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Un criterio para la densidad de Zariski

In Grupos y geometría on Martes 17, agosto, 2010 at 2:47 pm

por Andrés Sambarino

En este texto vamos a mostrar un criterio para determinar si un subgrupo de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso. Usando el criterio vamos a ver como se construyen subgrupos de SL(d,\mathbb R) que verifican esta propiedad.

El criterio consiste en estudiar la acción de SL(d,\mathbb R) en su álgebra de Lie

\mathfrak{sl}(d,\mathbb R) = \{\text{matrices }d\times d\text{ de traza }0\}

via conjugación: Para g\in SL(d,\mathbb R) definimos \text{Ad}(g):\mathfrak{sl}(d,\mathbb R)\to \mathfrak{sl}(d,\mathbb R) como

\text{Ad}(g)X=gXg^{-1}.

Proposición[Criterio de densidad de Zariski] Un subgrupo \Gamma de SL(d,\mathbb R) es Zariski denso si y solo si \text{Ad}\Gamma es irreducible en \mathfrak{sl}(d,\mathbb R), es decir, no tiene subespacios invariantes.

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Un grupo Zariski denso contiene una matriz diagonalizable

In Álgebra Lineal, Grupos y geometría on Lunes 9, agosto, 2010 at 9:26 am

por Andrés Sambarino

En el artículo sobre conjunto límite de subgrupos de {SL(d,{\mathbb R})} (este artículo) usamos un teorema de Benoist que enunciaba lo siguiente:

Teorema[Benoist]. Sea {\Gamma} un grupo Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} entonces {{\Gamma}} contiene un elemento {{\gamma}} diagonalizable cuyos valores propios son positivos y distintos dos a dos.

La idea de este texto es entonces mostrar que para un grupo {{\Gamma}} Zariski denso de {SL(d,{\mathbb R})} es facil encontrar una matriz {{\gamma}\in{\Gamma}} diagonalizable cuyos valores propios sean todos distintos. O sea, el hecho de conseguirlos positivos es la parte más dificil del teorema de Benoist.

Utilizamos la siguiente definicion de densidad de Zariski:

Definición. Un conjunto {{\Gamma}} de {SL(d,{\mathbb R})} es Zariski denso si todo polinomio {p:SL(d,{\mathbb R})\rightarrow{\mathbb R}} que es nulo en {{\Gamma}} es necesariamente nulo en {SL(d,{\mathbb R}).}

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Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Martes 3, agosto, 2010 at 3:42 pm

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

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