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Grupos fundamentales de variedades y grupos finitamente presentados.

In Grupos y geometría, Topología on Miércoles 28, julio, 2010 at 11:53 am

por Rafael Potrie

Me gustaría en este post discutir un poco la relación entre grupos y variedades para mostrar un poco como a veces cosas que parecen ejemplos de una estructura abstracta, en realidad la contienen. Un buen ejemplo, son los grupos de simetrías de espacios finitos, que de hecho contienen absolutamente todos los posibles grupos finitos (y de esa manera, nos permite comprender los grupos desde un punto de vista más geométrico).

En este post, voy a ver la relación entre los grupos finitamente presentados y los grupos fundamentales de variedades. Vamos a mostrar que un grupo es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad. De hecho, mostraremos esto para {4-}variedades (pero es válido para variedades de cualquier dimensión mayor o igual a {4}).

Antes de empezar, mismo antes de definir grupo finitamente presentado, voy a dar un argumento (rápido) de porque en dimensiones dos y tres esto no es posible. Lo único a decir sobre los grupos finitamente presentados, es que naturalmente, los grupos finitos lo son.

En dimensión dos, tenemos bien definida una lista de variedades, con lo cual es fácil ver que grupos como {\mathbb{Z}_3} no son grupo fundamental de ninguna superficie.

En dimensión tres, argumentos parecidos pueden ser hechos, uno rápido es tener en cuenta que toda {3}-variedad con grupo fundamental finito tiene que ser cubierta por la {3}-esfera (esto lo sabemos gracias a que recientemente la conjetura de Poincare en dimensión {3} fue demostrada) y se sabe que no todo grupo finito puede actuar libre y discontinuamente en la {3}-esfera (esto hay que chequearlo, pero a mi al menos me resulta suficientemente convincente).

Ahora voy a empezar a dar definiciones que me permitan formular precisamente el resultado que me gustaría probar. Voy a asumir que la noción de grupo libre, grupo fundamental es conocida y pasar rápidamente por el teorema de Van Kampen.

Un grupo finitamente presentado es un grupo {G} definido a partir de un conjunto finito {\{a_1, \ldots, a_k\}} de generadores y de relaciones {\{r_1, \ldots r_m\}} donde {r_i \in \langle a_1, \ldots a_k \rangle} es un elemento del grupo libre generado por los elementos {\{a_1, \ldots, a_k\}} (que denotamos como {\langle a_1, \ldots, a_k \rangle}). Escribiremos al grupo {G = \langle a_1, \ldots, a_k | r_1, \ldots, r_m \rangle} y esto quiere decir que {G= \langle a_1, \ldots, a_k \rangle / N} donde {N} es el grupo normal de {\langle a_1, \ldots, a_k \rangle} generado por los elementos {r_i}. Decimos que {a_1, \ldots a_k | r_1, \ldots, r_m} es una presentación de {G} (naturalmente las presentaciones no son unicas, como forma trivial de ver esto, considerar la presentación de {G} dada por {a_1, \ldots a_k, \alpha | r_1, \ldots, r_m, \alpha}).

Naturalmente, todo grupo finito es un grupo finitamente presentado, ya que podemos considerar al grupo entero (que es finito) como conjunto de generadores y a todas las operaciones como relaciones (evidentemente esta presentación no es muy “óptima”). Otros grupos que son finitamente presentados son por ejemplo los grupos abelianos finitamente generados, los grupos libres finitamente generados (obviamente) y por ejemplo los grupos fundamentales de superficies (que usualmente se presentan a partir de una presentación finita).

En general, es un problema muy difícil el de determinar si dadas dos presentaciones finitas, ellas determinan o no al mismo grupo. De hecho, en toda generalidad, es un problema indecidible (es decir, no existe un algoritmo que permita decidir si dos presentaciones generan o no el mismo grupo, o equivalentemente, dada una presentación, no existe un algoritmo que permita decidir si el grupo presentado es el grupo trivial). Este resultado se conoce como el Teorema de Higman y no voy a hablar de el pues a duras penas entiendo el enunciado (esta tratado en el Princeton Companion en el capítulo IV bajo el titulo “Geometric and combinatorial group theory”, al parecer tiene que ver con que se puede hacer un grupo finitamente presentado que contiene como subgrupo a todos los grupos finitamente presentados….)

Estamos ahora en condiciones de enunciar el teorema que trataremos en este post.

Teorema Un grupo {G} es finitamente presentado si y solamente si es el grupo fundamental de una variedad diferenciable compacta de dimensión {4}.

Notar que en general, no es sabido (y si es sabido apostaría que es negativamente) si toda variedad de dimensión {4} admite una estructura diferenciable, asi que no es redundante incluir eso en la tesis (además, lo necesito para probar el recíproco).

Antes de pasar a la prueba, vamos a recordar un poco el Teorema de Van Kampen que relaciona los grupos libres y los grupos fundamentales de espacios. El teorema nos dice que si un espacio topológico localmente arcoconexo {X} se puede escribir como {A\cup B} donde {A,B} son abiertos y {A\cap B} es conexo por caminos, entonces tenemos que el grupo fundamental de {X} es el producto libre de los grupos fundamentales de {A} y {B} cocientado por el grupo generado por la inclusión de el grupo fundamental de {A\cap B} en cada uno de los espacios.

Concretamente, si {X= A\cup B} con las propiedades de arriba, tenemos que

\displaystyle \pi_1 (X) = (\pi_1(A) \ast \pi_1(B))/ N \ \ \ \ \ (1)

Donde tenemos que si {G=\langle a_1 ,\ldots, a_k | r_1, \ldots, r_m\rangle} y {H=\langle b_1 ,\ldots, b_{k'} | w_1, \ldots, w_{m'}\rangle} entonces {G\ast H = \langle a_1 ,\ldots, a_k, b_1 ,\ldots, b_{k'} | r_1, \ldots, r_m, w_1, \ldots, w_{m'} \rangle}. Y el grupo {N} es el generado por las relaciones {\alpha_i =\beta_i} donde {\alpha_i} son las imagenes de un generador del grupo fundamental de {\pi_1(A\cap B)} por la inclusion de {A\cap B} en {A} y {\beta_i} las imagenes por la inclusión en {B}.

Ahora estamos listos para dar la prueba del Teorema.

Prueba de que todo grupo finitamente presentado es grupo fundamental de una {4}-variedad

Primero que nada, mostremos que podemos crear variedades de dimensión {4} cuyo grupo fundamental es un grupo libre finitamente generado arbitrario. Notese que este argumento es válido también para {3} variedades (explicitaremos luego porque no es válido el argumento final para {3}-variedades).

Para eso, tenemos que introducir una operación entre dos variedades diferenciables de igual dimensión, llamada suma conexa.

Topologicamente, la operación consiste en remover de cada una de las variedades una bola y pegar mediante un homeomorfismo los bordes obtenidos. Naturalmente, hay que hacer un trabajo un poco más delicado para pegar estas variedades diferenciablemente, pero es completamente estandar y lo voy a omitir. Si {M} y {N} son variedades diferenciables de igual dimensión, notaremos {M\sharp N} a su suma conexa.

Notar que del Teorema de Van-Kampen se deduce que la suma conexa de dos variedades de dimensión mayor o igual que {3} verifica que su grupo fundamental es el producto libre de los grupos fundamentales iniciales. En fórmulas {\pi_1(M\sharp N) = \pi_1(M)\ast \pi_1(N)}. La prueba de esto queda como ejercicio, pero como pistas, dejo los siguientes datos: Remover una bola de una variedad de dimensión mayor o igual a {3} no cambia su grupo fundamental y {M\sharp N} se puede escribir como {A\cup B} con {A} homeomorfo a {M} sin una bola, {B} homeomorfo a {N} sin una bola y {A\cap B} homeomorfo a {S^{n-1}\times (0,1)} que es simplemente conexo si {n\geq 3}.

Lo primero entonces es construir una variedad de dimensión {4} cuyo grupo fundamental sea un grupo cíclico con un generador (notar que esto ya no es posible para superficies compactas), para esto, consideramos la variedad {M=S^1 \times S^3}. Como el grupo fundamental de un producto es el producto de los grupos fundamentales y {S^3} es simplemente conexa, obtenemos que {\pi_1(M) = \mathbb{Z}} como deseabamos.

Ahora, fijemos un grupo finitamente presentado {G= \langle a_1, \ldots, a_k | r_1, \ldots, r_m \rangle}. Primero, vamos a considerar la variedad {W=M\sharp \ldots \sharp M} obtenida como {k} sumas conexas de {M}. Dicha variedad, por la observación de arriba tiene como grupo fundamental {G_0 = \langle a_1, \ldots, a_k \rangle}.

Lo que falta hacer ahora, que es donde se utiliza el hecho que estamos en dimensión mayor o igual a {4} es “matar” las relaciones, es decir, obtener una variedad donde un lazo homotopico a {r_i} sea de hecho homotopicamente trivial.

Para ello, fijamos {r_i} que podemos considerar (por aproximación diferenciable) tiene un representante que es una curva diferenciable, simple (notar que estamos en dimensión {4}, entonces por transversalidad no es dificil de conseguir). Llamamos a dicha curva {\gamma_i}. Consideramos {B_i} un entorno suficientementemente peque\~no de {\gamma_i}, tenemos que {B_i} es difeomorfo a {D^3 \times S^1} donde {D^3} denota el disco de dimensión {3}. Lo que hacemos ahora es remover {B_i} de la variedad {W} y “cambiarlo” por una variedad difeomorfa a {S^2 \times D^2} que es otra variedad con borde cuyo borde es difeomorfo a {S^2 \times S^1} (al igual que el borde de {D^3 \times S^1}) pero a diferencia de {D^3 \times S^1}, es una variedad simplemente conexa. Se ve sin dificultad que esto implica que la nueva variedad verifica que cualquier lazo que fuese homotópico a {\gamma_i}, ahora será homotópicamente trivial como deseabamos.

El resto de los detalles ahora pueden ser rellenados sin problemas.

Notar que en dimensión {3}, el entorno {B_i} que consideramos es homeomorfo a {D^2\times S^1} y no es posible utilizar el mismo argumento ya que {D^1 \times S^2} no tiene el mismo borde. En dimensiones más grandes, siempre tenemos que el borde de {D^n \times S^1} es homeomorfo al borde de {S^{n-1} \times D^2}.

{\Box}

Prueba de que todo grupo fundamental de una variedad diferenciable compacta es finitamente presentado

Esta parte la voy a escribir aun más escueta que la anterior. Espero que queden claras las ideas.

La forma fácil (pero con bastante prerequisito) de ver este enunciado es considerar una función de Morse {\varphi:M\rightarrow \mathbb{R}} que permite mostrar que la variedad es homotopicamente equivalente a un CW-complejo finito. Estos tienen grupo fundamental finitamente presentado, y por lo tanto el resultado se deduce.

Otra forma consiste en darle una estructura Riemanniana a {M} (mediante particiones de la unidad), considerar el cubrimiento universal {p:\tilde M \rightarrow M} y pensar {\pi_1(M)} como el grupo de transformaciones de cubrimiento.

Hay finitos elementos de {\pi_1(M)} que mueven un punto {x_0} dado una distancia menor que {C} fijo. Si {C} es suficientemente grande, no es difícil ver que estos elementos forman un generador, que llamaremos {S}.

Las relaciones que se tienen (que hay que ver son suficientes para presentar al grupo fundamental) son las dadas por {s_i s_j = s_k} cada vez que {s_i, s_j, s_k \in S} y se verifica la relación escrita arriba para las trasformaciones elegidas.

Para ver que estas relaciones alcanzan para presentar al grupo, volvemos a pensarlo como clases de homotopias de curvas: Sea {\gamma} un loop en {M}, lo partimos en arcos de longitud mucho menor que {C}, y consideramos arcos desde el punto base {x_0} a cada extremo de dichos arcos.

Ahora podemos descomponer el loop como una concatenación de loops escritos de la forma {\alpha_i r_{i,i+1} \alpha_{i+1}^{-1}} donde {r_{i,i+1}} son los arcos en los cuales partimos a {\gamma}. Estos loops, a su vez son homotópicos a loops de la forma {\beta \theta \beta^{-1}} donde {\theta} es un loop de longitud menor que {C} y {\beta} un arco. Como {\theta} tiene longitud menor que {C}, tenemos que está generado por {S} con las relaciones que incluimos y esto concluye el esbozo de la prueba (que quedo bastante confusa, pero espero se entienda la idea, sino, es una buena motivación para entender la prueba usando Teoría de Morse que vale la pena estudiar).

{\Box}



  1. Tremendo.

  2. Alucinante gordo!!! me encanto lo de cambiar S^1\times D^3 por S^2\times D^2, ideaza!!

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