 tal que f^j(x)\in O_n\}.

Por continuidad de f, obtenemos que \tilde O_n es un conjunto abierto. Además, dado que todo punto de M es no-errante, obtenemos también que \tilde O_n es denso en O_n : para verlo, basta considerar U abierto en O_n y dado que todo punto de U es no errante, sabemos que existe y\in U tal que para j\geq 1 tenemos que f^j(y)\in U \subset O_n.

Por lo tanto, el conjunto A_n = \tilde O_n \cup \overline{O}_n^c es un conjunto abierto y denso. Consideramos el conjunto R=\bigcap_n A_n que es residual (en particular denso) en M.

Mostraremos que todo punto de R es un punto límite de f, de hecho, fijado x\in R y un entorno U de x. Consideremos un abierto x\in O_n \subset U. Obtenemos que como x\notin \overline{O}_n^c se cumple que x\in \tilde O_n y por lo tanto existe j_n tal que f^{j_n}(x)\in O_n. En particular, x es un punto límite de f (de hecho, es recurrente, que no definimos, pero es un poco más fuerte ya que no hay necesidad de cambiar el punto).

Esto prueba que el conjunto límite de f es denso en M y por ser cerrado es todo M. En particular, obtenemos que el conjunto límite de f^m también es todo M y por lo tanto el conjunto no errante también, concluyendo la prueba.

\square

Notar que el hecho de que \Omega(f)=M en realidad no es tan restrictivo ya que solo supusimos que M es un espacio métrico compacto, entonces, fijado f:M\to M podemos considerar el mapa f|_{\Omega(f)} : \Omega(f) \to \Omega(f) obteniendo un homeomofismo de un espacio compacto.

El problema es que en general no es cierto que \Omega(f|_{\Omega(f)})=\Omega(f) con lo cual el argumento no necesariamente se aplica. Por otro lado, no conozco un contraejemplo, asi que si alguien sabe uno, bienvenido.

  1. Creo que metés en el círculo de radio 1 en R^2 un flujo “norte-norte” (la traslación en R vista en la compactificación con un punto de R). Ese círculo hacés que sea un atractor de R^2 menos el 0 de modo que todos los demás puntos de R^2 menos el 0 son errantes.

    El no errante da S^1, pero el no errante del no errante es sólo el polo norte.

    • Claro, ese ejemplo esta demas!. Pero ahi, el no errante de f^n es igual al no-errante de f. No conozco muchos más ejemplos donde el no-errante del no-errante es más chico, pero en todos los que conozco sigue valiendo que \Omega(f^n)=\Omega(f). Será que es en general? O capaz se puede adaptar un poco el ejemplo este.

  2. Ahora entendí la joda. Parece dificil contruir un contraejemplo.

  3. EL NO ERRANTE CONTIENE ORBITAS PERIODICAS INCLUYENDO A LOS PUNTOS FIJOS

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