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Convergencia de funciones y medidas.

In Análisis Real y Complejo, Probabilidad y Estadística on Lunes 19, julio, 2010 at 7:03 pm

por Pablo Lessa

Quiero escribir un poco sobre la relación entre convergencia puntual de funciones medibles y convergencia débil de medidas de probabilidad en el contexto de espacios métricos completos y separables.

Para simplificar la discusión voy a tomar como espacio de probabilidad \mathbb{R} con la \sigma-álgebra de Borel (i.e. la generada por los abiertos).   Vamos a considerar diferentes medidas de probabilidad en este espacio pero utilizaremos \lambda para denotar la medida de Lebesgue restringida al intervalo [0,1] (i.e. la distribución uniforme en [0,1]).

Posiblemente el primer punto interesante de la teoría de la medida es que los limites puntuales de funciones medibles también son medibles.  Esto es una mejora sobre la teoría de integración Riemann en la cual, por ejemplo, existen funciones derivables cuya derivada no es integrable.

Teorema. Si f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} es Borel-medible para todo n y existe f = \lim_{n \to +\infty}f_n entonces f es Borel-medible.

Demostración. Todo abierto A se puede escribir como unión creciente y numerable de abiertos A_k cuya clausura está contenida en A.   Una vez hecho esto se ve que f(x) = \lim_n f_n(x) \in A si y sólamente si existe k tal que a partir de cierto n_0 se cumple que f_n(x) \in A_k para todo n \ge n_0.  Esto implica que f^{-1}(A) se puede escribir con uniones e intersecciones numerables a partir de los f_n^{-1}(A_k) que son medibles.  Explícitamente se obtiene:

f^{-1}(A) = \bigcup_k \bigcup_{n_0} \bigcap_{n \ge n_0} f_n^{-1}(A_k)

\Box

Si f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} es medible, y consideramos en \mathbb{R} la medida de probabilidad \lambda, entonces f da origen a una nueva medida de probabilidad f_*\lambda llamada la medida “push-forward” o la distribución de f.   Esta medida se define a traves de la ecuación:

f_*\lambda(A) = \lambda(f^{-1}(A))

Para sucesiones de funciones convergentes. ¿Cual es la relación entre las distribuciones de la sucesión y la de su límite?

Tomemos la sucesión de funciones constantes f_n(x) = \frac{1}{n} y consideramos el límite f(x) = 0.  Notemos que:

(f_{n*}\lambda)(0,1) = 1 \neq 0 = (f_*\lambda)(0,1)

Por lo tanto no es cierto que para todo conjunto Boreliano A se cumple (f_*\lambda)(A) = \lim_n(f_{n*}\lambda)(A).  Sin embargo, los únicos contraejemplos a esta ecuación son aquellos conjuntos que tienen a 0 en su borde.

Notemos que para toda medida probabilidad \mu sólamente existen númerables puntos con medida positiva (finitos con medida mayor que \epsilon para cada \epsilon positivo).  Por lo tanto la siguiente proposición es aplicable a todos excepto una cantidad numerable de intervalos.

Proposición. Si f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} es medible para todo n y existe f = \lim_{n \to +\infty}f_n entonces se cumple

\lim_n(f_{n*}\lambda)(A) = (f_*\lambda)(A)

para todo Boreliano A tal que (f_*\lambda)(\partial A) = 0.

Demostración. Sea A abierto.  Se cumple que x \in f^{-1}(A) si y sólo si eventualmente está en f_n^{-1}(A) para todo n suficientemente grande.   Esto implica que \lambda(f_n^{-1}(A) \cap f^{-1}(A)) \to \lambda(f^{-1}(A)). De esto se deduce que para todo abierto A se cumple:

(f_*\lambda)(A) \le \liminf_n (f_{n*}\lambda)(A)

De lo anterior se puede deducir que para todo conjunto cerrado C se cumple:

\limsup_n (f_{n*}\lambda)(C) \le (f_*\lambda)(C)

Por lo tanto para todo Boreliano B con borde de medida nula se cumple:

\limsup_n (f_{n*}\lambda)(\overline{B}) \le (f_*\lambda)(\overline{B}) = (f_*\lambda)(\text{int}(B)) \le \liminf_n (f_{n*}\lambda)(\text{int}(B))

con lo cual queda demostrada la proposición. \Box

Esperemos que la discusión anterior motive la siguiente definición:

Definición. Se dice que una sucesión de medidas de probabilidad \mu_n converge a una medida de probabilidad \mu si para todo conjunto Boreliano B con borde de \mu-medida nula se cumple:

\mu(B) = \lim_n \mu_n(B)

La noción de convergencia débil es central en la teoría de probabilidad.  Para justificar esta afirmación alcanza con decir que la tesis del Teorema Central del Límite afirma que cierta sucesión de medidas de probabilidad converge debilmente a la distribución normal estandard (que es la medida con densidad \frac{e^\frac{-x^2}{2}}{\sqrt{2\pi}}).

Mencionaremos sin demostración que efectivamente la convergencia débil equivale a que la integral con respecto a \mu de cualquier función continua y acotada es el límite de las integrales con respecto a \mu_n.  Además, esta topología en el espacio M(\mathbb{R}) de medidas de probabilidad borelianas en \mathbb{R} es metrizable con una métrica completa.  Por último, aunque el espacio M(\mathbb{R}) no es compacto existe un teorema que caracteriza los subconjuntos compactos como aquellos que cumplen que “no se escapa masa a infinito”.

Además del ejemplo \delta_{\frac{1}{n}} \to \delta_{0}, otro ejemplo que hay que tener en mente (en particular observando lo que sucede con la medida del conjunto de números racionales) es:

\frac{\delta_{\frac{1}{n}}+ \delta_{\frac{2}{n}} + \cdots + \delta_1}{n} \to \lambda

Lo que hemos hecho hasta ahora podría resumirse diciendo que toda sucesión convergente de funciones medibles da una sucesión de distribuciones debilmente convergente.   Hace poco me enteré de la existencia del siguiente teorema en dirección recíproca.

Teorema de Representación de Skorohod. Sea \{\mu_n\} una sucesión debilmente convergente de medidas de probabilidad borelianas en \mathbb{R} y sea \mu = \lim_n \mu_n.  Existe un función medible f y una sucesión de funciones medibles \{f_n\} tales que:

f_*\lambda = \mu

f_{n*}\lambda = \mu_n\text{ para todo }n

f = \lim_n f_n

El resultado de Skorohod permite demostrar resultados no triviales sobre convergencia débil utilizando convergencia puntual.

El ejemplo más sencillo de esto es demostrar que si \mu_n \to \mu y f es continua se cumple f_*\mu_n \to f_*\mu.

Otro ejemplo, que utilicé recientemente, es el siguiente.  Supongamos que hemos construido una sucesión de medidas de probabilidad \mu_n con límite \mu y queremos mostrar que:

\int x \mathrm{d}\mu_n \to \int x \mathrm{d}\mu

Notemos que esto no tiene porque valer ya que la función identidad no es acotada (un contraejemplo es considerar (1-\epsilon)\delta_0 + \epsilon \delta_{\frac{1}{\epsilon}} que converge a \delta_0 cuando \epsilon \to 0).

Tomemos \{f_n\}, f “representantes de Skorohod” de la sucesión de medidas.  Lo que estamos buscando es condiciones para que:

\int f_n \mathrm{d}\lambda \to \int f \mathrm{d}\lambda

Pero esto es un tema super clásico.  Notemos que el teorema de convergencia dominada no va ser muy util ya que no hay mucho control sobre la elección de representantes como para lograr que estén dominados.  Sin embargo, existe una generalización que se traduce directamente a una condición sobre las \mu_n.

En fin, supongo que al final el objetivo de este artículo es clarificar y lograr apreciar el teorema de representación de Skorohod.  Me parece interesante notar que el teorema enunciado tiene una versión que vale en cualquier espacio separable, y que la demostración no es complicada y puede encontrarse en el libro de Billingsley.

Si uno quiere construir una medida con ciertas propiedades, obtenerla como límite débil de medidas más sencillas parece una buena estrategia.  En ese contexto el teorema de Skorohod puede servir para demostrar las propiedades de la medida límite.

  1. Ta bueno ese teorema de Skorohod. Y si, es creible que es valido, al menos en variedades: Esta muy relacionado con https://coloquiooleis.wordpress.com/2010/05/05/equivalencia-de-medidas-no-atomicas-en-variedades/ donde se muestra que si \mu es sin atomos y vale positivo en abiertos, entonces se puede considerar f como un homeomorfismo. Capaz como no exige que sea homeomorfismo en general, la prueba se puede hacer más fácil.

  2. De acuerdo. Está tremendo ese teorema de Oxtoby/Ulam, y también el de Moser para variedades que se discutió anteriormente (https://coloquiooleis.wordpress.com/2010/05/03/volumenes-en-variedades/).

    La diferencia más importante con esos teoremas es que Skorohod muestra que medidas cercanas en la topología débil se corresponden con funciones cercanas puntualmente. Es análogo a afirmar que los homeomorfismos de Oxtoby/Ulam convergen puntualmente en caso de que las medidas lo hagan débilmente.

    Otro punto, menos importante, es que no hace diferencia entre medidas atómicas o no atómicas.

    Estuve pensando si existe un ejemplo en sistemas dinámicos en el cual la jugarreta con el teorema de Skorohod pueda ser util. Se me occurre que en la prueba del teorema de Mañé (los difeos estructuralmente estables son hiperbólicos) construye una medida cuyos exponentes de Lyapunov integran positivo como límite débil de medidas soportadas en puntos periódicos. En su caso es obvio que la medida límite integra lo mismo que el límite de las medidas que la aproximan (porque la función es acotada). Supongo que si querés repetir el argumento para homeos con puntos críticos, tendrás que argumentar un poco diferente. ¿Suena razonable?

  3. Cambié “continua” por “medible” en la frase: “El ejemplo más sencillo de esto es demostrar que si \mu_n \to \mu y f es medible se cumple f_*\mu_n \to f_*\mu.”.

  4. holaa esperando que tengas buenos dias….quisiera ser parte de este blogg que realmente es muy muy buenoo…bien buena la ideaaa

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