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Difeomorfismos de Anosov en el Toro.

In Sistemas Dinámicos, Topología on Martes 3, agosto, 2010 at 3:42 pm

por Rafael Potrie

En este post pienso comentar la demostración (debida a Franks y Manning) de que un difeomorfismo de Anosov de una infranilvariedad (un cociente de una nilvariedad) es de hecho conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal. Por simplicidad, me voy a concentrar en el caso de difeomorfismos de Anosov en toros. Vale la pena observar que todos los ejemplos conocidos de difeomorfismos de Anosov lineales son en infranilvariedades (que incluyen obviamente a los toros).

Intentaré siempre poner links a las definiciones necesarias y resultados utilizados ya que no voy a centrarme en rellenar los prerequisitos, pero no creo que alguien que no este familiarizado con los conceptos que aparezcan pueda seguir la prueba.

Lo que más me interesó de la prueba es la utilización del Teorema de Punto Fijo de Lefschetz que es una generalización (importante) del bien conocido Teorema de Punto Fijo de Brower y del Teorema de Indice de Poincare-Hopf. Se puede enunciar (en una versión que no es la más general) como sigue:

Teorema 1 (Punto Fijo de Lefschetz) Para todo mapa continuo {f:M\rightarrow M} (donde {M} es una variedad de dimensión {d}, posiblemente con borde) cuyos puntos fijos son aislados, existe un número {L(f)} que depende únicamente de la clase de homotopía de {f} que verifica que

\displaystyle L(f) = \sum_{f(x)=x} ind_x(f) \ \ \ \ \ (1)

Donde {ind_x(f)} es el llamado indice de Lefschetz definido como {ind_x(f) = deg(v)} donde {v} es un mapa de {\partial B \rightarrow S^{d-1}} definido como {v(x) =\frac{f(x)-x}{\|f(x)-x\|}} y {B} es un entorno de {x} homeomorfo a una bola que no contine más puntos fijos de {f} que {x} mismo y donde estamos identificando {\partial B} a {S^{d-1}} de la forma obvia.

La observación importante, es que si tenemos un difeomorfismo {f:\mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{T}^d} que es Anosov, podemos conocer exactamente el indice de cada punto fijo (incluso de los iterados).

De hecho, para un punto fijo {p} que no tenga uno como valor propio del diferencial, obtenemos que {ind_p(f) = sign (det(Id-A))}.

Considerando un recubrimiento doble de {\mathbb{T}^d} (que continua siendo un toro) obtenemos que el fibrado inestable es orientable y considerando un iterado de {f}, obtenemos que la orientación de dicho fibrado es preservada por el difeomorfismo. Entonces, cada vez que obtenemos un punto fijo de un iterado de {f}, sabemos que el indice aporta un valor dado (ya que la estructura local alrededor del punto fijo es la misma en todos los puntos fijos por la hiperbolicidad, este valor será, por la observación de arriba, {1} o {-1}).

Lo primero que probaremos es que un difeomorfismo de Anosov es homotópico a un automorfismo hiperbólico del toro (es decir, homotópico a un difeomorfismo obtenido a partir de una matriz de {SL(d,\mathbb{Z})} cuyos valores propios son diferentes de uno. Recordar que si {h: \mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{T}^d}, entonces se cumple que {h} es homotopico a el difeomorfismo lineal inducido por {h_\ast: H_1(\mathbb{T}^d, \mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^d \rightarrow H_1(\mathbb{T}^d, \mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^d}. Franks probó que f_{\ast} no tenia valores propios que fuesen raiz de la unidad mientras que Manning completó el resultado siguiente (esta prueba es del Katok-Hasselblatt).

Lema 2 El mapa {f_\ast \in SL(n\mathbb{Z})} es hiperbólico.

Demostración: Utilizamos por un lado que el crecimiento de las orbitas periódicas de {f} está dado por la fórmula siguiente (denotamos {P_n(f)= \# Fix(f^n)}) para ciertos c_1,c_2 >0

(2)            c_1 e^{n h_{top}(f)} < P_n (f) < c_2 e^{n h_{top}(f)}

Esta fórmula surge de utilizar el Shadowing Lemma junto con la expansividad de {f} para ver que los conjuntos {(\delta,n)}-separados definiendo la entropia pueden ser detectados por orbitas periódicas y al mismo tiempo no puede haber demasiadas de estas (ver la sección 18.5 del libro Katok-Hasselblat). Esta formula es  más fina que decir que el crecimiento del numero de orbitas periodicas es igual a la entropia (ya que para ello hay que tomar logartimos y dividir entre n antes de tomar el límite y eso nos hace perder precisión en la estimativa) pero es menos fina que la que se obtiene en este post utilizando la función zeta.

La útilidad de esta fórmula ésta dada por el hecho que mostraremos que para un automorfismo lineal del toro con valores propios de módulo uno no puede tener bien definido el crecimiento de orbitas periódicas por una única taza de crecimiento como es en este caso (de hecho, es un poco más sutil, utilizaremos explicitamente que existen valores fijos de {c_1} y {c_2} verificando la ecuación (2))

Recordemos que para {f} se cumple (después de considerar cubrimiento doble, iterado, etc) que {P_n(f) = |L(f^n)|}, pero como dice el enunciado del Teorema de Punto Fijo de Lefschetz el numero {L(f^n)} depende únicamente de la clase de homotopía de {f} y por tanto, tenemos que {|L(f^n)|= |L(f_\ast^n)|}.

Por otro lado, si tenemos un automorfismo lineal {A} del Toro , no es difícil ver que {|L(A)| = |det(Id - A)|}. Para esto, veamos que cada punto fijo de {A} en el toro está dado por la fórmula {Av = v + m} con {m\in \mathbb{Z}^n}, es decir, obtenemos que {(Id-A) v \in \mathbb{Z}^n}. Entonces, la cantidad de puntos fijos diferentes (ya que todos tienen la misma orientación) está dada por el grado de {(Id-A)} como mapa del toro, es decir, por su determinante. Esto nos da la formula deseada.

Ahora, si {\lambda_1, \ldots, \lambda_d} son los valores propios de {f_\ast}, obtenemos que los valores propios de {Id- f_\ast^n} son en módulo {|\lambda_i^n - 1|} (basta aplicar {Id-f_\ast^n} a un vector propio de {f_\ast} y ver que es también vector propio de {Id-f_\ast^n} y su valor propio asociado tiene ese módulo).

Entonces, observar que si nos fijamos en los {\lambda_i} cuyo modulo es mayor que uno y consideramos {\Pi |\lambda_i^n - 1| \sim (\Pi |\lambda_i|)^n}, es decir que tienen ya bien definido su crecimiento. Análogamente, obtenemos que para los {\lambda_i} de módulo menor que uno, tenemos que {\Pi |\lambda_i - 1| \rightarrow 1} con {n}.

Lo que tenemos hasta ahora es que {|det(Id - f_\ast^n)| = \alpha_n \beta_n} donde {\alpha_n} tiene un crecimiento bien definido en el sentido de la ecuación (2) (i.e {\exists c_1, c_2 > 0} y {\gamma>0} tal que {c_1 e^{n\gamma} < \alpha_n < c_2 e^{n\gamma}}) y {\beta_n = |\Pi_{|\lambda_i|=1} (\lambda_i^n -1)|}.

Supongamos entonces que existe algun {\lambda_i} de modulo {1}. No es dificil ver que {\liminf \beta_n = 0} (esto es obvio si {\lambda_i} es raiz de la unidad, pero sino tb es claro considerando los momentos donde {\lambda_i^n} está muy cerca de uno considerando que el resto siempre cumple que {|\lambda_j^n -1| \leq 2}. Por otro lado, tenemos que {\limsup \beta_n >0} (esto también se ve facilmente considerando el caso en que haya raices de la unidad o no).

El hecho que {\limsup \beta_n>0} (y obviamente finito) nos dice que existe {\tilde c_2} tal que {\alpha_n \beta_n < \tilde c_2 e^{n \gamma}}, de hecho implica que si hay algun \gamma que funciona es este. Sin embargo, como {\liminf \beta_n=0} no podremos encontrar ningun {c_1>0} tal que {\alpha_n \beta_n > c_1 e^{n\gamma}} contradiciendo la ecuacion (2).

\Box

Este lema nos permite mostrar con técnicas estandar, que {f} será semiconjugado a su parte lineal {f_\ast}. Es decir, existe {h: \mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{T}^d} continua (homotopica a la identidad) y sobreyectiva tal que {h \circ f = f_\ast \circ h}. Esto se deduce levantando {f} y {f_\ast} al cubrimiento y utilizando que para {f_\ast} hay una constante de expansividad infinita y el clasico Shadowing Lemma. El objetivo es mostrar que esta semiconjugación es de hecho una conjugación (es decir, que es inyectiva, ya que la continuidad de la inversa se deduce directamente de la compacidad de {\mathbb{T}^d}).

Antes de proseguir con la demostración, mostraremos un resultado que resulta clave en la prueba de que {h} es una conjugación.

Lema 3 Sea {F} el levantado de un difeomorfismo de Anosov {f} y {A\in SL(d,\mathbb{Z})} una transformación lineal hiperbólica tal que {d(F(x),Ax)} esta globalmente acotado (o lo que es equivalente, {f} es semiconjugado a la transformación inducida por {A}). Entonces, {F} tiene a lo sumo un punto fijo.


Demostración: La prueba tiene que ver con la prueba del Lema anterior. Notar que {A} tiene un único punto fijo que es el origen. De hecho, podemos extender {A} a la compactificación de {\mathbb{R}^d} que es {S^{d}} y obtener un homeomorfismo de la esfera que fija también el infinito.

Como {F} está a distancia acotada de {A}, también lo podemos extender a {S^d} y también fijará el infinito. Naturalmente, {A} y {F} son homotópicos, por lo tanto, su numero de Lefschetz coincide, es decir {L(F)=L(A)}.

Notar que siendo homotoópicos, el indice de infinito coincide para ambos. Observar que el indice de {0} para {A} es {1} o {-1}.

La observación importante entonces, es como en el Lema anterior, que todos los puntos fijos de {F}, por ser el levantado de un difeomorfismo de Anosov, aportan el mismo índice (también {1} o {-1}) y por lo tanto, al no haber posibles cancelaciones de índice, obtenemos que {F} tiene a lo sumo un punto fijo. \Box

Como paso intermedio al resultado general, vamos a probar un resultado que es interesante de por si (recordar que en toda generalidad, aun es un problema abierto decidir si un difeomorfismo de Anosov es o no transitivo!). En el trabajo de Franks, esto aparecía como hipotesis, y fue Manning el que probo este resultado.


Proposición 4 Sea {f:\mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{T}^d} un difeomorfismo de Anosov, entonces, {f} es transitivo.


Demostración: Lo primero a mostrar, que es relativamente simple, es que existe una pieza básica de la descomposición espectral de {f} (recordar que {f} por ser Anosov, es Axioma A ) que se proyecta por {h} en todo el toro. Para eso, supongamos que el conjunto no errante {\Omega(f)} verifica que {h(\Omega(f)) \neq \mathbb{T}^d}. Considerando {\mathbb{T}^d \backslash h(\Omega(f))} tenemos un conjunto invariante abierto no trivial para {f_\ast}, y por lo tanto, por la densidad de puntos periodicos de {f_\ast} (recordar que por el Lema anterior, tenemos que {f_\ast} es un difeomorfismo de Anosov lineal) existe {q} periodico de {f_\ast} en {\mathbb{T}^d \backslash h(\Omega(f))}. Consideramos ahora {h^{-1}(q)} y su órbita obteniendo asi un conjunto compacto {f}-invariante disjunto de {\Omega(f)} lo cual resulta absurdo.

Ahora, consideremos {y\in \mathbb{T}^d} de órbita densa y un punto {x\in h^{-1}(y) \cap \Omega(f)}. Este punto pertenece a una pieza básica {\Lambda} que se proyecta en todo el toro como buscabamos mostrar.

Supongamos ahora que {f} no es transitivo, entonces, tiene que existir {\Lambda' \neq \Lambda} otra pieza básica. Como los puntos periódicos son densos en {\Lambda'}, naturalmente tenemos {q \in \mathbb{T}^d} periódico tal que {h^{-1}(q) \cap \Lambda' \neq \emptyset}.

Consideramos el conjunto {h^{-1}(q)} que es localmente maximal (pues {q} lo es para {f_\ast} y utilizando la semiconjugación) y obtenemos, dado que {h^{-1}(q)} corta {\Lambda} y {\Lambda'} que tiene al menos dos puntos periódicos {p_1} y {p_2} (cuyas orbitas por {F} un levantado de {f} se mantienen a distancia acotada).

Consideramos un iterado {f^k} que fije a {p_1} y a {p_2}. Mediante una translación, podemos suponer que {p_1=0} y se proyecta en el {0}. Obtenemos dos mapas homotopicos de {\mathbb{R}^n} (por homotopias que fijan el infinito) uno de los cuales tiene dos puntos fijos y el otro uno solo . Esto resulta absurdo, ya que el indice de infinito es el mismo para ambos y el indice de cada punto fijo no varia por la misma consideración que hicimos antes para vincular el indice de Lefschetz con la cantidad de puntos fijos (Lema 3).

Por tanto, concluimos que {f} es transitivo como deseabamos. \Box

La estructura de producto local que poseen los difeomorfismos de Anosov, junto con la transitividad, nos dan que dados dos puntos {x,y \in \mathbb{T}^d}, se cumple que {W^s(x) \cap W^u(y) \neq \emptyset} (notar que de hecho, {f} es topologicamente mixing, y los puntos periódicos son densos en {\mathbb{T}^d} por lo tanto, obtenemos minimalidad de ambas foliaciones en el toro).

Ahora probaremos una estructura de producto global que nos permitirá concluir. Lo dividimos en dos Lemas separados para que quede más ordenado.

Lema 5 Para {F} un levantado de {f} se cumple que para todo {x,y\in \mathbb{R}^d} se tiene que {W^s(x)\cap W^u(y)} consiste de por lo menos punto.

Demostración: La primera observación a realizar es que como {h} es continua y homotopica a la identidad, si consideramos {H} un levantado, obtenemos que {H} es propia (es decir, la preimagen de compactos es compacta).

Sea {y} fijo y consideramos el conjunto {C=\{x\in \mathbb{R}^d \ : \ W^u(x) \cap W^s(y) \neq \emptyset \}} que por la estructura de producto local sabemos es un conjunto abierto. Tenemos entonces que probar que {C} es cerrado para concluir que existe punto de intersección (notar que como {y} es arbitrario, esto concluye).

Sea {z\in \overline{C}} y {D} un entorno de {z} con estructura de producto local. Consideramos {x\in D \cap C \cap W^s_{loc}(z)}.

Ahora, consideramos dos curvas {\gamma_1} y {\gamma_2} que cumplan que {\gamma_i(0)=x}, {\gamma_1 \subset W^s_{loc}(z)} y {\gamma_2 \subset W^u(x)} y se cumple que {\gamma_1(1)=z} y {\gamma_2(1) \in W^s(y)}.

Vamos a definir un mapa {\alpha: \Gamma \subset [0,1]\times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^d} tal que {\alpha(t,s) = W^u(\gamma_1(t), \gamma_2(s))} cuando este definido (eso nos define el dominio {\Gamma}. El objetivo es mostrar que {(1,1) \in \Gamma}. Sabemos claramente que {\Gamma} contiene {\{0\}\times [0,1]} y {[0,1]\times \{0\}}. Por la estructura de producto local, sabemos que el dominio es abierto en {[0,1]^2}.

Sea {t_0 = \sup \{ t \ : \ [0,t] \times [0,1] \subset \Gamma \}} y definimos {J= [0,1]\times [0,t_0)}.

Ahora, vamos a ver que en realidad, {\alpha} está definida en {[0,1]\times [0,t_0]} lo cual alcanza para probar lo que buscamos.

Recordar que {H} verifica que si {A} es la parte lineal de {F}, entonces {A\circ H = H \circ F}, esto implica que {A^n\circ H = H \circ F^n} para todo {n\in \mathbb{Z}}. En particular, por la continuidad uniforme de {H}, obtenemos que {H(W^\sigma(\zeta)) \subset W^\sigma(H(\zeta))} para {\sigma=s,u}. Ahora, consideramos {H(\gamma_1)} y {H(\gamma_2)} que son imagenes de dos curvas compactas, por lo tanto, conjuntos compactos. Para el mapa lineal hiperbólico {A}, hay estructura de producto global, por lo tanto, existe un conjunto compacto {Y} constituido por las intersecciónes de las variedades estables e inestables de {H(\gamma_1)} y {H(\gamma_2)} respectivamente. Obtenemos que {H^{-1}(Y)} es compacto y por tanto acotado. Como {\alpha (J) \subset H^{-1}(Y)}, obtenemos que {\alpha(J)} es acotado.

Consideramos {s_0= \sup \{ s \ : \ \{t_0\} \times [0,s] \subset \Gamma \}} y vamos a probar que {(t_0, s_0) \in \Gamma} lo cual concluye (recordar que {\Gamma} es abierto en {[0,1]^2}).

Consideramos {(t_n, s_n) \rightarrow (t_0,s_0)} con {(t_n,s_n) \in J} tal que {\alpha(t_n, s_n) \rightarrow x_0 \in \mathbb{R}^d} (esto lo podemos hacer pues {\alpha(J)} es acotado). Ahora, como hay estructura de producto local para {F}, podemos considerar que {\alpha(t_n,s_n)} están contenidos en un entorno de {x_0} que admite estructura de producto local. Esto nos permite ver que efectivamente {\alpha} está bien definido en {(t_0,s_0)} y toma como valor {x_0} allí. Esto concluye que {\Gamma = [0,1]^2} lo cual implica el Lema.

\Box

Lema 6 Para {F} un levantado de {f} se cumple que para todo {x,y\in \mathbb{R}^d} se tiene que {W^s(x)\cap W^u(y)} es un único punto.

Demostración: En vista del Lema anterior, basta ver que no puede haber dos puntos de intersección, asi que asumiremos que existe {y\neq x} tal que {y \in W^s(x) \cap W^u(x)}. Para ello utilizaremos que {f} es transitivo (en particular que los puntos periódicos son densos) y el Lema 3.

La idea es la siguiente, el “punto homoclinico” de {x}, lo aproximaremos (utilizando la densidad de los puntos periódicos) por un punto homoclinico de un punto periódico. Esto lo que genera, es muchos puntos periódicos en el cubrimiento universal, contradiciendo el Lema 3.

Consideremos {D}, un entorno de {x} con estructura de producto local y que no contiene a {y}. Sean {W^\sigma(P) = \{ z \ : \ W^\sigma(z) \cap P \neq\emptyset \}} con {\sigma=s,u} los conjuntos abiertos que contienen a {y}. Por lo tanto, {W^s(P)\cap W^u(P)} es un entorno de {y}.

Como los puntos periódicos son densos, existe {p} periódico de {f} tal que su levantado {\tilde p} pertenece a {W^s(P)\cap W^u(P) \backslash D}, con lo cual, {\tilde p} verifica que {W^s(\tilde p) \cap W^u(\tilde p)} contine un punto además de {\tilde p}.

Tomando un iterado podemos suponer que {p} es fijo y conjugando por dos translaciones, asumir que {F} fija {\tilde p}. Esto no cambia el hecho de que {F} sigue siendo homotópico a un Anosov lineal.

Ahora, como {F} tiene un punto fijo con un punto homoclínico, obtenemos una infinidad de puntos periódicos de {F}, volviendo a tomar un iterado, podemos suponer que hay al menos dos puntos fijos, contradiciendo el Lema 3.

\Box

Estamos en condiciones entonces de probar el resultado que buscabamos.

Teorema [Franks-Manning para \mathbb{T}^d] Sea {f:\mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{T}^d} un difeomorfismo de Anosov. Entonces, {f} es topologicamente conjugado a un difeomorfismo de Anosov lineal de {\mathbb{T}^d}.

Demostración: Alcanza probar que {F} es infinitamente expansivo ya que eso implica que las fibras de la semiconjugación son triviales y por lo tanto {H} es inyectiva.

Para ello, supongamos que dos puntos {x,y} verifican que {d(F^n(x), F^n(y)) < K} para todo {n\in \mathbb{Z}}.

Supongamos que {x} e {y} no se encuentran en la misma variedad estable (sino se argumenta simetricamente). Sea {z} el único punto de intersección entre {W^u(y)} y {W^s(x)}.

Veamos que {d(F^n(z), F^n(y)) \rightarrow \infty} con {n\rightarrow \infty}. Esto es suficiente ya que el hecho que {d(F^n(z), F^n(x))\rightarrow 0} implicará que también se verifica que {d(F^n(x),F^n(y))\rightarrow \infty} como buscabamos.

Ahora, utilizaremos el Lema anterior, que si lo miramos con cuidado, utilizando la periodicidad de {F}, obtenemos que dado {K>0}, existe {L>0} tal que si dos puntos {x,y} se encuentran a distancia menor que {K}, entonces, si {\{z\} = W^s(x) \cap W^u(y)}, entonces existen curvas (diferenciables) {\gamma^s_x} y {\gamma^u_y} en {W^s(x)} y {W^u(y)} de longitud menor que {L} uniendo {x} e {y} con {z}.

Consideramos entonces {y,z} en la misma inestable y tomamos todas las curvas diferenciables que unen {y} con {z}. Por ser {F} el levantado de un Anosov, tenemos que las curvas en {W^u(y)} (siempre tangentes a {E^u}) crecen exponencialmente en longitud, esto implica que eventualmente la distancia interna (es decir, por curvas contenidas en {W^u(F^n(y))}) tiende a infinito y como los iterados de {z} se acercan exponencialmente a los de {x}, contradecimos el hecho de que {d(F^n(x),F^n(y))<K} o la consecuencia del Lema anterior que mencionamos recien.

Esto concluye. \Box

  1. […] un post anterior, estudiamos unos trabajos de Franks y Manning acerca de la clasificación de difeomorfismos de […]

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